人教版高中數(shù)學(xué)全冊(cè)教案-08-圓錐曲線方程-05

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線

的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí).

二、教材分析

1.重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（解決辦法：通過一個(gè)簡單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過設(shè)問給出雙曲線的定義;

對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過比較加深認(rèn)識(shí).）

2.難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比.）

3.疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

（解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，

同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式.）

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié).

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1.橢圓的定義是什么？（學(xué)生回答，教師板書）

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.教師要強(qiáng)調(diào)條件：（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的和等于常數(shù)；

⑶常數(shù)2a>|F1F2|.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（學(xué)生口答，教師板書）

蕉點(diǎn)在用上的懦胃標(biāo)I昉程為=蕉點(diǎn)在用I

at>

（二）雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是

怎樣的呢？

1.簡單實(shí)驗(yàn)（邊演示、邊說明）

如圖2-23,定點(diǎn)Fl、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在

按釘上且穿過套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支;

由IMF2HMFl|是同一常數(shù)，可以畫出另一支.

M

注意：常數(shù)要小于IF1F2I,否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.

2.設(shè)問

問題1：定點(diǎn)Fl、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？

請(qǐng)學(xué)生回答，不能.強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”.

問題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大?

請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線

左支上時(shí),|MFI|<|MF2|.

問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)Fl、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|?

請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是IMF21TM不正確表示為I|MF2|-|MF1|

問題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2]?

請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零.當(dāng)常數(shù)=1F1F2|時(shí)，軌跡是以Fl、F2為

端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)>|F1F2|時(shí)，無軌跡.

3.定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F21)的點(diǎn)的軌跡

叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)Fl、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做

焦距.

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來記憶，不要死記.

(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這

時(shí)設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即

引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo).

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：

⑴建系設(shè)點(diǎn)

取過焦點(diǎn)Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

圖2-24

建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c>0),那么Fl、F2

的坐標(biāo)分別是(-c,0)、(c,0).又設(shè)點(diǎn)M與Fl、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常

數(shù).

⑵點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合:

P={MIIMF1|-|MF2||=2a}={M|MFl|-|MF2|=±2a}.

⑶代數(shù)方程

小K+G)、十--c)J*ya=±2a.

(4)化簡方程(由學(xué)生演板)

將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

(i+c)14-ya二N4-y14-^-c)J+ya.

化筒得：

2coice

l*---------------

sma—COMB

ana

4----------------

Aaa-cosa

M="l+iAP|co?45*

y=|AP|si114T

*

兩邊再平方，整理得：

(c2-a2)X2-a2y2=a2(c2-a2)?

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo).)

由雙曲線定義，2c>2a即c>a,所以c2-a2>0.

設(shè)c2-a2=b2(b>0),代入上式得:

b2x2-a2y2=a2b2.

*Si

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較（引導(dǎo)學(xué)生歸納）:

（D**=IQ。，線儂*Fg

3、馬（c,0）,j&lpa=aJ+baj

若$=吟5b>6表示儂旬

-c）.玲（0,0,

教師指出：

⑴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a>0,b>0,但a不一定大于b；

⑵如果X2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，

那么焦點(diǎn)在y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)

軸上.

⑶雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2,不同于橢圓方程中c2=a2-b2.

（四）練習(xí)與例題

1.求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

焦點(diǎn)Fl（-3,0）、F2（3,0）,且2a=4；

本題由學(xué)生先練習(xí)再口答，L

4J

2.證明：■國務(wù)q=1與K曲線IFT=15K3相同.

由學(xué)生演板完成.■喊點(diǎn)耳（4嘰耳?,0）,雙曲維點(diǎn)F；

（4,嘰E；0,0）.

3.已知兩點(diǎn)Fl（-5,0）、F2（5,0）,求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)

的軌跡方程.如果把這里的數(shù)字6改為12,其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

由教師講解:

按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42.

因此,所求方程蜷書即馬-哈=1.

因?yàn)?a=12,2c=10,且2a>2c.

所以動(dòng)點(diǎn)無軌跡.

(五)小結(jié)

1.定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于IF1F21)

的點(diǎn)的軌跡.

2.標(biāo)IftZl程.-b>8.b〉Q).

3.圖形(見圖2-25)：

4.焦點(diǎn):Fl(-c,0)、F2(c,0)；Fl(0,-c)、F2(0,c).

5.a^b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2.

五、布置作業(yè)

1.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6,0)、(6,0),并且經(jīng)過點(diǎn)A(是,2)；

⑵經(jīng)過點(diǎn)P(-3,福和Q(6^,-7).融住布上.

2.已知二=1赫承曲線，菸曲聯(lián)值硒.

3.已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m<0<m+n),求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

作業(yè)答案:

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