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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知三棱錐且平面,其外接球體積為()A. B. C. D.2.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn),在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.4.已知m,n是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,則;③若,,,則;④若,,,則其中正確的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.6.如圖,設(shè)為內(nèi)一點(diǎn),且,則與的面積之比為A. B.C. D.7.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等8.已知函數(shù),對(duì)任意的,,當(dāng)時(shí),,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對(duì)稱軸是 D.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是9.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.23310.曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.11.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為________.14.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí),需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.15.如圖,某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù),則這段曲線的函數(shù)解析式為______________.16.某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng),現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票,投票要求詳見選票.這3名候選人的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的88%,75%,46%,則本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比值)最高可能為百分之________.“我身邊的榜樣”評(píng)選選票候選人符號(hào)注:1.同意畫“○”,不同意畫“×”.2.每張選票“○”的個(gè)數(shù)不超過2時(shí)才為有效票.甲乙丙三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.18.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由.20.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”,請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)?(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.視頻率為概率.①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率;②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保,針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng);其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表:紅包金額(單位:元)1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知函數(shù).(1)若在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(2)若對(duì)于任意,直線與曲線都有唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而求解.【詳解】由題,因?yàn)?所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.2、D【解析】
先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個(gè)數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí),,函數(shù)在時(shí),是增函數(shù).因?yàn)?,所以函?shù)是奇函數(shù),所以有,因?yàn)?,函?shù)在時(shí),是增函數(shù),所以,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】
根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因?yàn)?在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.4、D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①;根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②;根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③;根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對(duì)于①,若,,,,兩平面相交,但不一定垂直,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若,,則,故②正確;對(duì)于③,若,,,當(dāng),則與不平行,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,若,,,則,故④正確;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.6、A【解析】
作交于點(diǎn),根據(jù)向量比例,利用三角形面積公式,得出與的比例,再由與的比例,可得到結(jié)果.【詳解】如圖,作交于點(diǎn),則,由題意,,,且,所以又,所以,,即,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合,三角形面積公式,屬基礎(chǔ)題,作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.7、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲,;對(duì)于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對(duì)于甲,方差.5,對(duì)于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡,然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,解得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.10、A【解析】
將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當(dāng)時(shí),代入可得,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,求得導(dǎo)函數(shù)可得,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,由點(diǎn)斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個(gè)條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).12、D【解析】
首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和,由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率.【詳解】解:為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),現(xiàn)從,,,,這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和,這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、60【解析】分析:首先將選定第一個(gè)釘,總共有6種方法,假設(shè)選定1號(hào),之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計(jì)數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè),共有6種選擇方法,并且是機(jī)會(huì)相等的,若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候,第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,在解題的過程中,需要逐個(gè)的將對(duì)應(yīng)的過程寫出來,所以利用列舉法將對(duì)應(yīng)的結(jié)果列出,而對(duì)于第一個(gè)選哪個(gè)是機(jī)會(huì)均等的,從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.15、,【解析】
根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得,,結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期,可得出,再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式,求出的值,即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知,,,,,從題圖中可以看出,從時(shí)是函數(shù)的半個(gè)周期,則,.又,,得,取,所以,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式,考查計(jì)算能力,屬于中等題.16、91【解析】
設(shè)共有選票張,且票對(duì)應(yīng)張數(shù)為,由此可構(gòu)造不等式組化簡得到,由投票有效率越高越小,可知,由此計(jì)算可得投票有效率.【詳解】不妨設(shè)共有選票張,投票的有,票的有,票的有,則由題意可得:,化簡得:,即,投票有效率越高,越小,則,,故本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比值)最高可能為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出變量所滿足的關(guān)系式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)先根據(jù)絕對(duì)值不等式求得的最大值,從而得到,再利用基本不等式進(jìn)行證明;(2)利用基本不等式變形得,兩邊開平方得到新的不等式,利用同理可得另外兩個(gè)不等式,再進(jìn)行不等式相加,即可得答案.【詳解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即兩邊開平方得.同理可得,.三式相加,得.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式、應(yīng)用基本不等式證明不等式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和推理論證能力.18、(1)2;(2).【解析】
(1)化簡得,所以,展開后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可轉(zhuǎn)化為,討論去絕對(duì)值即可求得的取值范圍.【詳解】(1)∵,,∴,∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí),.(2)由(1)知,,對(duì)任意,都有,∴,即.①當(dāng)時(shí),有,解得;②當(dāng),時(shí),有,解得;③當(dāng)時(shí),有,解得;綜上,,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用和求解含絕對(duì)值的不等式,考查學(xué)生的分類思想和計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1);(2)不存在.【解析】
(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).故,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.20、(1)不能;(2)①;②分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可;計(jì)算K的觀測值K2,對(duì)照題目中的表格,得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.(2)由相互獨(dú)立事件的概率可得男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率:P=1﹣()3﹣()3,解出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)即可;【詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K”的觀測值,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下,不能認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為.為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為,①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為;②的取值
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