預(yù)備知識(shí)06 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（原卷版）-2024-2025初升高銜接資料（新高一暑假學(xué)習(xí)提升）

專題06預(yù)備知識(shí)六：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1、掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．2、進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大?。R(shí)點(diǎn)一：不等式的概念在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.自然語(yǔ)言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號(hào)語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)大小的比較1、如果是正數(shù)，那么；如果等于，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過(guò)來(lái)也對(duì).2、作差法比大?。孩?；②；③3、不等式性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變知識(shí)點(diǎn)三：不等式的探究一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.知識(shí)點(diǎn)四：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意c的符號(hào)（涉及分類(lèi)討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性a，b同為正數(shù)對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小角度1：由不等式比較數(shù)（式）的大小典型例題例題1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知實(shí)數(shù)、滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．例題2．（多選）（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·期中）如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．例題3．（多選）（23-24高一上·廣東·期末）下列命題是真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則精練1．（2024高二下·山東）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．3．（多選）（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．角度2：利用作差法比較大小典型例題例題1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，則、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定例題2．（23-24高一上·河南洛陽(yáng)·期末）今年某地因天氣干旱導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為元斤、元斤，王大媽每周購(gòu)買(mǎi)元的白菜，李阿姨每周購(gòu)買(mǎi)斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買(mǎi)白菜的平均價(jià)格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無(wú)法確定例題3．（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無(wú)法確定精練1．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，求證：.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)．求證：.角度3：利用作商法比較大小典型例題例題1．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．例題2．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.精練1．（2024高一·上?！ｎ}練習(xí)），則的大小關(guān)系為．2．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，比較與的大小3．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，求證：．對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)二：利用不等式的性質(zhì)證明不等式典型例題例題1．（23-24高一上·河北石家莊·期中）（1）比較與的大?。?）已知，求證：；例題2．（23-24高一上·寧夏·階段練習(xí)）（1）比較下列兩個(gè)代數(shù)式的大?。号c；（2）若，，求證：.精練1．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）若，，求證：.2．（23-24高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：(1)已知，求證：；(2)已知，求證：.對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍典型例題例題1．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知且滿足，則的取值范圍是.例題3．（23-24高一上·云南玉溪·階段練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）已知，求的取值范圍；（3）已知，求的取值范圍．精練1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是，的取值范圍是.3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為.一．單選題1．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎?，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）下列命題中真命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（23-24高一上·重慶長(zhǎng)壽·期末）下列命題為真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海兩人同時(shí)相約兩次到同一水果店購(gòu)買(mǎi)葡萄，小港每次購(gòu)買(mǎi)50元葡萄，小海每次購(gòu)買(mǎi)3千克葡萄，若這兩次葡萄的單價(jià)不同，則（

）A．小港兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格比小海低 B．小海兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格比小港低C．小港與小海兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格一樣 D．丙次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格無(wú)法比較8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)教育家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).下列關(guān)于不等式的命題，正確的是（

）A．如果，，那么B．如果，那么C．若，，則D．如果，，，那么三、填空題11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關(guān)系為．12．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知