2021-2022學(xué)年初中數(shù)學(xué)講義-全等三角形方法課之角平分線模型

2021-2022學(xué)年初中數(shù)學(xué)精品講義-全等三角形方法課之角平

分線模型（解析版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端

點重合），且AE=DF,連接BF與DE相交于點G,連接CG與BD相交于點H.給出

如下幾個結(jié)論：①△AEDgZkDFB；②SWOBCIX^

AF=2DF,貝ijBG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤NBGE的大小為定值.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

試題分析：①?二ABCD為菱形，.?.AB=AD,：AB=BD,...△ABD為等邊三角形，

.*.ZA=ZBDF=60°,又：AE=DF,AD=BD,AAAED^ADFB,故本選項正確；

②；/BGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°=ZBCD,即NBGD+ZBCD=180°,

.?.點B、C、D、G四點共圓，.INBGC=NBDC=60。，ZDGC=ZDBC=60°,

...NBGC=/DGC=60。，過點C作CMJ_GB于M,CNJLGD于N（如圖1）,則

△CBM^ACDN（AAS）,.,.S四邊修BCDG=S四邊彩CMGN.SHa?cMGN=2SACMG,ZCGM=60°,

CM=

SmCMGN=2SACMG=2X

82???????xg2CGx

項錯誤；

③過點F作FP〃AE于P點（如圖2）,；AF=2FD,，F(xiàn)P：AE=DF：DA=1：3,VAE=DF,

AB=AD,；.BE=2AE,；.FP：BE=FP：：6,

：FP〃AE,；.PF〃BE,AFG：BG=FP：BE=1：6,即BG=6GF,故本選項正確；

④當(dāng)點E,F分別是AB,AD中點時（如圖3）,由（1）知，△ABD,△BDC為等邊三

角形，???點E,F分別是AB,AD中點，.,.ZBDE=ZDBG=30°,，DG=BG,在△GDC

與△BGC中，：DG=BG,CG=CG,CD=CB,AAGDC^ABGC,AZDCG=ZBCG,

ACHIBD,即CG_LBD,故本選項錯誤；

⑤?.?/BGE=NBDG+NDBF=NBDG+NGDF=60。，為定值，故本選項正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個，故選B.

考點：四邊形綜合題.

2.如圖，中，ZACB=90°,AABC的角平分線A。、BE相交于點尸，過戶作

尸/FA。交8c的延長線于點P，交AC于點H,則下列結(jié)論：①乙m5=135°;②

=③A/7+B￡>=45；④S四邊形=其中正確的個數(shù)是（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可.

【詳解】

解：：在△ABC中，ZACB=90°,

.\ZCAB+ZABC=90°

：AD、BE分別平分NBAC、ZABC,

???NBAD」NCA8,NABE」/ABC

22

???NBAD+NABE=；ZCAB+1ZABC=1(ZCAB+ZABC)=45°

AZAPB=180°-(ZBAD+ZABE)=135。，故①正確;

???ZBPD=45°,

又???PF_LAD,

???ZFPB=90°+45°=135°

???ZAPB=ZFPB

又YNABP二NFBP

BP=BP

.,.△ABP^AFBP(ASA)

???NBAP=NBFP,AB=AB,PA=PF,故②正確；

在小APH與小FPD中

*.?ZAPH=ZFPD=90°

ZPAH=ZBAP=ZBFP

PA=PF

.,.△APH^AFPD(ASA),

AAH=FD,

又〈AB=FB

???AB=FD+BD=AH+BD,故③正確；

連接HD,ED,

VAAPH^AFPD,△ABP^AFBP

,?SJPH=SAFPD?S4ABp=SAFRP?PH=PD,

ZHPD=90°,

???ZHDP=ZDHP=45°=ZBPD

???HD〃EP,

??°AEPH~°"PD

?二S四邊形A8DE=^^ARP+ScBDP+^AEP+^EPD

=S&ABP+⑸八即+S4EPH)+S四口

~S^ABP+S.APH+SAPBD

=S4ABP+S、FPD+S“尸80

=S+SJBP

=2S.ABP

故④錯誤,

正確的有①②③，

故答案為：B.

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS.

ASA、HL,注意AAA和SAS不能判定兩個三角形全等.

3.如圖，AA8C中，ZACB=135°,CDLAB,垂足為。，若AD=6,BD=20,則C￡>

的長為（）

【答案】D

【分析】

做MCD,\BCD分別關(guān)于AC,BC的對稱圖形MCE,\BCF延長AE,BF交于點G,連接

CG,構(gòu)造正方形，再根據(jù)等量關(guān)系用勾股定理計算.

【詳解】

做AACD,\BCD分別關(guān)于AC,BC的軸對稱圖形AACE,ABCE延長AE,交于點G,連

接CG,如圖：

MCE,ABCF是MCD,ABCD的對稱三角形

AE=AD=6,BF=BD=20,CE=CD=CF

ZAEC=ZADC,ZBFC=ZBDC,ACE=ZACD,ZBCF=ZBCD

,：CDLAB

：.ZADC=ZBDC=ZAEC=ZBFC=90°

又：NACB=135°

ZACE+ZBCF=\35°

ZECF=360°-135°-135°=90°

二四邊形CEG尸是正方形

設(shè)CD=CF=GF=CE=GE=x,在RrAGAB中：AG2+BG2=AB2BP：

222

（X+6）+（20+X）=26解得：x,=4,X2=-30（舍）

...CO的長為4.

【點睛】

本題是一道綜合性較強的題目，整體圖形的對稱構(gòu)造正方形是解決本題的關(guān)鍵.

4.已知:如圖,80為△A8C的角平分線,且BD=BC,E為BD延長線上的一點,BE=BA,

過E作EF_LA8,F為垂足.下列結(jié)論：①△A3。絲△E3C；②NBCE+N8CQ=180。；

@AD=AEt@BA+BC=2BF.其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.D.①②??

【答案】D

【分析】

根據(jù)SAS證△ABD絲△EBC,可得NBCE=/BDA,結(jié)合/BCD=/BDC可得①②正

確；根據(jù)角的和差以及三角形外角的性質(zhì)可得/DCE=NDAE,即AE=EC,由AD=

EC,即可得③正確；過E作EG_LBC于G點，證明RlABEG絲RtABEF和

RtACEG^RtAAEF,得到BG=BF和AF=CG,利用線段和差即可得到④正確.

【詳解】

解：①：BD為AABC的角平分線，

；./ABD=NCBD,

BD=BC

.,.在△ABD和^EBC中，＜ZABD=ZCBD,

BE=BA

AAABD^AEBC(SAS),①正確；

②：BD為△ABC的角平分線，BD=BC,BE=BA,

ZBCD=ZBDC=ZBAE=ZBEA,

VAABD^AEBC,

NBCE=/BDA,

ZBCE+ZBCD=ZBDA+ZBDC=180°,②正確；

@VZBCE=ZBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,ZBCD

=/BEA,

，NDCE=NDAE,

/.△ACE為等腰三角形，

；.AE=EC,

VAABD^AEBC,

AAD=EC,

.,.AD=AE.③正確；

④過E作EGJ_BC于G點，

：E是NABC的角平分線BD上的點，且EF_LAB,

；.EF=EG（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）,

\BE=BE

在RtABEG和RtABEF中，4

EF-EG

.".RIABEG絲RSBEF(HL),

BG=BF,

\AE=CE

'：在RtACEG和RtAAFE中，｛

EF=EG

：.RtACEGRtAAEF(HL),

，AF=CG,

，BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,④正確.

故選D.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，等腰三角形

的判定與性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等利熟練運用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.如圖，在A4BC中，NBAC、N3C4的角平分線相交于點/,①若4=40。，則/4/C=

,②若Zfi=35。，BC^A1+AC,貝!J/BAC=.

【答案】110°70°

【分析】

①先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出/BAC+/BCA=140。，再根據(jù)角平分線的定義求出

ZIAC+ZICA的值，然后利用三角形內(nèi)角和即可求解；

②在BC上取CD=AC,連接BLDI,利用SAS證明△ACI與小DCI全等，可得AI=DL

NCAI=/CDL再根據(jù)BC=AI+AC求出AI=BD,從而可得BD=DL由三角形外角的性

質(zhì)可得NCDI=2NDBI,再根據(jù)角平分線的定義即可求出/CDI=ZABC,又

NBAC=2NCAI,代入數(shù)據(jù)進行計算即可求解；

【詳解】

①；4=40°,

.,.ZBAC+ZBCA=140°,

VAkCI分別是NBAC、N8C4的角平分線，

???ZIAC+ZICA=y(ZBAC+ZBCA)=70°,

.*.ZAIC=180o-70°=110°；

②如圖1,在BC上取CD二AC,連接BI、DI,

VCI平分NACB,

/.ZACI=ZBCI,

在^ACI^ADCI中，

AC=CD

<ZACI=NBC1,

Cl=CI

.,.△ACI^ADCI(SAS),

AAI=DI,ZCAI=ZCDI,

■:BGAI+AC,

ABD=AI,

???BD=DL

AZIBD=ZBID,

...ZCDI=ZIBD+ZBID=2ZIBD,

XVAhCI分別是NBAC、NACB的平分線，

???BI是NABC的平分線，

AZABC=2ZIBD,ZBAC=2ZCAL

AZCDI=ZABC,

???ZBAC=2ZCAI=2ZCDI=2ZABC,

VZABC=35°,

???ZBAC=35°x2=70°.

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰

的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用“截長補短法”作輔助線構(gòu)造全

等三角形以便于利用條件“BC=AI+AC”是解決本題的關(guān)鍵，也是難點.

6.已知，△ABC中，N8AC=120。，4。平分NB4C,ZBDC=60°,AB=2,AC=3,

則AD的長是.

AB

【答案】5

【分析】

過D作，DE1AC,E?F_LA8交A3延長線于凡然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和30P角

直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

過。作，DE1AC,交43延長線于F,

D

平分Za4C,DE1AC,DF±AB,

：.DE=DF，/DEC=NDFB=90。=NDEA,

,/ZBAC+ZBDC+ZDCE+ZDBA=360o,

N54C=120。，NBDC=60°,

：.ZDCE+ZDBA^180°,

"：ZDBF+ZDBA=180°,

:.ZDCE=ZDBF,

在ADEC和中,

ZDCE=/DBF

</DEC=/DFB

DE=DB

：.ADE&△。尸B(A4S),

:?CE=BF,

在心△QE4和心△。必中，

JDE=DF

\DA=DA，

???Rt/\DEA^/\DFA(HL),

J.AE=AFf

,:AE=AC-CE,AF=AB+BFf

：.AC-CE=AB+BFf

：.CE+BF=AC-AB=lf

：.CE=BF=-

2f

：.AF=AB+BF=-

2f

丁AD平分N8AC,

???ZD/1B=-ZBAC=60°,

2

???ZADF=1S00-ZDAB-ZDFB=30°,

???AD=2AF=5.

【點睛】

此題考查了全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形.

7.如圖，BP平分NABC,PD1BC,E、F分別是角兩邊上點，現(xiàn)有四個結(jié)論知其一

定能得其余結(jié)論的有①/ABC+/EPF=180。；②/BEP=/PFC；③PE=PF；(4)

2BD=BF+BE,.

【答案】由(1)、(2)、(4)可以推出其它三個.

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理、HL證明直角三角形全等、AAS證明三角形全等、同角的補

角相等即可解答.

【詳解】

解：由(1)可以推出其它三個；由(4)可以推出其它三個；由(2)可以推出其它三個.

如圖：過點P作PMLAB于點M.

(一)增加條件①NABC+NEPF=I8O°時：

,/ZABC+ZEPF=180',ZPFC+ZBFP=180°,

.".ZBEP+ZBFP=180°,ZBEP=ZPFC,即②成立，

VZBEP+ZPEM=180°,

；.NDFP=NMEP,

：BP平分/ABC,PD1BC,PMXAB

PD=PM,

XVZPME=ZPDF=90°,

ARtAPME^RtAPDF,

；.ME=DF,PE=PF.即③成立，

BP=BP,

PMB^RtAPDB(HL),

；.BM=BD,

VBD=BF-DF,BM=BE+EM,ME=DF,

，2BD=BD+BM=(BF-DF)+(BE+EM)=BF-DF+BE+EM=BF+BE,即2BD=BF+BE,

故④正確.

(二)增加條件④23￡>=3R+3E時，

：BP平分NABC,PD1BC,PMXAB

PD=PM,

又：NPMB=NPDB=90°,BP=BP

ARtAPMB絲RsPDB,

；.BM=BD,

VBD=BF-DF,BM=BE+EM,2BD=BF+BE,

BD+BM=2BD,即BF-DF+BE+EM=BF+BE

；.ME=DF,

同（一）方法即可證明RSPME絲母△PDF,從而證得①、②、③正確；

（三）添加條件②NBEP=/PFC時，方法同（一）中即可證明RSPME也RSPDF,從

而證得其它結(jié)論正確；

（四）如果添加③PE=PF,當(dāng)點F在下圖F的位置時，其它三項不正確.

本題重點考查角平分線的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的

證明方法.

8.如圖，AA8C的外角NAC。的平分線CP與內(nèi)角NA8C的平分線8尸交于點尸，若

N3PC=50°,NCAP=.

【答案】40°

【分析】

過點P作PFLAB于F,PM_LAC于M,PNLCD于N,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和內(nèi)角

和定理，得到NBAC度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出

ZCAP=ZFAP,即可得到答案.

【詳解】

解：過點P作PF_LAB于F,PM_LAC于M,PN_LCD于N,如圖：

TCP平分NACD,

AZACP=ZPCD=x,PM=PN,

ZACD=2x,

TBP平分NABC,

???NABP=NPBC,PF=PM=PN,

VZBPC=50°,

:.ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=x-50°,

ZABC=2(x-50°),

.??ABAC=ZACD-ZABC=2x-2(x-50°)=100°,

JZMC=180°-100°=80°,

在RtAAPF和RtAAPM中，

VPF=PM,AP為公共邊，

ARtAAPF^RtAAPM(HL),

/.ZFAP=ZCAP,

ZCAP=-x80°=40°；

2

故答案為：40°；

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角

形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識進行解題，正確求出NE4C=80。是

關(guān)鍵.

9.如圖所示，的外角NA8的平分線CP與NABC的平分線相交于點P,若

ZBPC=36°,貝!J/C4P=.

A

P

【答案】54°

【分析】

如圖(見解析)，設(shè)NCBP=x,從而可得NABC=2x,先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出

ZBAC=72°,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PN,PM=PE,從而可得PN=PE,

然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得=最后根據(jù)平角的定義

即可得.

【詳解】

如圖，過點P分別作于點M,于點N,PE,AC于點E,

設(shè)NCBP=x,則ZA8C=2x,

?rZBPC=36。，

ZJDCP=NCBP+ZBPC=x+36°,

CP是ZAC。的平分線，

/.ZACD=2ZDCP=2x+72°,

ABAC=ZACD-ZABC=2x+72°-2x=72°,

?.?3P是ZA8C的平分線，PMA.BD,PN±BA,

:.PM=PN,

同理可得：PM=PE,

:.PN=PE,

=\PN=PE

在和油八4"中，，

[PA=PA

RtAATVP二Rt從EP(HL),

:"PAN=/PAE,即NQ4N=NC4P,

又???N^W+NC4P+/B4C=180。,

.?.2NC4P+720=180。，

解得NC4P=54。，

故答案為：54°.

N

A

【點睛】

本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與

性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.如圖，四邊形ABCD中"=2N8=120。，AB=AD,E為BC上一點,連接AE,

BE=2,8=7,若4NaAE+NBC￡>=120。，則線段CE的長為.

【答案】13

【分析】

如下圖，先構(gòu)造并證明AAAffiMAWD,從而得出A4cM三AACV,再根據(jù)

4NB4E+NBC￡)=120?？赏茖?dǎo)出AC=CE,最后在RtAACM中求解.

【詳解】

解析：連接AC,過點A作于點M,ANLCD于點、N,

■.■ZADC=2AB=\2Q°,

:.ZADN=ZB=6O°,

-,-AB=AD,ZAMB=ZAND=9Q°,

AAMB=^AND,

.\AM=ANfBM=DN,

...R2CM三RtAACN

：.ZACB=ZACD,CM=CN.

設(shè)ZBA￡=a,則264萬。=60。+2，

?/4ZBAE+/BCD=120°

/.ZACE=60°-2a.

:.ZCAE=6O0+a

AC=CE.

^EM=af貝ij8M=DV=2+a,CM=CN=9+a

AC=CE=9+2a,AM=?(2+a),

在RfAACM中，由勾股定理得4M2+CA/2=

解得a=2.

:.CE=13.

【點睛】

本題考查了構(gòu)造并證明全等三角形、勾股定理的運用，解題關(guān)鍵是利用

4N3AE+N8C￡>=120。進行角度轉(zhuǎn)化，得到邊AC=CE.

三、解答題

11.如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=1(X)°,8。是ZABC的平分線，延長8。至點E,

DE=AD，試求NEC4的度數(shù).

【答案】400

【分析】

在BC上截取=連接。尸，通過證明AAB睦AF3￡>(SAS),可得

“打。=180。-/4=80。，再通過證明A￡>CE&ADCF(&1S),即可求得

ZECA=ZDCB=4O0

【詳解】

解：如圖，在8c上截取8尸=他，連接。尸，

QB。是NABC的平分線,

:.ZABD=NFBD,

在△ABD和AFBD中,

AB=FB,

，4ABD=NFBD,

BD=BD,

:.AABD^/\FBD（SAS）,

:.ZBFD^ZA,AD=DF,

：.DE=DF,

.?./OFC=180?！狽A=80。，

又?.?ZABC=ZACB=40。，:.ZFDC=60°,

NEDC=N/M）8=180°-NAB。-NA=60°,

：.ZEDC=ZFDC,

在A￡）CE和A￡>CF中，

DE=DF,

-2EDC=ZFDC,

DC=DC,

:.ADCE^/\DCF（SAS）,

故NEC4=NOCB=40°.

【點睛】

本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，AABC的外角NDAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，PD_LAB于

D,PE_LAC于E.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長.

D

/

B乙---------------J—2

【答案】(1)證明見解析；(2)2

【分析】

(1)連接BP、CP,根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得8P=CP,

根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DP=EP,然后利用證明RtABDP

和RtDCEP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；

(2)利用“HL”證明RtAADP和RtDAEP全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=AE,

再根據(jù)A3、AC的長度表示出A。、CE,然后解方程即可.

【詳解】

(1)證明：連接研、CP,

?.?點尸在BC的垂直平分線上，

；.BP=CP,

是ND4C的平分線，

\DP=EP,

在RtABDP和RiDCEP中，

\BP=CP

\DP=EP，

\RtDBDP@RtDCEP(HL),

BD=CE；

(2)解:在RtAADP和RtDAEP中，

|AP=AP

|z)P=EP'

\RtDADP@RtDAEP(HL),

.\AD=AE,

?/AB=6cm,AC=1Oan,

\6+AD=10-AEf

即6+AO=10-AI),

解得AD=2cm.

D

A

，E

【點睛】

本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端

點的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

13.已知：如圖，AC//BD,AE,8E分別平分NC48和ZABD,點E在CD上.用等

式表示線段AB、AC、BZ）三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

C

【分析】

延長AE,交BD的延長線于點F,先證明AB=BF,進而證明aACE絲△FDE,得到AC=DF,

問題得證.

【詳解】

解：延長AE,交BD的延長線于點E

AC//BD,

：.ZF=ZCAF,

,/AE平分NC4B,

NCAF=NBAF,

.,.NF=NBAF,

AB=BF,

??,8后平分/45/，

???AE=EF,

VZF=ZCAF,ZAEC=ZFED,

.,.△ACE^AFDE,

AAC=DF,

，AB=BF=BD+DF=BD+AC.

F

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意添加輔助線

構(gòu)造等腰三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵.

14.如圖1,在AABC中，AF,8E分別是N8AC和ZA8C的角平分線，A尸和BE相交

于D點.

（1）求證：平分ZAC8；

（2）如圖2,過尸作FPJ_AC于點P,連接P￡>,若ZAC8=45。，NPDF=6750,求證：

PD=CP；

(3)如圖3,若2NBAF+3NABE=18()。，求證：BE-BF=AB-AE.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【分析】

（1）過D點分別作三邊的垂線，垂足分別為G、H、K,根據(jù)角平分線的定義可證得

DG=DH=DK,從而根據(jù)角平分線的判定定理可證得結(jié)論；

（2）作。S_LAC,DTLBC,在AC上取一點Q,使422力=/以*,通過證明

ASQD^TFD和△QDPQ4FDP得到NPDC=ZPCD=22.5°,從而根據(jù)等角對等邊判斷即

可：

（3）延長AB至M,使BM=BF,連接FM,通過證明△AF84AFM得到AC=AM,

再結(jié)合C￡=￡B即可得出結(jié)論.

【詳解】

（1）證明：如圖所示，過D點分別作三邊的垂線，垂足分別為G、H、K,

VAF,8E分別是N8AC和NA8C的角平分線，

:.DG=DH=DK,

平分NAC5；

(2)證明：如圖，作E>S，AC,DTA.BC,在AC上取一點Q,使NQDP=NFDP.

CD平分NACB,

.??DS=DT,

*.<ZQDP=/FDP=67.5°,ZACB=45°,

...NQDF+ZACB=135。+45°=180°,

在四邊形QW<中，ZCeD+ZDFC=180°,

又?:ZDFT+ZDFC=\^P,

/CQD=ZDFT,

在ASQD和△7FD中，

ZCQD=ZDFT

DS=DT

/DSQ=/DTF=90。

：.ASQD^ATFD,

：.QD=FD,

在△QQP和"OP中

QD=FD

?ZQDP=NFDP

DP=DP

1./XQDW4FDP,

/QPD=NFPD=45。

又,//QPD=/PCD+ZPDC,ZPCD=22.5°,

APDC=ZPCD=22.5°,

:.CP=PD：

(3)證明：延長AB至M,使BM=BF,連接

VAF,班?分別是NBAC和NABC的角平分線，

2Z^4F+2ZABE+ZC=180°，

XV2ZBAF+3ZABE=180°,

,ZC=ZABE=NCBE,

???CE=EB,

*：BM=BF,

=ZABE=NCBE=NC,

在△AbC和中，

NC=NBMF

?ZCAF=NBAF,

AF=AF

二?AAFC^/^AFM,

???AC=AM,

，AE+CE=AB+BM,

:.AE+BE=AB+BF,

:.BE-BF=AB-AE.

【點睛】

本題考查角平分線的性質(zhì)與判斷，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活結(jié)合角平分線的

性質(zhì)構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵.

15.(1)如圖L射線OP平分NMOM在射線OM,ON上分別截取線段04,OB,

使04=05,在射線OP上任取一點O,連接AO,BD.求證：AD=BD.

(2)如圖2,在KfAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,CD平分NAC8,求證：BC

=AC+AD.

(3)如圖3,在四邊形A50E中，AB=9,DE=1,BD=69C為3。邊中點，若AC

平分NA4￡,EC平分NAED,ZACE=120°,求A￡的值.

MC

圖1圖2圖3

【答案】(1)見詳解；(2)見詳解；(3)AE=13

【分析】

(1)由題意易得然后易證△A。。絲△BOD,進而問題可求證；

(2)在BC上截取CE=C4,連接OE,由題意易得乙4co=NECO,N8=30。，則有

△AC。絲△EC。，然后可得/A=NCEZ)=60。，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

NEDB=NB=30。,然后可得￡>E=BE,進而問題可求證；

(3)在AE上分別截取AF^AB,EG=ED,連接CF、CG,同理(2)可證△ABC^/XAFC,

△CDEBACGE,則有N4CB=N4CF,NDCE=NGCE,然后可得NACF+NGCE=60°,

進而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解.

【詳解】

證明：(1)I?射線0P平分NMON,

NAOD^NBOD,

VOD=OD,OA=OB,

.?.△AO。絲△BOO(SAS),

：.AD=BD.

(2)在BC上截取CE=C4,連接。E,如圖所示：

VZACB=90°,ZA=60°,CD平分NAC8,

；.NACD=/ECD,Zfi=30°,

,:CD=CD,

.?.△4CD畛△ECD(SAS),

AZA=ZCED=60°,AD=DE,

'：ZB+ZEDB=ZCED,

:.NEDB=/B=30°,

:.DE=BE,

：.AD=BE,

'：BC=CE+BE,

：.BC=AC+AD.

(3)在AE上分別截取4F=AB=9,EG=Eg,連接CF、CG,如圖所示:

同理（1）（2）可得：△ABCgZXAFC,△CDE^/\CGE,

：.ZACB=ZACF,ZDCE=ZGCE,BC=CF,CD=CG,DE=GE=\,

為8。邊中點，

:.BC=CD=CF=CG=3,

"：ZACE=\20°,

：./ACB+NOCE=60。，

ZACF+ZGCE=60°,

NFCG=60。,

...△CFG是等邊三角形，

：.FG=CF=CG=3,

：.AE=4尸+尸G+GE=9+3+1=13.

【點睛】

本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及

等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等.

16.（特例感知）

（1）如圖（1）,48c是。。的圓周角,8C為直徑,80平分ZABC交。。于點。，8=3,

BD=4,求點。到直線A8的距離.

（類比遷移）（2）如圖（2）,NABC是。。的圓周角，8c為。。的弦，80平分NA3C

交于點。，過點。作DE_L8C,垂足為點E,探索線段AB,BE,BC之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

（問題解決）（3）如圖（3）,四邊形A8C0為G）O的內(nèi)接四邊形，ZABC=90°,BI）

平分ZABC,BD=7>/2?AB=6,求AABC的內(nèi)心與外心之間的距離.

【分析】

(1)如圖①中，作￡>F_LAB于F,OE_L8C于E.理由面積法求出。E,再利用角平

分線的性質(zhì)定理可得。尸=DE解決問題；

(2)如圖②中，結(jié)論：AB+BC=2BE.只要證明ADEAwADEC(ASA),推出AF=CE,

RtABDF=RtABDE(HL),推出A尸=8E即可解決問題；

(3)如圖③，過點。作DFLBA,交&4的延長線于點F,DE1BC,交BC于點、E,

連接4C,作△ABC4ABC的內(nèi)切圓，圓心為M,N為切點，連接MN,OM.由(1)

(2)可知，四邊形5EDF是正方形,8。是對角線.由切線長定理可知：A7V=6+?-8=4,

推出ON=5-4=1,由面積法可知內(nèi)切圓半徑為2,在RtAOMN中，理由勾股定理即可解

決問題；

【詳解】

解：(1)如圖①中，作。F_LA5于F,DE，BC于E.

圖①

Q8Q平分ZABC,DF±AB,DE1.BC,

:.DF=DE,

?：8c是直徑，

/.ZBDC=90°,

：.BC=yjBDr+CD2="2+32=5,

???L?BC?DE=L?BD.DC,

22

/.DE=y,

：.DF=DE=—

5

故答案為1?2

(2)如圖②中，結(jié)論:AB+BC=2BE.

圖②

理由：作84于尸，連接AD,DC.

QB。平分DELBC,DFLBA,

:.DF=DE,/DFB=NDEB=9Q。,

vZABC+ZADC=180°,ZABC+ZEDF=iSO°,

:,ZADC=ZEDF,

:"FDA=4CDE,

???NDE4=NOEC=90。，

:.ADFA^ADEC(ASA),

:.AF=CE,

?;BD=BD,DF=DE,

RtABDF?RtABDE(HL),

:.BF=BE,

:.AB+BC=BF—AF+BE+CE=2BE.

(3)如圖③，過點。作DFLBA,交8A的延長線于點F,DE1BC,交BC于點、E,

連接AC，作△ABCZkABC的內(nèi)切圓，圓心為M,N為切點，連接MN,0M.由(1)

(2)可知，四邊形BE。尸是正方形，8D是對角線.

圖③

???正方形BEDF的邊長為7,

由（2）可知：BC=2BE—AB=8,

AC=^+82=10-

由切線長定理可知：AN=6+l；-8=4,

.-.ON=5-4=\,

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,

則Lxrxl0+，xrx6+!xrx8=」x6x8

2222

解得〃=2、

即MV=2,

在RtAOMN中，OM=ylMN，+ON!=&+廣=石.

故答案為逐.

【點睛】

本題屬于圓綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，

解直角三角形，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（0,。），點8的坐標(biāo)SO）且a,b滿足

-12a+36+—4=0.

(1)求A、8兩點的坐標(biāo)；

(2)如圖(1),點C為x軸負半軸一動點，OC<OB,8。LAC于。，交y軸于點E,

求證：OD平分NCDB.

(3)如圖(2),點尸為AB的中點，點G為x正半軸點5右側(cè)的一動點，過點尸作FG

的垂線可，交y軸的負半軸于點V,那么當(dāng)點G的位置不斷變化時，SAAM-SAFBC的

值是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應(yīng)結(jié)果.

【答案】(1)40,6),8(6,0)；(2)證明見解析；(3)不變化，5i-1〃=9.

【分析】

(1)由非負性可求”，匕的值，即可求A、B兩點的坐標(biāo)：

(2)過點。作于M,ONLAC”根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即

可；

(3)由于點尸是等腰直角三角形AOB的斜邊的中點，所以連接。凡得出

OF=BF.NBFO=/GFH,進而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角

形的判定和性質(zhì)以及三角形面積公式解答即可.

【詳解】

解：(1)*.*cr—12z+36+|a—4—0

(4—6)"+|iz—Z>|=0,

[a-6=0

\八，即a=。=6.

[”一/?=0

A(0,6),8(6,0).

(2)如圖，過點。作班)于M,ONLAC于N,

根據(jù)題意可知Z4C0+ZC4O900.

VBD1AC,

:.ZBCD+NCBE=90。,

:.NCAO=/CBE.

:4(0,6),5(6,0),

OA=OB=6.

ZCAO=ZEBO

在△4OC和△BQE中，,OA=OB

/AOC=4OE=90。

/.^AOC=?BOE(ASA).

?**OE=OC,AC=BE,S4Aoe=SJOE?

：.-AC-ON^-BEOM,

22

OM=ON,

...點。一定在NCDB的角平分線上，

即O力平分/CDB.

(3)如圖，連接。凡

???“108是等腰直角三角形且點尸為AB的中點，

AOF1AB,OF=FB,。/平分NAO8.

:.AOFB=AOFH+AHFB=^Q.

又?：FG1FH,

：.ZHFG=ZBFG+AHFB=90°,

:.NOFH=NBFG.

VZFOB=-ZAOB=45°,

2

:./FOH=/FOB+/HOB=45。+90。=135°.

又丁ZFBG=180°-ZABO=180°-45°=135°,

:.NFOH=NFBG.

ZOFH=NBFG

在△FO"和△m6中＜OF=BF,

ZFOH=ZFBG

：.AFOH^FBGCASA).

?q=q

,*J&FOH°&FBG，

,.S：-SJBG=S.AFITSF.OH=S.F0A=—5,?=/X5OA-OB=-X6X6=9.

故不發(fā)生變化，且邑”H-S/BG=9.

【點睛】

本題為三角形綜合題，考查非負數(shù)的性質(zhì)，角平分線的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和

判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，正

確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

18.已知：A￡>是的角平分線，且

(1)如圖1,求證：AB=AC；

(2)如圖2,ZABC=30°,點E在AD上，連接CE并延長交AB于點E,BG交CA

的延長線于點G,且ZABG=NAb,連接尸G.

①求證：ZAFG=ZAFC；

②若SAABG：SA“CF=2:3,且AG=2,求AC的長.

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②6.

【分析】

(1)用4sA證明即得AB=AC；

(2)①證明△BAG絲ZkCAE可得AG=A￡,再用SAS證明△EG絲即得

ZAFG=ZAFC；

②過尸作FK_LAG于K,由工.。：S&ACF=2:3,可得S&CAE?S^ACF=2:3，

S△用「：5%仃=1：3,而AR4G四△%￡,故S△*G㈠揖〃=卜3,即得AG:AC=1:3,

根據(jù)AG=2,可求AC=6.

【詳解】

解：(1)證明：?.?">是AABC的角平分線，

：.ZBAD=ZCAD,

???AD1BC,

.\ZADB=ZADCf

在△ABQ和△AC。中，

ZBAD=ZCAD

<AD=AD,

ZADB=ZADC

:.^ABD^ACD（ASA）f

:,AB=AC；

（2）?-,-AB=ACfZABC=30°,AD1BC,

/.ZBAD=ZC4D=60°,

/.z^R4G=60°=ZC4Z）,

在ARAG和VC4E中，

ZBAG=ZCAE

<48=4。,

NABG=ZACE

:.Z\BAG^A,CAE（ASA）,

AG=AE,

在△EAG和△EAE中，

AG=AE

<NGAF=NEAF,

AF=AF

/.△MG^AE4￡（SAS）,

??.ZAFG=ZAFC；

②過/作FK_LAG于K,如圖：

c

由①知：△84Gg/kC4￡,

?*S^ABG-SFACF=2:3，

?,^AC4￡:S^ACF=2：3,

*#?S4FAE：§4ACF=1：3，

由①知：4Gg/XEAE,

-S^FAG:S&ACF=1：3,

???（；AG.FK）:（gAC/K）=l:3,

/.AG:AC=l:3f

QAG=2,

AC=6.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的

相關(guān)知識.

19.如圖，已知在四邊形ABCD中，8。是ZA3C的平分線，AD=CD.2求證：

ZA+ZC=180°.

【答案】見解析

【分析】

方法一,在8c上截取BE,使的=他，連接DE,由角平分線的定義可得ZABC=4DBC,

根據(jù)全等三角形的判定可證△ABD和△E8D全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

ZA=ZBED，AD=DE,由AO=C。等量代換可得。E=DC,繼而可得NC=N￡)EC,

由于NB瓦)+NOEC=180。，可證NA+NC=180。；

方法2,延長B4到點E,使BE=8C,由角平分線的定義可得=4啰C,根據(jù)

全等三角形的判定可證△￡?￡)和AC3￡>全等，繼而可得/E=/C,DC=DE.由

AD=CD,可得DE=AD，繼而求得NE=44￡>,由N￡W+N8A￡>=180。，繼而可

得/84D+NC=180°；

方法3,作力ELBC于點E,DEJ_54交84的延長線于點F,由角平分線的定義可得，

由DEA.BA,可得NF=/￡>EB=90。，根據(jù)全等三角形的判定可證AFBD和

△EBD全等，繼而可得DF=DE,再根據(jù)HL定理可得可證N84r)+NC=180。.

【詳解】

解：方法1截長如圖，在8c上截取8E,使跖=4?,

連接DE,

因為80是NABC的平分線,

所以ZABC=NDBC.

在△ABD和中,

AB=EB

因為■NABD=NDBC

BD=BD

所以AABE)=△￡?/),

所以NA=NB￡D，AD=DE.

因為">=C￡>,

所以DE=DC,

所以NC=NDEC.

因為NBED+/DEC=180°,

所以NA+NC=180°.

方法2補短

如圖，延長54到點E,使8E=5C.

因為80是ZABC的平分線,

所以ZABD=NDBC

在aEB短和ACB￡>中，

BC=BE

因為，NEBD=NDBC,

BD=BD

所以AEBD^GCBD,

所以/E=NC,DC=DE.

因為A￡)=CD,

所以O(shè)E=AD，

所以N￡=NE4￡).

因為NE4