浙江省杭州市蕭山區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題含解析

Page17浙江省杭州市蕭山區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題一、單選題（本大題共8題，每題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線方程，由，求得傾斜角.【詳解】由直線方程知，直線斜率為，則，故傾斜角為，故選：A2.已知復數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先對復數(shù)化簡，再利用模的公式求解即可【詳解】由，則故選：B【點睛】此題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)的模的計算，屬于基礎題3.在中，已知，，，則等于（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，，即，解得故選：B.4.已知圓錐側(cè)面積單位：為，且它的側(cè)面綻開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積單位：是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件及圓錐的側(cè)面積公式，再利用弧長公式及圓的周長公式，結(jié)合圓錐的體積公式即可求解.【詳解】因為圓錐側(cè)面綻開圖是半圓，面積為，如圖所示設圓錐的母線長為a，則，解得，所以側(cè)面綻開扇形的弧長為，設圓錐的底面半徑，則，解得，所以這個圓錐的體積為故選：C.5.已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（）A.，，則 B.，，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】由空間中的線面關(guān)系逐一推斷即可.【詳解】由題意可知，在A中，若，，則m與相交或平行或，A錯；B中，若，，，則或m與n異面，B錯；在C中，若，，則n與相交或平行或，C錯；在D中，若，，則平面內(nèi)存在始終線平行于m，該直線垂直于平面，則，D正確.故選：D.6.已知向量，滿意，，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的計算公式，可得答案.【詳解】解：在上的投影向量的坐標為故選：B.7.已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選：A【點睛】本題主要考查了向量坐標的運算，向量的模，向量的夾角，屬于簡單題.8.柜子里有3雙不同的鞋子，假如從中隨機地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用列舉法列出全部可能狀況，再找出符合題意的基本領(lǐng)件數(shù)，最終利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的狀況有種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的事務有6種，即，，，，，，故選：C二、多選題（本大題共4題，每題5分，共20分）9.設復數(shù)，下列說法正確的是（）A.z的虛部是yB.C.若，則z為純虛數(shù)D.若滿意，則z在復平面內(nèi)的對應點的軌跡是圓【答案】AD【解析】【分析】對A選項，由復數(shù)概念即可推斷，對B選項綻開即可推斷，對C選項，當且時，z是純虛數(shù)，對D選項由復數(shù)模的幾何意義即可得到其軌跡.【詳解】由復數(shù)的概念知，A正確；，故B不正確；當且時，z是純虛數(shù)，故C不正確；因為，所以，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，故D正確.故選：AD.10.如圖，在棱長為的正方體中，下列選項正確的是（）A.異面直線與所成的角為 B.三棱錐的體積為C.直線平面 D.二面角的大小為【答案】ABC【解析】【分析】對于A，利用線線角的定義及正方體的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求解；對于B，利用等體積法及棱錐的體積公式即可求解；對于C，利用線面垂直的判定定理即可求解；對于D，依據(jù)已知條件及二面角的平面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；【詳解】對于A，因為為正方體，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以異面直線與所成的角的大小即為與所成的角，故或其補角為所求.再由正方體的性質(zhì)可得為等邊三角形，故，即異面直線與所成的角為，故A正確；對于B，由題意可知，三棱錐三棱錐，故B正確；對于C，由正方體的性質(zhì)可得，平面,平面,所以,因為為正方體，所以底面為正方形，即，又,平面,所以平面,又平面,所以同理可證，又，平面，所以平面，故C正確；對于D，由正方體的性質(zhì)可知,平面,平面,所以，因為為正方體，所以底面為正方形，即，所以是二面角的平面角，因為為正方體，所以平面為正方形，所以，即，所以二面角的大小為，故D錯誤；故選：ABC.11.在一個質(zhì)地勻稱的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務A為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事務B為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”;事務C為“其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A.事務B與事務C是互斥事務 B.事務A與事務B是相互獨立事務C.事務B與事務C是相互獨立事務 D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)對立事務，獨立事務的概念及古典概型概率公式逐項分析即得．【詳解】解：對于A，事務與事務是相互獨立事務，但不是對立事務，故A錯誤；對于B，事務A與事務B，，，，事務A與事務B是相互獨立事務，故B正確；對于C，事務B與事務，，，，事務B與事務C是相互獨立事務，故C正確；對于D，事務表示第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D正確．故選：BCD.12.已知圓，點P是圓C上的一個動點，點，，則下列選項中正確的是（）A. B.的最大值為C.的最大值為12 D.的最大值為9【答案】AC【解析】【分析】對于A選項，依據(jù)推斷；對于B選項，當時，取的最大值，再依據(jù)幾何關(guān)系求解推斷；對于CD選項，由向量的數(shù)量積的坐標運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】由題意知，圓心，半徑為，所以，當點P在AC的延長線上時，最大，此時，當點P在AC之間時，最小，此時，所以，即選項A正確;當直線AP與圓C相切時，取得最大值，此時，，即選項B錯誤;設，，當時，此時點，有最大值為，即選項C正確;，所以的最大值為，即選項D錯誤.故選：AC三、填空題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.已知向量，，若，則__________【答案】【解析】【分析】依據(jù)平面對量線性運算得的坐標，再依據(jù)向量共線坐標運算即可求的值.【詳解】解：，由，，可得，解得故答案為：.14.寫出過點，且在兩坐標軸上截距相等的一條直線方程__________.【答案】或?qū)懗?條即可【解析】【分析】分直線過原點與不過原點兩類探討，過原點設，不過原點設，分別代入點，求出未知數(shù)即可得到直線方程.【詳解】當直線過原點時，方程設為代入點A得：；當直線不過原點時，設直線的方程為：，把點代入直線的方程可得，則直線方程是故答案為：或?qū)懗?條即可15.已知圓，以點為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點，則r的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩圓有公共點滿意，即可求解.【詳解】由題意知，的圓心為，兩圓心的距離.因為兩圓相交或相切，所以，解得故答案為：16.已知直四棱柱，底面ABCD為平行四邊形，，，，，以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長度為__________.【答案】【解析】【分析】由球的性質(zhì)得交線為圓的一部分，而由題數(shù)據(jù)可證平面，即為圓心，在和上分別找到與球面的交點后計算弧長，【詳解】如圖，取，連接，因在直四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，可得直四棱柱的四個側(cè)面均為矩形，所以，因為，所以以為球心，半徑為2的球面與直線相切.在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，依據(jù)余弦定理可得，，所以因為，平面，所以，所以，所以球面與側(cè)面的交點為F和，又，平面，所以點F和在以為圓心，半徑為1的圓上，因為，所以弧的長度為，所以球面與側(cè)面的交線為弧，所以球面與側(cè)面的交線的長度為故答案為：四、解答題（本大題共6題，共70分）17.已知直線（1）求證：直線l過定點，并求出此定點;（2）求點到直線l的距離的最大值.【答案】（1）證明見解析，定點（2）【解析】【分析】（1）整理方程，分別出參數(shù)，建立方程組，解得答案；（2）由（1）可知直線過定點，兩點距離公式，可得答案.【小問1詳解】由直線，則，可得，解得，故直線l過定點.【小問2詳解】由（1）可知直線過定點，18.杭州市某中學從學生中招收志愿者參與迎亞運專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報名參與志愿活動.依據(jù)活動支配，擬采納分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120名.對抽出的120名同學某天參與運動的時間進行了統(tǒng)計，運動時間均在至分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：（1）需從高一、高二、高三報名的學生中各抽取多少人?（2）（i）請補全頻率分布直方圖;（ii）求這120名學生運動時間的第80百分位數(shù)是多少?【答案】（1）高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人（2）（i）直方圖見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由分層抽樣的比例公式求解即可；（2）計算頻率并補全頻率分布直方圖；由百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可【小問1詳解】報名的學生共有1080人，抽取的比例為所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人【小問2詳解】（i）第三組的頻率為故第三組的小矩形的高度為，補全頻率分布直方圖得（ii）各組的頻率分別為，前四組的頻率之和為，前五組的頻率之和為，所以第80百分位數(shù)為所以第80百分位數(shù)是19.袋中有形態(tài)、大小都相同的個小球，標號分別為.（1）從袋中一次隨機摸出個球，求標號和為奇數(shù)的概率;（2）從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出的兩個球標號和為奇數(shù)，則甲勝，反之，則乙勝.你認為此嬉戲是否公允?說明你的理由.【答案】（1）（2）是公允，理由見解析【解析】【分析】（1）利用列舉法寫出樣本空間及事務的樣本點，結(jié)合古典概型的計算公式即可求解;（2）利用列舉法寫出樣本空間及事務的樣本點，結(jié)合古典概型的計算公式及概率進行比較即可求解.【小問1詳解】試驗的樣本空間，共6個樣本點，設標號和為奇數(shù)為事務B，則B包含的樣本點為，，，，共4個，所以【小問2詳解】試驗的樣本空間，共有16個，設標號和為奇數(shù)為事務C，事務C包含的樣本點為，，，，，，，，共8個,故所求概率為,即甲勝的概率為，則乙勝的概率為,所以甲、乙獲勝的概率是公允的.20.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面設平面平面（1）證明：平面，（2）若，求直線l與平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行判定定理以及線面平面性質(zhì)定理，可得答案；（2）由題意，建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量以及平面的法向量，結(jié)合線面角的向量公式，可得答案.【小問1詳解】四棱錐的底面為正方形，，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又平面平面，，又平面ABCD，平面ABCD，平面.【小問2詳解】由底面ABCD且四棱錐的底面為正方形，可知DA、DC、DP兩兩相互垂直，以D為原點，以DA、DC、DP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：由于，則，，，，設平面PAC的法向量是，則，令，得，，直線的一個方向向量為，設直線l與平面PAC所成角為，則21.已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長為（1）求圓C方程;（2）過點的直線l與圓C交于M、N兩點，且的面積是為坐標原點，求直線l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意設圓心，則圓的方程為，由垂徑定理結(jié)合弦長即可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種狀況結(jié)合三角形面積求解即可【小問1詳解】設圓心，則圓的方程為，或舍去圓的方程為【小問2詳解】①當斜率不存在時，此時直線l方程為，原點到直線的距離為，令代入圓方程得或，，滿意題意.此時方程為②當斜率存在時，設直線l的方程為，圓心到直線l的距離，原點O到直線l的距離，整理，得，此時k無解．綜上所述，所求的直線的方程為22.如圖1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE為折痕將折起，使點C到達的位置，且，如圖（1）證明：（2）求二面角余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】