第05講圓周角（5類題型）

第05講圓周角（5類題型）課程標準學習目標1.圓周角的概念；2.圓周角定理；3.90°的圓周角所對的弦；1.掌握圓周角的概念；2.掌握圓周角定理；3.掌握90°的圓周角所對的弦；知識點01：圓周角1．頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑。（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等．【即學即練1】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，內(nèi)接于，連接、，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，可得是等邊三角形，，求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和求得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，∴是等邊三角形，，∵，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．【即學即練2】2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，點A，B，C，D在上，，B是弧的中點，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，如圖，利用圓心角、弧、弦的關系，然后根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：連接，如圖所示，∵B是弧的中點，即，∴，∵和都對，∴．故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理：熟練掌握圓心角、弧、弦的關系和圓周角定理是解決問題的關鍵．題型01圓周角的概念辨析1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點P，連接AD．下列角中，所對圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根據(jù)題意可直接進行求解．【詳解】解：由圖可知：所對圓周角的是∠ACB或∠ADB，故選C．【點睛】本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握圓周角是解題的關鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，CD是⊙O的直徑，點A在DC的延長線上，∠A＝18°，AE交⊙O于點B，且AB＝OD．則∠EOD＝【答案】54°【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，從而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，繼而得到∠BOE=108°，即可求解．【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，∴OD=OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∵AB=OD，∴AB=OB，∴∠AOB=∠A，∵∠A＝18°，∴∠AOB=18°，∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，∴∠BOE=108°，∴∠EOD=180°∠BOE∠AOB=54°．故答案為：54°【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是圓的直徑，是延長線上一點，點在圓上，且，的延長線交圓于點，若，求的度數(shù).【答案】【分析】連接OD，利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得∠EDO，從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解．【詳解】連接OD，∵CD=OA=OD,，∴∠ODE=2，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=，∴∠EOB=∠C+∠E=.【點睛】此題考查了半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵.題型02圓周角定理1．（2023春·安徽宿州·九年級?？计谥校┤鐖D，點D是半圓O上的三等分點，且，點C是上任意一點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系求得的度數(shù)，再利用圓周角定理即可求得答案【詳解】解：如圖，連接，∵點D是半圓O上的三等分點，∴，∴，∴，故選∶B．【點睛】本題考查圓心角、弧、弦的關系及圓周角定理，結(jié)合已知條件求得的度數(shù)是解題的關鍵2、（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則．【答案】20【分析】連接，由圓周角定理可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再由結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖，，，，，，，，，，，故答案為：20．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）如圖的弦的延長線相交于點E，，弧為．求的度數(shù)．【答案】，【分析】根據(jù)圓周角定理直接求得，弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)求得，根據(jù)圓周角定理求得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)進而可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，，，弧為，，，是的一個外角，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角性質(zhì)，掌握圓周角定理是解題的關鍵．題型03同弧或等弧所對的圓周角相等1．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形的外接圓為，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓心角、弧、弦的關系得到，再利用圓周角定理得到，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵．2．（2023春·四川南充·九年級四川省南充高級中學?？茧A段練習）如圖，在中、三條劣弧、、的長都相等，弦與相交于點，弦與的延長線相交于點，且，則的度數(shù)為．【答案】【分析】連接，根據(jù)弧相等，得到，設出，根據(jù)外角的性質(zhì)得出，進而利用三角形的內(nèi)角和求出即可解答．【詳解】解：連接，弧、、的長相等，，設，，，，在中，，解得，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是熟記定理并靈活運用，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．（2022秋·甘肅定西·九年級統(tǒng)考期末）已知：的兩條弦，相交于點M，且．(1)如圖1，連接.求證：．(2)如圖2.若．在上取一點E，使，交于點F，連接、．判斷與是否相等，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)與相等．理由見解析【分析】（1）根據(jù)得，即，，得，即可得；（2）連接，根據(jù)得，根據(jù)得，即，根據(jù)，即可得．【詳解】（1）證明：，即，，，．（2）與相等．理由如下：解：連接，如圖，，，，，，，．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握圓周角定理，垂經(jīng)定理，角、弧、弦的關系．題型04直徑所對的圓周角是直角1．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，量角器的直徑與直角三角板的斜邊重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發(fā)，沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點E，第12秒時，點E在量角器上對應的讀數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出，根據(jù)圓周角定理求出，即可．【詳解】解：如圖，連接，∵射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，∴第12秒時，，∵，∴點C在以為直徑的圓上，即點C在上，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)，得出點C在以為直徑的圓上，熟記圓周角定理．2．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校┤鐖D，已知為的直徑，，交于點D，交于點E，．則的度數(shù)等于度．【答案】23【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出，，再根據(jù)圓周角定理得到，則利用互余可計算出，然后計算即可．【詳解】解：，，，，為直徑，，，．故答案為：23．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，A是上一點，是直徑，點D在上且平分．(1)連接，求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）利用圓周角定理即可證明結(jié)論；（2）利用圓周角定理得到，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵點D在上且平分，∴，∴，∴平分；（2）解：∵是直徑，∴，∵點D在上且平分，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握“直徑所對的圓周角是直角”是解題的關鍵．題型0590°的圓周角所對的弦是直徑1（2023·安徽合肥·合肥38中?？级＃┮阎珼是線段上的動點且于點G，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得點G在以為直徑的圓上運動，取的中點O，當點O，G，B三點共線時，的最小，再由勾股定理求出的長，即可求解．【詳解】解：∵，即，∴點G在以為直徑的圓上，取的中點O，當點O，G，B三點共線時，的最小，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值為．故選：C【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意得到點G在以為直徑的圓上是解題的關鍵．2．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形中，，，點是邊上一動點，連結(jié)，以為直徑的圓交于點，則長度的最小值是．【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理，由為直徑得到，接著由得到點E在以為直徑的圓O上，于是當點O、E、C共線時，最小，在中利用勾股定理計算出，從而得到的最小值．【詳解】解：連接，如圖，∵為直徑，∴，∴，∴點E在以為直徑的圓O上，∵∴圓O的半徑為2，∴當點O、E、C共線時，最小，在中，∵，∴，∴，即線段長度的最小值為．故答案為：．【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解題關鍵在于結(jié)合實際運用圓的相關性質(zhì)．3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖所示的是一塊打碎的圓鏡的一部分，已知弧上有三點，，(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖中圓鏡的圓心．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知，且，求圓鏡的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作的垂直平分線交于點，則點即為所求；（2）連接，根據(jù)直角所對的弦是直徑，根據(jù)勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求；（2）如圖所示，連接，∵，∴是的直徑，在中，，∴，∴圓鏡的半徑【點睛】本題考查了確定圓心，作垂直平分線，直角所對的弦是直徑，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．A夯實基礎1．（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知，，是的半徑，連接，交于點D，設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓中半徑相等，得到角相等，再把α，β，γ轉(zhuǎn)化到中，根據(jù)內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：，，是的半徑，，，，，中，，即，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的半徑相等，熟練掌握將三個角轉(zhuǎn)化到同一個三角形中是解題關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是的外接圓，半徑為，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接和，證明為等邊三角形，得到的度數(shù)，再利用圓周角定理得出．【詳解】解：連接和，∵半徑為，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確的作出輔助線．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？奸_學考試）如圖，已知均為上一點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：∵均為上一點，，∴，故選：D【點睛】此題考查了圓周角定理，熟知“圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半”是解題的關鍵．4．（2023秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，弦相交于點P，若，，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到的大小即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：A【點睛】此題考查了同弧所對的圓周角相等和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．5．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，，連接，則的度數(shù)為．【答案】/60度【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解答的關鍵．6．（2023春·九年級課時練習）如圖，是的直徑，點C為上一點，若，則為度．【答案】67【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角計算即可．【詳解】解：∵是的直徑∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角；解題的關鍵是見直徑想直角．7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，經(jīng)過點、點，且交邊BC于點，點在上，則度．【答案】140【分析】連接、、、，利用圓的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接、、、，∵，∴，，∵兩個三角形、內(nèi)角和為∴即，∵在中，，∴∴故答案為：140【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的內(nèi)角和，解題的關鍵是熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想列出角的關系式．8．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模）如圖，A、B、C為上三點，若，則度數(shù)為°．【答案】【分析】由等邊對等角得到，由三角形內(nèi)角和定理求出，由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：∵，,∴,∴，∴，故答案為：【點睛】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟知圓周角定理是解題的關鍵．9．（2023春·湖北·九年級專題練習）已知：如圖，在中，，以腰為直徑作半圓O，分別交于點D，E．(1)求證：．(2)若，求圓弧所對的圓心角的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)分別為40°、40°、100°【分析】（1）連接BE，AD，利用AB是圓的直徑，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)是圓的直徑可知，從而求出，再根據(jù)圓周角定理求解即可；【詳解】（1）解：連接，∵是圓的直徑，∴，∴是的高，∵，∴．（2）解：∵是圓的直徑，∴，∴，∵，∴，∴由圓周角定理得：所對的圓心角的度數(shù)是，所對的圓心角的度數(shù)是，所對的圓心角的度數(shù)是【點睛】本題主要考查了圓的相關知識，掌握直徑所對的圓周角是、圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識是解題的關鍵．10．（2023春·湖北·九年級專題練習）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半徑的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90o，CE＝ED＝3．設⊙O的半徑是R，EB=2，則OE=R2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半徑是．【點睛】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的性質(zhì)，關鍵是熟練運用垂徑定理和圓周角的性質(zhì)進行推理證明和計算．B能力提升1．（2023秋·云南昆明·九年級昆明市第一中學西山學校?？茧A段練習）如圖，是的弦，半徑，為圓周上一點，若所對應圓心角的度數(shù)為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)垂徑定理可得，進而得到，結(jié)合圓周角定理即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接．∵半徑，∴．∴．又，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查圓周角和圓心角的性質(zhì)，牢記圓周角定理（一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）是解題的關鍵．2．（2023春·陜西榆林·九年級?？奸_學考試）如圖，為的直徑，點、、在上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，由是圓的直徑，則，由圓周角定理知，，即可求，從而得出的度數(shù)．【詳解】解：連接，，∵是圓的直徑，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了直徑對的圓周角定理是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預測）如圖，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，連接、，，，則（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可作答．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理以及平行線的性質(zhì)等知識，掌握圓周角定理，是解答本題的關鍵．4．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，內(nèi)接于，連接、，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，可得是等邊三角形，，求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和求得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，∴是等邊三角形，，∵，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，四邊形，則．【答案】/100度【分析】根據(jù)可知三點在以點A為圓心，以為半徑的圓上，然后根據(jù)“同弧所對的圓心角等于圓周角的二倍”即可求解．【詳解】解：∵，∴三點在以點A為圓心，以為半徑的圓上，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了同弧上的圓心角與圓周角之間的關系，解題的關鍵是理解“三點在以點A為圓心，以為半徑的圓上”．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，則的直徑．【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理，弦，弧，角之間的關系，得到為等腰直角三角形，即可得解．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關知識點，并靈活應用，是解題的關鍵．7．（2023秋·九年級課時練習）如圖，B，D，E為上的三個點，，過點作的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】連接，利用切線的性質(zhì)可得，從而可求出，根據(jù)垂直定義可得，從而求出，然后利用圓周角定理進行計算即可解答．【詳解】解：連接，與相切于點，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握切線的性質(zhì)，以及圓周角定理．8．（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預測）如圖，等邊內(nèi)接于，D是上的一點，，則的度數(shù)是．【答案】/度【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件，可得，進而根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴.∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．9．（2023秋·九年級課時練習）若點是的外心，試探索與之間的數(shù)量關系．【答案】或【分析】利用分類討論思想，分①當為銳角時；②當為直角時；當為鈍角時，三種情況進行討論．【詳解】解：①當為銳角時，如圖1，作直徑，∵，∴，，則，，∵，∴；

圖1

圖2

圖3②當為直角時，如圖2，∵是的外接圓，∴，∴點是斜邊的中點此時，，∴；③當為鈍角時，如圖3，作直徑，∵，∴，，則，，∵，∴，即．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握圓周角定理，同圓中同弧所對應的圓心角等于圓周角的兩倍．10．（2023秋·九年級課時練習）如圖所示，四邊形內(nèi)接于，．求證：(1)；(2)是的直徑．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得，再由可計算出，則，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關系即可得到；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出，則根據(jù)圓周角的推理即可得到為的直徑．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，而，，，，；（2），，，為的直徑．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·山東泰安·九年級?？茧A段練習）如圖，是半圓O的直徑，點C、D、E是半圓弧上的點，且弦，弦，則直徑的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過點C作于點H，由等弦所對的圓心角相等可得，，從而可得，再由圓周角定理可得，，從而可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即，再利用勾股定理求得，，即可求解．【詳解】解：連接，過點C作于點H，∵，,∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，在中，，∴，∴，在中，，∴，在中，，即，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理證明是解題的關鍵．2．（2023春·山東泰安·九年級?？茧A段練習）如圖，是等邊的外接圓，的半徑為4，則的長等于（）A． B． C． D．8【答案】A【分析】連接，過點B作于點D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和求得，從而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理求得，再根據(jù)垂徑定理即可求解．【詳解】解：連接，過點B作于點D，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，，在中，，∴，故選：A．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、圓周角、等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及垂徑定理，熟練掌握相關性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是的兩條直徑，點是弧的中點，連接，若，則的度數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合點是弧的中點，可得，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示，∵，∴，∵點是弧的中點，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓周角定理及其推論、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵．4．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考模擬預測）如圖，點是正方形的邊延長線上一點，連接，作于點，連接．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)等角的余角相等得出，則在同一個圓上，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可求解．【詳解】解：連接，∵，∴∴∴在同一個圓上，∴故選：C．【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，等角的余角相等，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2023春·上?！ぐ四昙壣贤飧街行？计谀┰趫A中，，則弦所對的圓周角的大小為．【答案】或【分析】分兩種情況：當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時；當圓周角的頂點在劣弧上時；通過分析，從而得到答案．【詳解】解：當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，根據(jù)圓周角定理，得圓周角是；當圓周角的頂點在劣弧上時，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得此圓周角是．弦所對的圓周角是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了圓周角定理，注意：弦所對的圓周角有兩種情況，且兩種情況的角是互補的關系．6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，．（1）若，則的度數(shù)是；（2）若，則；（3）若為的中點，則（填“>”“<”或“=”）．【答案】/50度2<【分析】（1）根據(jù)得出，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)得出；（3）為的中點，得出，進而得出，根據(jù)三角形的三邊關系即可解答．【詳解】解：（1），，，．故答案為：；（2），，，．故答案為：2；（3）如圖：為的中點，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理和圓心角、弦、弧之間的關系定理，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．7．（2023春·四川內(nèi)江·九年級?？茧A段練習）如圖，已知點A是以為直徑的半圓上一個三等分點，點B是弧的中點，點P是半徑上的點、若的半徑為1，則的最小值為．【答案】【分析】本題是要在上找一點P，使的值最小，設是A關于的對稱點，連接，與的交點即為點P．此時是最小值，可證是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作點A關于的對稱點，連接，交于點P，則最小，連