2023-2024學(xué)年湖南省邵陽二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省邵陽二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知z=?1?i，則|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.若m，n為兩條直線，α為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若m/?/α，n?α，則m/?/n B.若m/?/α，n/?/α，則m/?/n

C.若m/?/α，n⊥α，則m⊥n D.若m/?/α，n⊥α，則m與n相交3.南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學(xué)和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾(Florence?Nig?tingale)設(shè)計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小.某機構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量(單位：億人次)，并繪制成南丁格爾玫瑰圖(如圖所示)，根據(jù)此圖，以下說法正確的是(

)A.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量先增加后減少

B.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

D.2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍4.在△ABC中，acosA=bcosB，則三角形的形狀為(

)A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.等邊三角形 D.等腰三角形5.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為(

)A.23π B.33π6.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b?4A.?2 B.?1 C.1 D.27.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則A.55 B.255 8.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點(切點)，地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè).若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC=100m，則該球體建筑物的高度約為(????)(cos10°≈0.985)A.49.25

m B.50.76

m C.56.74

m D.58.60

m二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.關(guān)于斜二測畫法，下列說法正確的是(

)A.在原圖中平行的直線，在對應(yīng)的直觀圖中仍然平行

B.若一個多邊形的面積為S，則在對應(yīng)直觀圖中的面積為24S

C.一個梯形的直觀圖仍然是梯形10.歐拉公式exi=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位，x∈R)是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是(

)A.eπ2i的虛部為1 B.e3π4i=11.下列說法中正確的是(

)A.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等

B.若A、B為互斥事件，則A的對立事件與B的對立事件一定互斥

C.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x9，x10的平均數(shù)和方差分別為2和8，若yi=2xi+1(i=1,2,3,…,9,10)，則y1，y2，y3，…，y9，y10的平均數(shù)和方差分別為5和32三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,2)，a?b=4，則向量b在13.已知某藝術(shù)班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，該班男生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為25，方差為1，女生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為30，方差為2，則這25名學(xué)生每人作品數(shù)量的方差為______．14.已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為r2和r1，母線長分別為2(r1?r2)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1，且|3a?2b|=7．

(1)求16.(本小題15分)

某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將期中考試的數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后得到如圖所示頻率分步直方圖．

(1)根據(jù)頻率分步直方圖，分別求眾數(shù)，第50百分位數(shù)；

(2)用比例分配的分層隨機抽樣的方法在各分數(shù)段的學(xué)生中抽取一個容量為20的樣本，求在[70,90)分數(shù)段抽取的人數(shù)；

(3)若甲成績在[70,80)，乙成績在[80,90)，求在(2)的條件下，甲、乙至少一人被抽到的概率．

17.(本小題15分)

在一個質(zhì)地均勻的正八面體中，八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，記事件A=“與地面接觸的面上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B=“與地面接觸的面上的數(shù)字不大于4”

(1)判斷事件A與B是否相互獨立，若是請證明，若不是請舉例說明；

(2)連續(xù)拋擲3次這個正八面體，求事件AB只發(fā)生1次的概率．18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB，證明：AD/?/平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A?CP?D的正弦值為427，求19.(本小題17分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2(1?sin2B)+b2(1?sin2A)=c2．

(1)求角C；

(2)若a=2，求△ABC的面積S的取值范圍；

(3)若c=2，且答案解析1.【答案】C

【解析】解：z=?1?i，則|z|=(?1)2+(?1)2=2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，若m/?/α，n?α，則m與n平行或異面，A錯誤；

對于B，若m/?/α，n/?/α，則m與n異面、平行或相交，B錯誤；

對于C，設(shè)直線l，滿足l?α且l/?/m，

若n⊥α，則n⊥l，而l/?/m，則m⊥n，C正確；

對于D，若m/?/α，n⊥α，則m與n相交或異面，D錯誤．

故選：C．

ABD可舉出反例，判斷它們的真假；C選項，根據(jù)線線平行和線面垂直的性質(zhì)得到答案，判斷它的真假．

本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】D

【解析】解：對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A說法錯誤；

對于B和C，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，0.96?0.48=0.48，

2017年，1.88?0.96=0.92，

2018年，2.95?1.88=1.07，

2019年，3.56?2.95=0.61，

2020年，4.15?3.56=0.59，

2021年，4.77?4.15=0.62，

2022年，5.27?4.77=0.5，

則知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故B說法錯誤，C說法錯誤；

對于D，由5.27>10×0.48，則2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故D說法正確．

故選：D．

根據(jù)統(tǒng)計圖中信息逐項判斷即可．

本題主要考查了統(tǒng)計圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：∵acosA=bcosB，

∴根據(jù)正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．

∵A∈(0,π)，

∴2A=2B或2A+2B=π，得A=B或A+B=π2，

因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故選：B．

根據(jù)正弦定理將題中等式化簡，得sinAcosA=sinBcosB，利用二倍角的正弦公式化簡得sin2A=sin2B.再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式加以計算，可得A=B或A+B=π5.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為：r，圓錐的母線長為：3+r2，

圓柱和圓錐的側(cè)面積相等，可得23πr=12×2πr×3+r2，6.【答案】D

【解析】解：a=(0,1)，b=(2,x)，

則b?4a=(2,x?4)，

b⊥(b?4a)，

則2×2+x(x?4)=(x?2)7.【答案】B

【解析】解：取AC的中點G，連接FG，EG，

根據(jù)題意可知FG/?/C1C，F(xiàn)G=C1C，

∴∠EFG為EF與側(cè)棱C1C所成的角(或其補角)，

因為正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，

而EG/?/BC，EG=12BC，

所以在Rt△EFG中，8.【答案】B

【解析】解：如圖，

設(shè)球的半徑為R，則AB=3R，

∵BC=Rtan10°?3R=100，

∴R=1001tan10°?3=100sin10°9.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，根據(jù)斜二測畫法知，直觀圖中平行性不會改變，A正確；

對于B，由原圖與直觀圖的關(guān)系，若一個多邊形的面積為S，則在對應(yīng)直觀圖中的面積為24S，B正確；

對于C，一個梯形的直觀圖仍然是梯形，C正確；

對于D，空間幾何體的直觀圖中，在原圖中互相垂直的兩條直線在對應(yīng)的直觀圖中可以垂直，如長方體的長和高，D錯誤；

故選：ABC．

10.【答案】AD

【解析】解：對于A，eπ2i=cosπ2+isinπ2=i，其虛部為1，故A正確；

對于B，e3π4i=cos3π4+isin3π4=?22+22i，故B錯誤；

對于C，exi=cosx+isinx，則|exi|=cos2x+sin211.【答案】ACD

【解析】解：對于A，在頻率分布直方圖中，根據(jù)中位數(shù)的概念，可得中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等是正確的，故A正確；

對于B，若A、B為互斥事件，根據(jù)互斥事件和對立事件的概念，可得則A的對立事件與B的對立事件不一定互斥，故B不正確；

對于C，設(shè)樣本數(shù)據(jù)xi的均值為x?，則x?=2，方差為s2，則s2=8，

所以新樣本yi=2xi+1的均值為y?=2x?+1=5，方差為22s2=32，故C正確；

對于D，由題意，可得高一年級抽取的樣本量為160450+350×450=90，

高二年級抽取的樣本量為160450+350×350=70．

高一和高二數(shù)學(xué)競賽的平均分約為9090+70×80+7090+70×90=84.375(分12.【答案】(1,1)

【解析】解：依題意，|a|=22+22=22，

所以向量b在a13.【答案】385【解析】解：由題意得，這25名學(xué)生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為25×25+35×30=28，

所以方差為s2=2514.【答案】6【解析】解：因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為r2和r1，母線長分別為2(r1?r2)和3(r1?r215.【答案】解：(1)∵|a|=|b|=1，|3a?2b|=7；

∴(3a?2b)2=9a2+4b2?12|a||b【解析】(1)根據(jù)|a|=|b|=1，對|3a?2b|=7兩邊平方，進行數(shù)量積的運算即可求出cos<a16.【答案】解(1)由題意可得，(0.01+0.015×2+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03，

根據(jù)頻率分布直方圖可知[70,80)分數(shù)段的頻率最高，因此眾數(shù)為75，

又由頻率分布直方圖可知[40,70)分數(shù)段的頻率為0.1+0.15+0.15=0.4，因為[70,80)分數(shù)段的頻率為0.3，

所以，第50百分位數(shù)即中位數(shù)為70+13×10=2203；

(2)因為總體共60名學(xué)生，樣本容量為20，因此抽樣比為2060=13．

又在[70,90)分數(shù)段共有60×(0.3+0.25)=33(人)，

因此，在[70,90)分數(shù)段抽取的人數(shù)是33×13=11人；

(3)在(2)的條件下，可知[70,80)分數(shù)段又6人，[80,90)分數(shù)段有5人，

設(shè)甲被抽到的事件為A，乙被抽到的事件為B【解析】(1)利用頻率分布直方圖中各個小矩形面積之和為1即可求出a的值，取頻率最高組的區(qū)間中點值即為眾數(shù)，再利用中位數(shù)左側(cè)小矩形面積之和為0.5求出中位數(shù)的估計值．

(2)估計總體容量和樣本容量求出抽樣比，再乘以[70,90)分數(shù)段的人數(shù)，即可求出結(jié)果；

(3)設(shè)甲被抽到的事件為A，乙被抽到的事件為B，求出相應(yīng)的概率，然后可以根據(jù)對立事件求解．

本題考查頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的樣本特征和分層抽樣以及事件的運算，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】解：(1)依題意，得樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，

所以A={1,3,5,7}，B={1,2,3,4}，則A∩B={1,3}，

故P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14=P(A)×P(B)，

所以事件A，B相互獨立．

(2)依題意知每次拋擲這個正八面體的結(jié)果都互不影響，即互相獨立，

記Ci(i=1,2,3)為第i次拋擲這個正八面體發(fā)生事件AB，則P(Ci)=P(AB)=14【解析】(1)列出樣本空間，即可列出A，B所對應(yīng)的基本事件，求出所對應(yīng)的概率，根據(jù)獨立事件的概率公式判斷即可；

(2)利用獨立事件的概率公式即可得解．

本題考查相互獨立事件概率乘法公式相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，

又因為AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

又AB?平面PAB，所以AD⊥AB，

因為AB=3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

于是AD/?/BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC．

所以AD/?/平面PBC．

(2)因為AD⊥DC，以D為原點，分別以DA，DC，為x，y軸，過點D作PA的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)AD=a>0，則DC=4?a2，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0,4?a2,0)，P(a,0,2)，

設(shè)平面DCP的一個法向量n1=(x1,y1,z1)，因為DC=0,4?a2,0，DP=a,0,2，

所以由DC·n1=0DP·n1=0【解析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，線面平行的判定以及二面角，屬于中檔題．

(1)首先證明AD⊥平面PAB，可得AD⊥AB，進而證明AD/?/BC，再根據(jù)線面平行的判定定理即可完成證明;

(2)在已知條件下，可以D為原點，分別以DA，DC，為x，y軸，過點D作PA的平行線為z軸