2025屆高三一輪復習數(shù)學試題(人教版新高考新教材)考點規(guī)范練33　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

考點規(guī)范練33數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入一、基礎鞏固1.(2023新高考Ⅱ,1)在復平面內,(1+3i)(3-i)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.若a為實數(shù),且2+ai1+i=3+i,則a=A.-4 B.-3 C.3 D.43.設復數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復平面內對應的點為(x,y),則()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=14.若復數(shù)z=1+i,z為z的共軛復數(shù),則下列結論正確的是()A.z=-1-i B.z=-1+iC.|z|=2 D.|z|=25.已知復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為(2,-1),則2zz-1A.3+i B.1-3i C.1-i D.2-i6.已知復數(shù)z=i1+i,則|z|=(A.22 B.2C.12 D.7.若復數(shù)z=1+ia-i(i是虛數(shù)單位,a∈R)是純虛數(shù),則zA.1 B.iC.2 D.2i8.(2023新高考Ⅰ,2)已知z=1-i2+2i,則z-z=A.-i B.i C.0 D.19.(多選)已知復數(shù)z=-12+3A.z2=0 B.z2=zC.z3=1 D.|z|=110.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=,ab=.

11.如圖,在復平面內,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都為1,點A,B對應的復數(shù)分別是z1,z2,則z2z1=二、綜合應用12.在復平面內,O為坐標原點,若復數(shù)z,z+1對應的點都在單位圓O上,則z的實部為()A.-32 B.-12 C.12 13.(多選)已知復數(shù)z0=1+2i(i為虛數(shù)單位)在復平面內對應的點為P0,復數(shù)z滿足|z-1|=|z-i|,則下列結論正確的是()A.點P0的坐標為(1,2)B.復數(shù)z0的共軛復數(shù)對應的點與點P0關于虛軸對稱C.復數(shù)z對應的點Z在一條直線上D.P0與z對應的點Z間的距離的最小值為214.寫出一個虛數(shù)z,使得z2+3為純虛數(shù),則z=.

15.在復平面內,復數(shù)2-3i1+2i+z對應的點的坐標為(2,-2),則z在復平面內對應的點位于第16.設復數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

17.若復數(shù)z1,z2滿足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,則λ的取值范圍是.

三、探究創(chuàng)新18.據(jù)記載,歐拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的,該公式被譽為“數(shù)學中的天橋”.特別是當x=π時,得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式eπi+1=0,這個恒等式將數(shù)學中五個重要的數(shù)(自然對數(shù)的底數(shù)e,圓周率π,虛數(shù)單位i,自然數(shù)的單位1和零)聯(lián)系到了一起,有些數(shù)學家評價它是“最完美的公式”.根據(jù)歐拉公式,若復數(shù)z=e3π4i的共軛復數(shù)為z,則zA.-22?22i BC.22+22i 19.在復平面內,復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對應向量OZ(O為坐標原點),設|OZ|=r,以射線Ox為始邊,OZ為終邊逆時針旋轉的角為θ,則z=r(cosθ+isinθ),法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理:z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理導出了復數(shù)乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),則(-1+3i)10=()A.1024-10243i B.-1024+10243iC.512-5123i D.-512+5123i

考點規(guī)范練33數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入1.A∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限.故選A.2.D由題意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a=4.3.C由題意可知,z=x+yi.因為z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+(則x2+(y-1)2=1.故選C.4.Dz=1-i,|z|=1+1=2,故選5.A由題意知z=2-i,所以2zz-1=6.Az=i1+i=所以|z|=17.Az=1+i因為z是純虛數(shù),所以a-1=0,a+1≠0,解得a=1,所以z8.A∵z=1-i2+2i∴z=∴z-z=-12i-12i=-i.故選9.BCD由于復數(shù)z=-12+32i(則z2=14?32i-34=-12z2=z,故B正確;z3=-12-32i-12+32i=1410.52由題意可得a2-b2+2abi=3+4i,則a2-則a2+b2=5,ab=2.11.-1-2i由題意,得z1=i,z2=2-i,故z2z1=212.B設z=a+bi(a,b∈R),則z+1=a+1+bi,由題意可得|z|=1,|z+1|=1,即a2+所以z的實部為-113.ACD復數(shù)z0=1+2i在復平面內對應的點為P0(1,2),A正確;復數(shù)z0的共軛復數(shù)對應的點與點P0關于實軸對稱,B錯誤;設z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(x-1)2即點Z在直線y=x上,C正確;易知點P0到直線y=x的垂線段的長度即為點P0與點Z之間距離的最小值,結合點到直線的距離公式可知,最小值為|1-2|214.1+2i(答案不唯一)設z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z2+3=a2-b2+3+2abi,因為z2+3為純虛數(shù),所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不為零的實數(shù)a,求出b即可得到,答案不唯一,如z=1+2i.15.四設z=x+yi(x,y∈R),則2-3i1+2i+x+yi=2即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i所以x-4即z=145?35i,其對應點為16.23設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1,∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,∴|z1-z2|=(a-c17.-916化簡,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4sinθ因為s