備戰(zhàn)2024高考數(shù)學藝體生一輪復習講義專題16極值與最值

專題16極值與最值【考點預料】學問點一：極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點旁邊有定義，假如對旁邊的全部點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．假如對旁邊的全部點都有，則稱是函數(shù)的一個微小值，記作．極大值與微小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側的符號，假如在根的左側旁邊為正，在右側旁邊為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；假如在根的左側旁邊為負，在右側旁邊為正，那么函數(shù)在這個根處取得微小值.注①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號.②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點.另外，極值點也可以是不行導的，如函數(shù)，在微小值點是不行導的，于是有如下結論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點.2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近微小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為微小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數(shù)為（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或微小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點旁邊狀況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不愿定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.【方法技巧與總結】（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于隨意的，總存在，使得；（6）對于隨意的，總存在，使得；（7）若存在，對于隨意的，使得；（8）若存在，對于隨意的，使得；（9）對于隨意的，使得；（10）對于隨意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．【典例例題】題型一：求函數(shù)的極值與極值點【方法技巧與總結】1、因此，在求函數(shù)極值問題中，確定要檢驗方程根左右的符號，更要留意變號后極大值與微小值是否與已知有沖突．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必需穿越軸，否則不是極值點．推斷口訣：從左往右找穿越（導函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找微小，下坡抬頭找極大．例1．（2024·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得微小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【解析】由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因為，，且當時，；當c<x<e時，；當x>e時，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不愿定取得最大值，在x＝e處取得微小值，不愿定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．故選：C．例2．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有微小值點（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【解析】由導函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知，函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個公共點，在從左到右第一個交點處導數(shù)左正右負，它是極大值點；在從左到右其次個交點處導數(shù)左負右正，它是微小值點；在從左到右第三個交點處導數(shù)左正右正，它不是極值點；在從左到右第四個交點處導數(shù)左正右負，它是極大值點.所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的微小值點有個.故選：A.例3．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為R，導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)（

）A．無極大值點、有四個微小值點B．有三個極大值點、一個微小值點C．有兩個極大值點、兩個微小值點D．有四個極大值點、無微小值點【答案】C【解析】設的圖象與x軸的4個交點的橫坐標從左至右依次為，當或或時，，當或時，，所以函數(shù)在，和上遞增，在和上遞減，所以函數(shù)的微小值點為，極大值點為，所以函數(shù)有兩個極大值點、兩個微小值點.故選：C．變式1．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如圖所示，設導函數(shù)的圖象與軸的交點分別為，依據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點處的左右兩側的導數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的微小值點，所以函數(shù)極值點的個數(shù)為4個.故選：C.變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為(a，b)，導函數(shù)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)在(a，b)上的極大值點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由函數(shù)極值的定義和導函數(shù)的圖象可知，在(a，b)上與x軸的交點個數(shù)為4，但是在原點旁邊的導數(shù)值恒大于零，故x＝0不是函數(shù)f(x)的極值點．其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿意其旁邊的導數(shù)值左正右負，故極大值點有2個．故選：B變式3．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)求的極大值點與微小值點；(3)求在區(qū)間上的最大值與最小值．【解析】（1）由題意得：，則，又，在處的切線方程為，即；（2）令，解得：或，則變更狀況如下表：微小值極大值的微小值點為，極大值點為；（3）由（2）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，，，，.變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在與時，都取得極值．(1)求，的值；(2)若，求的單調(diào)增區(qū)間和極值．【解析】（1），由條件可知和，即，解得：，，所以，檢驗：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增經(jīng)檢驗與時，都取得極值，滿意條件，所以，；（2），解得：，所以單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增有表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值是，函數(shù)的微小值是.變式5．（2024·全國·高三專題練習）設的導數(shù)滿意，其中常數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，求函數(shù)的極值.【解析】（1）.令，得，①令，得，②解方程組①②得.因此，，又，故曲線在點處的切線方程為，即.（2）由（1）知，從而有，令，則或，

∵當時，，當時，，當時，，

在時取微小值，在時取極大值題型二：依據(jù)極值、極值點求參數(shù)例4．（2024·全國·高三專題練習）已知沒有極值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】；在上沒有極值，，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.例5．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處有極值10，則（

）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【解析】，又時有極值10，解得或當時，此時在處無極值，不符合題意經(jīng)檢驗，時滿意題意故選：B例6．（2024·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)的微小值為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，則．故選：C變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【答案】C【解析】由得，依據(jù)題意得，解得．故選：C變式7．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有微小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，得，當時，在上恒成立，所以在上遞增，函數(shù)無極值，所以，令，則x＝±，∵函數(shù)在（，）上，函數(shù)遞減，在（，+∞）上，函數(shù)遞增∴x時，函數(shù)取得微小值∵函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有微小值，∴01，∴b∈（0，1）故選：B．變式8．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)=有大于零的極值點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原命題等價于有大于零的零點，明顯在上單調(diào)遞增，又因為時，，所以，所以故選：A.變式9．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在上存在唯一極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知：，若函數(shù)在上存在唯一極值點，則，即，解得.故選：B.變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對原函數(shù)求導得，，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不等實根，即有兩個不等實根，亦即有兩個不等實根.令，則可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因為當時，，當時，，所以，解得，即a的范圍是.故選：B題型三：求函數(shù)的最值例7．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________．【答案】【解析】因為，所以，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得微小值，又，所以在區(qū)間上的最小值為，故答案為：例8．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為______．【答案】0【解析】函數(shù)的定義域為．當時，，此時函數(shù)在上為減函數(shù)，當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上是連續(xù)函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增．當時取得最小值為．故答案為：0．例9．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則在上的最大值是__________．【答案】【解析】由題意可知，，，．當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則．故答案為：變式11．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為_________.【答案】【解析】當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，的最小值為.變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是的一個極值點．(1)求b的值；(2)當時，求函數(shù)的最大值．【解析】（1），∵是的一個極值點，∴解得．經(jīng)檢驗，滿意題意．（2）由（1）知：，則．令，解得或x12+0-0+遞增遞減遞增∵，∴函數(shù)的最大值為題型四：依據(jù)最值求參數(shù)例10．（2024·廣西·統(tǒng)考模擬預料）已知函數(shù)存在最大值0，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因為，，所以當時，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，不存在最大值；當時，令，得出，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，解得：.故選：B.例11．（2024·全國·高三專題練習）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿意題意，即有．故選：B.例12．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)在上的最大值為4，則的值為（

）A．7 B． C．3 D．4【答案】D【解析】∵，∴∴導數(shù)在時，，單調(diào)遞減；導數(shù)在時，，單調(diào)遞增；∵，，∴在處取得最大值為，即，故選：D.變式13．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既存在最大值也存在最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得或，可以推斷在處取得微小值，在處取得極大值.令，得或，令，得或，由題意知函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最大、最小值只能在和處取得，結合函數(shù)的圖象可得：，解得，故的取值范圍是.故選：A題型五：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用例13．（2024·黑龍江大慶·校聯(lián)考模擬預料）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，下列結論中正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．當時，取得最小值C．當時，取得極大值 D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】D【解析】依據(jù)圖象知：當，時，函數(shù)單調(diào)遞減；當，時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項A不正確，選項D正確；故當時，取得微小值，選項C不正確；當時，不是取得最小值，選項B不正確；故選：D.例14．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像在點處的切線恰好經(jīng)過點．(1)求；(2)已知函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．【解析】（1）由題可知，則，又，所以函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，即，因為點在切線上，所以，解得；（2）由已知可得在上恒成立，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的取值范圍為；綜上，a=-1，的取值范圍為.例15．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，是的一個極值點．(1)求實數(shù)a的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】（1）∵在處有極值，∴，∵，∴，∴，經(jīng)檢驗，當時，是的極值點，∴．（2）由（1）知，∴，，令，得，，當x變更時，的變更狀況如下表：x－3024－0＋0－5515－15從上表可知:在區(qū)間上的最大值是55，最小值是-15．變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.【解析】（1）由題可知，，的定義域為，，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區(qū)間上，，，的變更狀況表如下：120單調(diào)遞減單調(diào)遞增可得，，，由于，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.題型六：不等式恒成立與存在性問題【方法技巧與總結】在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可接受分別參數(shù)或不分別參數(shù)法干脆移項構造幫助函數(shù)．例16．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中．(1)探討的單調(diào)性；(2)若，，求的最大值．【解析】（1），當時，當恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意得對隨意恒成立，即對隨意恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，當時，，即；當時，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故的最大值為．例17．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)，滿意恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】因為，滿意恒成立，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最大值為，故選：C.例18．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在上的最大值是．，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以在上的最小值是，若，，恒成立，則，即，所以，所以實數(shù)k的取值范圍是．故選:D．變式15．（2024·全國·高三專題練習）若對隨意的，且，都有成立，則實數(shù)m的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由，且，可得，則等價于，即，所以，故，令，則，因為，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，解得，所以，所以實數(shù)的最小值為.故選：D.【過關測試】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習）設直線與函數(shù)，的圖象分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】設函數(shù)，求導數(shù)得因為，故當時，，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，當時，，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)所以x為的微小值點.故當|MN|達到最小時t的值為．故選：B．2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．是的微小值點 B．是的微小值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零【答案】D【解析】由圖像知，當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，是的極大值點，3是的微小值點，故ABC錯誤；又因為，所以曲線在處切線斜率小于零，故D正確.故選：D.3．（2024·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中存在極值點的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對選項A，，故沒有極值點；對選項B，，則極值點為，故正確；對選項C，，故沒有極值點；對選項D，，故沒有極值點；故選：B4．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的極值點的個數(shù)是（

）A． B． C． D．多數(shù)個【答案】A【解析】由題，，故無極值點故選：A5．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上遞增 B．函數(shù)無微小值C．函數(shù)只有一個極大值 D．函數(shù)在上最大值為3【答案】C【解析】因為定義域為，所以，所以當或時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，在處取得微小值，即，，又，，故函數(shù)在上最大值為；故選：C6．（2024·全國·高三專題練習）當時，函數(shù)取得最小值，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，當時，；當時，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值．故選：A.7．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，a為實數(shù)，，則在上的最大值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】，，，，，，令，則或，當或時，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，在處取得微小值，又，，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，故選：A．8．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若在上恒成立，則在上恒成立等價于在上恒成立，令，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故.故選：B.二、多選題9．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則關于函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．有2個零點 B．有2個極值點 C．在單調(diào)遞增 D．最小值為1【答案】BC【解析】定義域為R，，令得：或1，當時，，當時，，如下表：01-0+0-遞減微小值1遞增極大值遞減從而推斷出函數(shù)有兩個極值點，在上單調(diào)遞增，BC正確，由于恒成立，所以函數(shù)無零點，A錯誤，當時，，故函數(shù)無最小值，D錯誤；.故選：BC10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．是的極大值點C．有三個零點D．在上最大值是【答案】BCD【解析】因為所以，令，解得或，與隨的變更狀況如下表：200極大值微小值因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯誤；是的極大值點，故正確；因為，，，，由函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可知有三個零點，故正確；當?shù)亩x域為時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，，所以在，上的最大值是4，故正確．故選：．11．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A． B．C．時，取得最大值 D．時，取得最小值【答案】AB【解析】由圖象可知：當時，；當時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于A，，，A正確；對于B，，，B正確；對于C，由單調(diào)性知為極大值，當時，可能存在，C錯誤；對于D，由單調(diào)性知，D錯誤.故選：AB.12．（2024·全國·高三專題練習）【多選題】已知函數(shù)，則（

）A．時，的圖象位于軸下方B．有且僅有一個極值點C．有且僅有兩個極值點D．在區(qū)間上有最大值【答案】AB【解析】由題，函數(shù)滿意，故函數(shù)的定義域為由當時，所以則的圖象都在軸的下方，所以A正確；又，再令則，故故單調(diào)遞增，當時，由，故存在唯一的，使得，此時當,，單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增.又當時，，故此時恒成立，即單調(diào)遞減，綜上函數(shù)只有極值點且為微小值點，所以B正確，C不正確；又所以函數(shù)在先減后增，沒有最大值，所以D不正確.故選：AB.三、填空題13．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為______.【答案】1【解析】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.14．（2024·全國·高三專題練習）函