蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)清單

蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)清單

目錄

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

5.1導(dǎo)數(shù)的概念

5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

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第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

5.1導(dǎo)數(shù)的概念

一、平均變化率

1.函數(shù)f(X)在區(qū)間區(qū)，X2]上的平均變化率為*X2)[f(Xl).

2.平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的

"視覺化”.

二、曲線上一點(diǎn)處的切線

1.如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，這時(shí)，直線PQ稱為曲線的割線，隨著

點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線C.當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近

點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線I,這條直線I稱為曲線在點(diǎn)

P處的切線.

三、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度

1.瞬時(shí)速度

一般地，如果當(dāng)At無限趨近于。時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移S(t)的平均變化率SG+A2-S(t。)

無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在匚t。時(shí)的瞬時(shí)速度，也就是位移對(duì)于

時(shí)間的瞬時(shí)變化率.

2.瞬時(shí)加速度

一般地，如果當(dāng)At無限趨近于。時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度v⑴的平均變化率邈喑汕

無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在匚之時(shí)的瞬時(shí)加速度，也就是速度對(duì)

于時(shí)間的瞬時(shí)變化率.

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四、瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)y二f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，Xo￡(a,b),若Ax無限趨近于。時(shí)，比值

差二也嘿3無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱f(x)在x=x。處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函

數(shù)f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)，記作f〈x。).通常又可表示為f'的)二蛔°二°+黑司X。).

函數(shù)y二f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)還可以記作y1|x=Xo.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)f'(X。)的幾何意義就是曲線y二f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x。))處的切線的斜率.

3.導(dǎo)函數(shù)

若f(x)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的

變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f〈x).

f(X)在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)f'(Xo)就是導(dǎo)函數(shù)f'(X)在X=Xo處的函數(shù)值.

在不引起混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'(X)也簡稱為f(X)的導(dǎo)數(shù).

五、平均變化率與瞬時(shí)變化率

1.平均變化率：對(duì)于函數(shù)y=f(x),在自變量x從xo變化到Xi的過程中，若設(shè)Ax二xi-xo,

△y=f(xi)-f(xo),則稱一為函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo附近的平均變化率.

2.瞬時(shí)變化率：在上述過程中，當(dāng)Ax無限趨近于0,即X1無限趨近于X。時(shí)，稱

爛如嘿3為f(x)在x=x。處的瞬時(shí)變化率.

3.平均變化率與瞬時(shí)變化率是兩個(gè)不同的概念，但可以用平均變化率的值來估算瞬時(shí)

變化率的值，當(dāng)Ax無限趨近于。時(shí)，平均變化率無限趨近于的常數(shù)即為瞬時(shí)變化率.

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六、求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式

Hmf(x)-f(x+Ax).

-Ax—O-Ax

Hmf(x-Ax)-f(x).

-Ax^O-Ax

y'=lim也匚如

x-?x0X-Xo

注意自變量之差與函數(shù)值之差要相互對(duì)應(yīng).

2.求函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟

(1)求函數(shù)的增量：Ay=f(xo+/\x)-f(xo)；

⑵求平均變化率：爛馬嘿32；

(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)：f<x。)=Jim5

七、求曲線的切線方程

1.曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x。))處的切線方程

⑴點(diǎn)P(xo,f(x。))為切點(diǎn)；

(2)切線斜率k=f(x。)；

(3)切線方程為y-f(xo)=f1(xo)(x-xo).

2.曲線y=f(x)過點(diǎn)P(x。，f(x。))的切線方程

⑴點(diǎn)P可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)；

⑵如果點(diǎn)P不是切點(diǎn)，則切線可能不止一條，切線條數(shù)與切點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，此時(shí)求切線

方程的一般步驟如下：

①設(shè)出切點(diǎn)%,f%))；

②求出函數(shù)f(x)在點(diǎn)(X1,f(Xi))處的導(dǎo)數(shù)f1(Xi)；

③寫出切線方程：y-f(Xi)=f1(Xi)(x-Xi),將(Xo,f(Xo))代入，求得刈；

④將長代入切線方程，化簡得到最終方程.

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3.注意

(1)直線I與曲線C有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線I不一定是曲線的切線，如圖中的直線R

⑵當(dāng)直線I與曲線c有不止一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線I也可能是曲線C的切線，如圖中的

直線舊其中N是切點(diǎn)

5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

一、幾個(gè)常用函數(shù)的求導(dǎo)公式

(l)(kx+b)1=k(k,b為常數(shù))；(2)C1=0(C為常數(shù))；

(3)x'=l；(4)(X2)1=2X；

(5)(X3)1=3X2；⑹(9/

⑺(曲二親

二、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=xa(a為常數(shù))f'(x)=ax。"

f(x)=ax(a>0,且a聲1)f'(x)=axlna

f(x)=exf'(x)=ex

f'(X)二高

f(x)=logax(a>0,且a聲1)

f(x)=lnxf'(x)二-

f(x)=sinxf'(x)=cosX

f(x)=cosXf'(x)=-sinx

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三、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

1.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)均可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)分別為f'(x),g1(x),則

和的導(dǎo)數(shù)[f(x)+g(x)],=f1(x)+g1(x)

差的導(dǎo)數(shù)[f(x)-g(x)],=f1(x)-g'(x)

積的導(dǎo)數(shù)[Cf(x)],=Cf'(x)(C為常數(shù))，[f(x)g(x)]=f1(x)g(x)+f(x)g'(x)

商的導(dǎo)數(shù)圜二小嚕產(chǎn)成)利)

四、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，對(duì)于由函數(shù)尸f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

y=f(u)u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u-u'x.

五、利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)

1.利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)的策略

⑴若待求導(dǎo)的函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)商的形式，則可先對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，再求導(dǎo).

⑵對(duì)于多個(gè)整式乘積形式的函數(shù)，可以考慮展開，化為和、差形式，再求導(dǎo).

⑶對(duì)于三角函數(shù)，可考慮先進(jìn)行恒等變形，再求導(dǎo).

六、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟

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2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)

⑴通常是將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)；

⑵求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；

⑶計(jì)算結(jié)果盡量簡單.

七、利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算解決切線問題

1.切線問題的處理思路

⑴對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)；

(2)若已知切點(diǎn)，則直接求出切線斜率、切線方程；

⑶若切點(diǎn)未知，則先設(shè)出切點(diǎn)，用切點(diǎn)表示切線斜率，再根據(jù)條件求出切點(diǎn)坐標(biāo).

在解決此類問題時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，找出切點(diǎn)是關(guān)鍵.

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5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

5.3.1單調(diào)性

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的聯(lián)系

1.由導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性

對(duì)于函數(shù)y=Rx),如果在某區(qū)間上f'(x)>o,那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；

如果在某區(qū)間上f1(x)<0,那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f'(x)NC),且只在有限個(gè)點(diǎn)處f'(x)=0,則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)尸f(x)

單調(diào)遞增；

若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f'(x)WO,且只在有限個(gè)點(diǎn)處f1(x)=0,則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)

單調(diào)遞減.

2.由函數(shù)單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)

若函數(shù)y才(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有f'(x)NO恒成立(但不恒等于0);

若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有f'(x)wo恒成立(但不恒等于0).

二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象間的關(guān)系

L導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)圖象的變化，遵循“符號(hào)為正，圖象上升；符號(hào)為負(fù)，

圖象下降”的原則,導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸的上方或下方，確定導(dǎo)函數(shù)的正或負(fù).解決問題

時(shí)，一定要分清是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象.

2.一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變

化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的基本步驟

⑴確定函數(shù)f(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)f1(x)；

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⑶在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f1(x)>0或f,(x)<0；

⑷確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.

注意：單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集.

2.含參函數(shù)的單調(diào)性問題

研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題，要依據(jù)參數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的影響進(jìn)行分類討論，通?？?/p>

慮以下幾方面：

①導(dǎo)函數(shù)的類型；

②導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)；

③導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域內(nèi)；

④若導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)有多個(gè)零點(diǎn)，則需比較它們的大小關(guān)系.

四、已知單調(diào)性求參數(shù)的值(取值范)

1.已知f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，求參數(shù)的值(取值范圍)的步驟

⑴求導(dǎo)；

⑵將f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立處理，即f，(x)三O(f〈x)WO)在(a,

b)內(nèi)恒成立；

⑶利用最大(小)值解決不等式的恒成立問題，從而確定參數(shù)的值(取值范圍)；

⑷注意驗(yàn)證等號(hào)能否取到.

五、構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明(解)不等式

1.利用單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形

式，因此熟悉以下結(jié)論可以達(dá)到事半功倍的效果.

⑴對(duì)于f1(x)>g1(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x),特殊地，若遇到f'(x)>a(a聲0),即導(dǎo)函數(shù)大于

某個(gè)非零常數(shù)(若a=0,則無需構(gòu)造)，則可構(gòu)造h(x)=f(x)-ax.

(2)對(duì)于f1(x)+g1(x)>0,構(gòu)造h(x)=f(x)+g(x).

(3)對(duì)于f(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=ex-f(x).

⑷對(duì)于f'(x)-f(x)>0,構(gòu)造h(x)=詈.

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(5)對(duì)于xf'(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=x-f(x).

(6)對(duì)于xf'(x)-f(x)>0,構(gòu)造h(x)二鳥.

⑺對(duì)于箸>0,分類討論：①若f(x)>0,則構(gòu)造h(x)=Inf(x)；

②若f(x)<0,則構(gòu)造h(x)=ln[-f(x)].

2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的步驟

(1)將要證明的不等式f(x)>g(x)(xE(a,b))移項(xiàng),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),轉(zhuǎn)化為證明

F(x)>0.

⑵確定函數(shù)的單調(diào)性，若F(x)>0,貝l]F(x)在(a,b)上是增函數(shù)；若F(x)<0,貝UF(x)在

(a,b)上是減函數(shù).

⑶將單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)值代入，若函數(shù)F(x)是增函數(shù)，且F(a)N0,則當(dāng)x￡(a,b)時(shí)，

f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)；若F(x)是減函數(shù),且F(b)N0,則當(dāng)xE(a,b)時(shí),f(x)-g(x)>0,

即f(x)>g(x).

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5.3.2極大值與極小值

一、函數(shù)極值、極值點(diǎn)的概念

1.極大值與極大值點(diǎn)

一般地,若存在6>0,當(dāng)xE(x13XI+6)時(shí)，都有f(x)Wf(x)則稱f%)為函數(shù)f(x)的一

個(gè)極大值，稱X1為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn).

2.極小值與極小值點(diǎn)

一般地,若存在6>0,當(dāng)XE(X2-6,X2+6)時(shí),都有f(x)Nf(x*則稱許)為函數(shù)f(x)的一

個(gè)極小值，稱X2為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).

3.極值與極值點(diǎn)

函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，函數(shù)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的

極值點(diǎn).

二、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

1.極大值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系

XX1左側(cè)X1X1右側(cè)

f1(x)f1(x)>0f'(x)=0f1(x)<0

f(x)極大值f(Xi)

2,極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系

XX2左側(cè)x2X2右側(cè)

f1(x)f,(x)<0f'(x)=0f'(x)>0

f(x)極小值f(X2)/

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三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題

1,求可導(dǎo)函數(shù)f(X)的極值的步驟

⑴確定函數(shù)的定義域；

⑵求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)；

(3)由f'(x)=O,求出全部的根；

⑷列表：方程的根將整個(gè)定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間(如果根中含有參數(shù)，則需根據(jù)參數(shù)

的范圍分類劃分區(qū)間)，把x,f1(x),f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格內(nèi)；

⑸得結(jié)論：若導(dǎo)數(shù)在根X。附近左正右負(fù)，則函數(shù)在X。處取得極大值；若左負(fù)右正，則

取得極小值.

2.有關(guān)含參數(shù)的函數(shù)的極值問題

⑴求含參數(shù)的函數(shù)的極值，要根據(jù)f'(x)=O的不同類型對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.通常要考

慮以下幾個(gè)方面：

①方程f'(x)=O有無實(shí)數(shù)根；

②方程f'(x)=O的實(shí)數(shù)根是否在定義域內(nèi)；

③方程f1(x)=O的實(shí)數(shù)根的大小.

⑵由極值求參數(shù)的值或取值范圍，解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

值為0,極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).解題步驟如下：

①求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)；

②由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程(組)，求解參數(shù).

注意：求出參數(shù)后，一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件.

四、利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)問題

1.利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)

的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從

而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便.

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2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題中，函數(shù)的零點(diǎn)問題是比較復(fù)雜的綜合問題，常常在高考?jí)?/p>

軸題中出現(xiàn).解決此類問題可通過極值的正用和逆用，分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方

法進(jìn)行有效處理，解題的關(guān)鍵是掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的方法.

5.3.3最大值與最小值

一、求函數(shù)的最大值與最小值的步驟

1.求函數(shù)f（x）在區(qū)間忸，坷上的最大值與最小值可以分為兩步：

第一步:求f（x）在區(qū)間（a,b）上的極值；

第二步：將第一步中求得的極值與f（a）,f（b）比較，得到f（x）在區(qū)間［a,b］上的最大值與

最小值

注意：函數(shù)的最大（?。┲凳窍鄬?duì)于函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大（小）值，那么

最大（小）值唯一.

二、利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的最值問題

1.有關(guān)含參函數(shù)的最大（小）值問題，一般有兩類：

一類是求含參函數(shù)的最大（?。┲?，對(duì)于此類問題，由于參數(shù)的取值范圍不同可能會(huì)導(dǎo)

致函數(shù)的單調(diào)性變化，從而導(dǎo)致最大（小）值變化，所以解決此類問題常常需要分類討

論，在分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性和極值之后，討論極值與端點(diǎn)值的大小得到最值.

另一類是由最大（?。┲登髤?shù)的值或取值范圍，此類問題是根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題

的逆向運(yùn)用，求解此類問題的步驟：

⑴求導(dǎo)數(shù)f（x）,并求極值;

⑵利用單調(diào)性，將極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值