2024貴州中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)貴州中考題型研究 類型二 面積問題（課件）

類型二面積問題

函數(shù)微技能——面積表示一階例4如圖，已知拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)連接AC，BC，求△ABC的面積；例4題圖①解：(1)∵拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，∴S△ABC＝

＝6；(2)連接OD，CD，求△OCD的面積；例4題圖②(2)∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，∴D(1，－4)．∵C(0，－3)，∴S△OCD＝

；(3)(一題多解)點(diǎn)P是第四象限拋物線上的一點(diǎn)，連接BC，BP，CP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，請用含t的式子表示△BCP及四邊形OCPB的面積．例4題圖③(3)∵點(diǎn)P是第四象限拋物線上的一點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)為t，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(t，t2－2t－3)(0＜t＜3)，∵B(3，0)，C(0，－3)，∴BC＝3，設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋b，代入點(diǎn)B，C得

，解得

，∴直線BC解析式為y＝x－3，即x－y－3＝0.點(diǎn)P到直線BC距離d為

.∵0＜t＜3，∴d＝

，∴S△BCP＝

.S四邊形OCPB＝

S△BCP＋

S△OBC＝

.解法一如解圖①，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E.例4題解圖①∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t2－2t－3)，點(diǎn)E在直線BC上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t，t－3)，∴PE＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，∴S△BCP＝

PE·(xB－xC)＝

×3×(－t2＋3t)＝

，∴S四邊形OCPB＝S△BCP＋S△OCB

＝

.∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3，－3)．∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t2－2t－3)，∴S△CPF＝

CF·(yP－yF)＝

，S△BPF＝

BF·(xF－xP)＝

，S△BCF＝

CF·BF＝

，解法二如解圖②，過點(diǎn)B、C分別作y軸，x軸的平行線，交于點(diǎn)F，連接PF，例4題解圖②∴S△BCP＝S△BCF－S△CPF－S△BPF

＝

∴S四邊形OCPB＝S△BCP＋S△OCB

＝

.例4題解圖②方法一：直接公式法若三角形的一邊平行于坐標(biāo)軸(或在坐標(biāo)軸上)，直接運(yùn)用三角形的面積公式S＝

AB·h求解滿分技法滿分技法方法二：鉛垂高、水平寬法若三角形的三邊都不平行于坐標(biāo)軸(或都不在坐標(biāo)軸上)S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(yC－yA)滿分技法S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(xC－xA)滿分技法方法二：鉛垂高、水平寬法若三角形的三邊都不平行于坐標(biāo)軸(或都不在坐標(biāo)軸上)S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(yC－yA)滿分技法S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝

BD(AE＋CF)＝

BD(xC－xA)方法三：補(bǔ)全圖形法適用于三角形的三邊都不平行于坐標(biāo)軸(或都不在坐標(biāo)軸上)S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD對于四邊形面積計(jì)算，可連接一條對角線將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積之和求解．滿分技法設(shè)問突破二階例5如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.一題多設(shè)問(1)若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)S△ABP的面積為2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；例5題圖①【思維教練】求出點(diǎn)A

、B的坐標(biāo)可得線段AB的長，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積列出方程求解即可；解：(1)在拋物線y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∴A(－3，0)，B(1，0)，AB＝4；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，－t2－2t＋3)(－3<t<1)，∵S△ABP＝

×4×(－t2－2t＋3)＝2，即－t2－2t＋2＝0.解得t1＝－1－

，t2＝

－1.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1－

，1)或(－1，1)；例5題圖①(2)若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S△AQE＝2S△CBE，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【思維教練】將面積問題轉(zhuǎn)為線段的倍數(shù)關(guān)系，再根據(jù)線段關(guān)系列等式求解即可；例5題解圖①(2)解：存在．如解圖①，由題意得AE＝BE＝2，在拋物線y＝－x2－2x＋3中，令x＝0，解得y＝3，∴C(0，3)，∴CO＝3，則S△CBE＝

BE·OC＝3，∴當(dāng)△QAE的邊AE上的高為6時(shí)，S△AQE＝2S△CBE，當(dāng)y＝6時(shí)，－x2－2x＋3＝6，即x2＋2x＋3＝0，∵b2－4ac<0，∴方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)y＝－6時(shí)，－x2－2x＋3＝－6，解得x1＝－1＋

，x2＝－1－

，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(－1＋

，－6)或(－1－

，－6)；例5題解圖①將點(diǎn)A(－3，0)，C(0，3)代入解析式，得

解得

∴直線AC的解析式為y＝x＋3.(3)若點(diǎn)P是線段AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形APCB面積的最大值；

【思維教練】將四邊形APCB分割成兩個(gè)三角形，根據(jù)面積公式表示出面積，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大值；例5題解圖②(3)解：如解圖②，過點(diǎn)P作PD∥y軸交線段AC于點(diǎn)D，連接PA，PC，BC，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，設(shè)P(m，－m2－2m＋3)(－3<m<0)，則D(m，m＋3)．∴PD＝(－m2－2m＋3)－(m＋3)＝－m2－3m，∴S△PAC＝S△PCD＋S△PDA＝

×3×(－m2－3m)＝－

(m＋

)2＋

，∵－

<0，∴當(dāng)m＝－

時(shí)，S△PAC取得最大值

，∵AB＝4，OC＝3，∴S△ABC＝

×4×3＝6.∴S四邊形APCB的最大值為6＋

＝

；例5題解圖②(4)解：由(3)知，S△ABC＝6，直線AC的解析式為y＝x＋3.設(shè)N(n，n＋3)，則N′(n，0)(－3＜n＜0)，分兩種情況討論：①當(dāng)S△ANN′＝

S△ABC＝2時(shí)，(n＋3)(n＋3)＝2，(4)N是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)N作NN′⊥x軸于點(diǎn)N′，若△ABC的面積被直線NN′分為1∶2的兩部分，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．例5題圖④【思維教練】根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論：①△ANN′的面積占△ABC面積的

；②△ANN′的面積占△ABC面積的

.解得n1＝－1，n2＝－5(舍去)，∴N(－1，2)；②當(dāng)S△ANN′＝

S△ABC＝4時(shí)，(n＋3)(n＋3)＝4，解得n1＝2－3，n2＝－2－3(舍去)，∴N(2－3，2)．綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1，2)或(2－3，2)．例5題圖④綜合訓(xùn)練三階2.(2023三州聯(lián)考26題16分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)拋物線的解析式為_______________，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________；第2題圖①y＝－x2－2x＋3(－1，4)(2)解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，∵B(－3，0)，∴OB＝OC，

∴∠CBO＝45°，BC＝3，如解圖①，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則DF∥x軸，(2)如圖①，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD∶S△BPD＝1∶2時(shí)，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；第2題圖①CD∶CB＝CF∶CO＝DF∶BO，∴∠CDF＝45°，∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴CD∶BD＝1∶2，

∴CD∶BC＝1∶3，F(xiàn)∵BC＝3，∴CD＝

，

∵∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，2)；第2題圖①F∵∠OGE＝15°，∠GOE＝90°，∴∠OEG＝75°.∵∠PEG＝2∠OGE，∴∠PEG＝30°.∴∠PEO＝45°，∴△MOE為等腰直角三角形，∵E(0，－1)，∴M(－1，0)．∴直線PE的解析式為y＝－x－1.(3)如圖②，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，－1)，點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；圖②M(3)解：如解圖②，設(shè)PE交x軸于點(diǎn)M，解方程組

，

得