人教版八年級數(shù)學上冊重要考點題型精講精練專題07全等三角形的判定(原卷版+解析)

專題06全等三角形的判定【思維導圖】◎題型1：全等三角形的判定-SSS方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.例．(2023·江蘇蘇州·七年級期末）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，要證，則只需證明，依據(jù)是（

）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA變式1．（2023·廣西·靈山縣煙墩中學八年級期中）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法如下：如圖，是一個任意角，在邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合．過角尺頂點作射線．由此做法得的依據(jù)是（

）A． B． C． D．變式2．(2023·福建省福州第十九中學七年級期末）如圖，在平分角的儀器中，AB＝AD，BC＝DC，將點A放在一個角的頂點，AB和AD分別與這個角的兩邊重合，能說明AC就是這個角的平分線的數(shù)學依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED嗎？試證明．◎題型2：全等三角形的判定-SAS方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.例．(2023·四川眉山·八年級期末）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA變式1．(2023·海南海口·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在AC上，且AE=CF，則圖中全等三角形共有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對變式2．(2023·江蘇淮安·七年級期末）如圖，在和中，，補充一個條件后，能直接應(yīng)用“SAS”判定的是（

）A． B． C． D．變式3．(2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是小軍制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示，，，，，求的大小．◎題型3：全等三角形的判定-ASA或AAS方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.例．(2023·江西撫州·七年級期末）如圖，已知，，若可得，則判定這兩個三角形全等的依據(jù)是（

）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對岸選定一個目標點A，再在河的這一邊選定點B和F，使AB⊥BF，并在垂線BF上取兩點C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點A、C、E在同一條直線上，因此證得△ABC≌△EDC，進而可得AB＝DE，即測得DE的長就是AB的長，則△ABC≌△EDC的理論依據(jù)是（

）A．SAS B．HL C．ASA D．AAA變式2．(2023·福建三明·七年級期末）如圖，為了測量B點到河對面的目標A之間的距離，在B點同側(cè)選擇一點C，測得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標桿，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA變式3．(2023·江蘇·八年級）已知：點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．◎題型4：全等三角形的判定-HL方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.例．(2023·湖北荊州·八年級期末）如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若添加一個條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（）A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF變式1．(2023·河南洛陽·八年級期末）如圖，平分.于，于，則與的大小關(guān)系（）．A．不能確定 B． C． D．變式2．(2023·浙江臺州·八年級期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定與全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．變式3．(2023·江蘇·八年級）如圖，、相交于點，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．◎題型5：全等三角形的判定-綜合應(yīng)用判定方法的選擇1、選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2、如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.例．(2023·遼寧撫順·八年級期末）如圖，AB＝DB，再添加下面哪個條件不能判斷△ABC≌△DBC的是（

）A．AC＝DC B．∠ACB＝∠DCB C．∠A＝∠D＝90° D．∠ABC＝∠DBC變式1．（2023·河南洛陽·八年級期中）根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6變式2．(2023·河北保定·八年級期末）如圖，點C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了CN∥OA，連接EN，作圖痕跡中，△ODM≌△CEN根據(jù)的是（

）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS變式3．（2023·河南鄭州·一模）在課堂上，陳老師布置了一道畫圖題：畫一個，使，它的兩條邊分別等于兩條已知線段，小明和小強兩位同學先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小明和小強兩位同學作圖確定三角形的依據(jù)分別是（

）A．， B．， C．， D．，◎題型6：尺規(guī)作圖-作一個角等于已知角例．(2023·河南駐馬店·七年級期中）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容（

）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q；（2）作射線EG，并以點E為圓心◎長為半徑畫弧交EG于點D；（3）以點D為圓心⊙長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F；（4）作，∠DEF即為所求作的角．A．●表示點E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．表示射線EF變式1．(2023·浙江臺州·二模）在△ABC中，D是AC上一點，利用尺規(guī)在AB上作出一點E，使得，則符合要求的作圖痕跡是（

）A．B．C．D．變式2．(2023·河南信陽·二模）圖，點C在的邊OB上，尺規(guī)作圖痕跡顯示的是（

）A．作線段CE的垂直平分線B．作的平分線C．連接EN，則是等邊三角形 D．作變式3．(2023·全國·八年級）觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，能得出∠CPD=∠AOB的依據(jù)是（

）A．由“等邊對等角”可得∠CPD=∠AOBB．由SSS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOBC．由SAS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOBD．由ASA可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOB◎題型7：尺規(guī)作圖-作三角形例．(2023·河北保定·一模）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，則∠O的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°變式1．(2023·河南南陽·二模）作一個三角形與已知三角形全等：已知：．求作：，使得．作法：如圖．（1）畫；（2）分別以點，為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點；（3）連接線段，，則即為所求作的三角形．這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是（

）A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS變式2．(2023·山西實驗中學七年級期中）如圖，點在的邊上，利用尺規(guī)過點作的平行線，其作圖過程如下：在OB上取一點D，以O(shè)圓心、OD為半徑畫弧，弧交OA于點F，再以C圓心、OD為半徑畫弧，該弧與CB交于點E，再以E為圓心、DF為半徑畫弧，圓心為C的弧與圓心為E的弧交于點M，作射線CM，則，，可得，進而可以得到，，以上作圖過程中的依據(jù)不包括（

）A．圓的半徑相等 B．兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．同位角相等，兩直線平行 D．全等三角形的對應(yīng)角相等變式3．（2023·廣東·廣州市真光中學八年級期中）如圖，用直尺和圓規(guī)作一個三角形O1A1B1，使得O1A1B1≌OAB的示意圖，依據(jù)（

）定理可以判定兩個三角形全等A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS專題06全等三角形的判定【思維導圖】◎題型1：全等三角形的判定-SSS方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.例．(2023·江蘇蘇州·七年級期末）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，要證，則只需證明，依據(jù)是（

）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA答案：B【解析】分析：根據(jù)SSS可以判斷△COD≌△C′O′D′，進而得出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是SSS．【詳解】解：由題意可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，，∴△COD≌△C′O′D′（SSS），∴∠AOB=∠A′O′B′．故選：B．【點睛】本題考查基本作圖、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．變式1．（2023·廣西·靈山縣煙墩中學八年級期中）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法如下：如圖，是一個任意角，在邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合．過角尺頂點作射線．由此做法得的依據(jù)是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：分析已知條件，找相等的條件進行分析即可作出正確選擇．【詳解】∵OM=ON，CM=CN，OC為公共邊，∴△MOC≌△NOC（SSS）．故選：D．【點睛】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．變式2．(2023·福建省福州第十九中學七年級期末）如圖，在平分角的儀器中，AB＝AD，BC＝DC，將點A放在一個角的頂點，AB和AD分別與這個角的兩邊重合，能說明AC就是這個角的平分線的數(shù)學依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS答案：A【解析】分析：根據(jù)全等三角形的判定得出∠DAC=∠BAC，然后利用角平分線的定義即可證明．【詳解】解：在?ABC與?ADC中，，∴?ABC≌?ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC為∠BAD的角平分線，故選：A．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握運用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED嗎？試證明．答案：△ABC≌△AED,證明見解析.【解析】分析：由BD=CE，得到BC=ED，根據(jù)“邊、邊、邊”判定定理可得△ABC≌△AED．【詳解】解：△ABC≌△AED.證明：∵BD＝CE，∴BC＋CD＝CD＋DE，即BC＝ED.在△ABC與△AED中，∴△ABC≌△AED(SSS)【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證得BC=ED是解題的關(guān)鍵．◎題型2：全等三角形的判定-SAS方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.例．(2023·四川眉山·八年級期末）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA答案：D【解析】分析：圖中三角形沒被污染的部分有兩角及夾邊，根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【詳解】解：由圖可知，三角形兩角及夾邊可以作出，所以，依據(jù)是ASA．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．變式1．(2023·海南?？凇ぐ四昙壠谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點E、F在AC上，且AE=CF，則圖中全等三角形共有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對答案：C【解析】分析：利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理分析判斷即可．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，∴，，，．∵，∴，在和中，，∴；同理，在和中，，∴；∵AE=CF，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴；綜上，圖中一共有3對全等三角形，故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，注意認真觀察圖形，避免遺漏．變式2．(2023·江蘇淮安·七年級期末）如圖，在和中，，補充一個條件后，能直接應(yīng)用“SAS”判定的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)直接應(yīng)用“SAS”判定，已知了，補充即可．【詳解】解：∵，，∴（SAS）故選B【點睛】本題考查了SAS證明全等三角形，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．變式3．(2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是小軍制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示，，，，，求的大小．答案：【解析】分析：首先根據(jù)題意證明，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可求出的大?。驹斀狻拷猓骸撸?，∴，∴在和中，∴，∴．【點睛】此題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定方法．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．◎題型3：全等三角形的判定-ASA或AAS方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.例．(2023·江西撫州·七年級期末）如圖，已知，，若可得，則判定這兩個三角形全等的依據(jù)是（

）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS答案：B【解析】分析：由得，結(jié)合已知條件，滿足兩組對角相等且夾邊相等．【詳解】解：∵，∴，∴，又∵，，∴在和中滿足兩組對角相等且夾邊相等，∴，故答案為：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定條件，熟練掌握ASA，AAS，SSS，SAS，HL等全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對岸選定一個目標點A，再在河的這一邊選定點B和F，使AB⊥BF，并在垂線BF上取兩點C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點A、C、E在同一條直線上，因此證得△ABC≌△EDC，進而可得AB＝DE，即測得DE的長就是AB的長，則△ABC≌△EDC的理論依據(jù)是（

）A．SAS B．HL C．ASA D．AAA答案：C【解析】分析：根據(jù)已知條件CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，判斷△ABC≌△EDC的依據(jù)即可．【詳解】解：∵證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴用到的是兩角及這兩角的夾邊對應(yīng)相等即ASA這一方法，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．變式2．(2023·福建三明·七年級期末）如圖，為了測量B點到河對面的目標A之間的距離，在B點同側(cè)選擇一點C，測得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標桿，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA答案：C【解析】分析：本題考查的是全等三角形的判定，由已知條件可知利用的是ASA，問題得解．【詳解】解：在和中，．故選：C．【點睛】本題考查全等三角形判定的實際應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式3．(2023·江蘇·八年級）已知：點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．答案：見解析【解析】分析：先利用平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再證明BC＝EF，然后根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△DEF．【詳解】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．◎題型4：全等三角形的判定-HL方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊?。?）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.例．(2023·湖北荊州·八年級期末）如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若添加一個條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（）A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF答案：D【解析】分析：根據(jù)題目給的條件可知道直角邊和直角，因為需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜邊這一條件，即可解答．【詳解】解：∵，，∴添加條件，根據(jù)“HL”即可判定≌；或添加條件，也可得出，根據(jù)“HL”即可判定≌，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．變式1．(2023·河南洛陽·八年級期末）如圖，平分.于，于，則與的大小關(guān)系（）．A．不能確定 B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可推出,再利用直角三角形全等的判定定理證明RT△OCP與RT△ODP全等即可．【詳解】證明：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴,∠OCP=∠ODP=90°．在與中，∴∴OC＝OD，故選：D．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理以及用HL證明直角三角形全等的應(yīng)用，熟練掌握定理并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式2．(2023·浙江臺州·八年級期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定與全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：先根據(jù)，判斷出≌．【詳解】解：滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，在和中，，≌，故選：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題．變式3．(2023·江蘇·八年級）如圖，、相交于點，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．答案：(1)證明見解析(2)【解析】分析：（1）由可知和都是直角三角形，因為，，所以根據(jù)“”可以判定；（2）先根據(jù)“直角三角形的兩個銳角互余”求出的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等求出的度數(shù)，則由即可求出的度數(shù)．(1)證明：∵，∴和都是直角三角形，在和中，，∴，即；(2)解：∵，，∴，∵∴，∴，∴的度數(shù)為．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余等知識．根據(jù)“有斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”證明是解題的關(guān)鍵．◎題型5：全等三角形的判定-綜合應(yīng)用判定方法的選擇1、選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2、如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.例．(2023·遼寧撫順·八年級期末）如圖，AB＝DB，再添加下面哪個條件不能判斷△ABC≌△DBC的是（

）A．AC＝DC B．∠ACB＝∠DCB C．∠A＝∠D＝90° D．∠ABC＝∠DBC答案：B【解析】分析：由于AB＝DB，BC為公共邊，則根據(jù)全等三角形的判定方法可對各選項進行判斷．【詳解】解：∵AB＝DB，BC＝BC，∴當添加AC＝DC時，根據(jù)“SSS”可判斷△ABC≌△DBC；當添加∠A＝∠D時，根據(jù)“HL”可判斷△ABC≌△DBC；當添加∠ABC＝∠DBC時，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△DBC．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．變式1．（2023·河南洛陽·八年級期中）根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6答案：C【解析】分析：根據(jù)全等三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系分別判斷即可．【詳解】解：A，AB＝3，BC＝4，CA＝8，不滿足三角形三邊關(guān)系，故此選項不符合題意．B，AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，邊邊角三角形不能唯一確定，故此選項不符合題意．C，∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4，角角邊三角形唯一確定，故此選項符合題意．D，∠C＝90°，AB＝6，一邊一角三角形不能唯一確定，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．變式2．(2023·河北保定·八年級期末）如圖，點C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了CN∥OA，連接EN，作圖痕跡中，△ODM≌△CEN根據(jù)的是（

）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS答案：B【解析】分析：認真閱讀作法，可得出，結(jié)論可得．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴△ODM≌△CEN的依據(jù)是“”，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定兩個三角形全等．變式3．（2023·河南鄭州·一模）在課堂上，陳老師布置了一道畫圖題：畫一個，使，它的兩條邊分別等于兩條已知線段，小明和小強兩位同學先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小明和小強兩位同學作圖確定三角形的依據(jù)分別是（

）A．， B．， C．， D．，答案：A【解析】分析：分別根據(jù)全等三角形的判定定理進行解答即可．【詳解】解：∵小明同學先確定的是直角三角形的兩條直角邊，∴確定依據(jù)是SAS定理；∵小強同學先確定的是直角三角形的一條直角邊和斜邊，∴確定依據(jù)是HL定理．故選：A．【點睛】本題考查的是作圖-復雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．◎題型6：尺規(guī)作圖-作一個角等于已知角例．(2023·河南駐馬店·七年級期中）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容（

）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q；（2）作射線EG，并以點E為圓心◎長為半徑畫弧交EG于點D；（3）以點D為圓心⊙長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F；（4）作，∠DEF即為所求作的角．A．●表示點E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．表示射線EF答案：D【解析】分析：根據(jù)用尺規(guī)作一個角等于已知角的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，●表示點O，故選項A不正確；◎表示OP或OQ，故選項B不正確；⊙表示PQ，故選項C不正確；表示射線EF，故選項D正確；故選：D．【點睛】本題考查了角的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握用尺規(guī)作一個角等于已知角的性質(zhì)，從而完成求解．變式1．(2023·浙江臺州·二模）在△ABC中，D是AC上一點，利用尺規(guī)在AB上作出一點E，使得，則符合要求的作圖痕跡是（

）A．B．C．D．答案：D【解析】分析：以DA為邊、點D為頂點在△ABC內(nèi)部作一個角等于∠B，角的另一邊與AB的交點即為所求作的點．【詳解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠C，∴∠ADE=∠B，∴只需要作∠ADE=∠B即可滿足∠AED=∠C，∴只有D選項符合題意，故選D．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，尺規(guī)作圖—作與已知角相等的角，熟知三角形內(nèi)角和定理和基本尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵．變式2．(2023·河南信陽·二模）圖，點C在的邊OB上，尺規(guī)作圖痕跡顯示的是（

）A．作線段CE的垂直平分線B．作的平分線C．連接EN，則是等邊三角形 D．作答案：D【解析】分析：根據(jù)作圖得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．【詳解】解：連結(jié)EN,在△ODM和△CEN中，，∴△ODM≌△CEN（SSS），∴∠MAD=∠NCE，∴OM∥CN，故選D．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，掌握基本作圖，三角形全等判定與性質(zhì)，平行線的判定是解題關(guān)鍵．變式3．(2023·全國·八年級）觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，能得出∠CPD=∠AOB的依據(jù)是（

）A．由“等邊對等角”可得∠CPD=∠AOBB．由SSS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOBC．由SAS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOBD．由ASA可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOB答