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文檔簡介
專題30圓與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的問題
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
一、解答題
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,m).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)。為拋物線上位于直線8c上方的一點(diǎn),過點(diǎn)。作。軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為對稱軸上一
動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段的長度最大時(shí),求9+24的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),在V軸上是否存在點(diǎn)。,使NAQM=45。?若存在,求點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存
在,請說明理由.
【答案】(1)y=-gf+x+g;己)|石;(3)存在,點(diǎn)。的坐標(biāo)為Q(O,2-G)、22(0,2+>/3)
【解析】
【分析】
(1)先將點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,機(jī))代入代入直線解析式中,求得點(diǎn)B的坐標(biāo),再利用A,8坐標(biāo),待定系數(shù)法求二
次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)+,*+/),則+,DE=—-2)'+2,當(dāng)m=2時(shí),Z5E有最大值為2,此
時(shí)。(2,作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)4,連接4D,與對稱軸交于點(diǎn)尸,PD+B4=PD+A4,=A。此
時(shí)PD+P4最小,勾股定理即可求得;
(3)作軸于點(diǎn)//,連接4W、A。、MQ、HA.HQ,由NAQM=45??芍狽AQM,
繼而可得:QH=HA=HM=2,設(shè)。(0/),勾股定理即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)
【詳解】
解:(1)將點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,⑼代入
7
y=T+],
"2=-4+—=——,
22
.?.8的坐標(biāo)為(4,一£),
將A(3,2),{4,-;)代入
12,
V=——r+to4-C,
2
--X32+3Z?+C=2
,2
--x42+4/?+c=--
22
7
解得b=l,c=一,
2
i7
...拋物線的解析式尸=r+x+f
見」川+〃,+4
(2)設(shè)。
22J
DE=[-m'+機(jī)+g)一(一根+g)=_;,"2+2^"=-^(m—2)2+2,
.?.當(dāng)機(jī)=2時(shí),OE有最大值為2
此時(shí)《2,J
作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A,連接A'。,號對稱軸交于點(diǎn)P.
此時(shí)叨+F4最小,
:A(3⑵,
4'(-1,2),
47)=51-2)2+(2一五=1>/5,
即PD+P4的最小值為3后;
(3)作4H_Ly軸于點(diǎn)//,連接AM、AQ、MQ、HA.HQ,
:A(3,2),
AAH=MH=2,"(1,2)
?.?NAQM=45。,ZAHM=90°,
:.ZAQM=-ZAHM,
2
可知VAQM外接圓的圓心為a,
:.QH=HA=HM=2
設(shè)Q(0,r),則7(O-l)2+(r-2)2=2,
t=2+V3或2-
...符合題意的點(diǎn)2的坐標(biāo):Q(0,2-73),2(0,2+6).
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖像與性質(zhì),勾股定理,將軍飲馬求線段和的最小值,
三角形的外心,圓周角定理,正確作出圖形是解題的關(guān)鍵.
2.(1)如圖1,在正二A8C的外角NC4”內(nèi)引射線AM,作點(diǎn)C關(guān)于A"的對稱點(diǎn)E(點(diǎn)E在NC4”內(nèi)),
連接8E,BE、CE分別交AM于點(diǎn)尸,G.則NFEG=
(2)類比探究:如圖2,把上題中的“正二ABC”改為“正方形ABDC”,其余條件不變,請求出NFEG的度
數(shù);通過以上兩例探索,請寫出一個(gè)關(guān)于NEEG與N8AC的數(shù)量關(guān)系的正確結(jié)論::
(3)拓展延伸:如圖3,若以正方形AOOC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn),頂點(diǎn)A,£>分別在x軸,y軸上,點(diǎn)A的坐
標(biāo)為(4,0),設(shè)正方形4ODC的中心為P,平面上一點(diǎn)尸到P的距離為2夜.
①直接寫出NO外的度數(shù):
②當(dāng)5以。=6時(shí),求點(diǎn)尸的坐標(biāo);并探索是否有最大值?如果有,請求出;如果沒有,請說明理由.
【答案】(1)30";(2)NFEG=g/BAC,理由見解析:(3)①45。;②有,尸(2,2+2夜)
【解析】
【分析】
(1)證明Nl=/2,Z3=Z4,/1+/2+60。+/3+/4=180。得Nl+/3=60。,進(jìn)一步可得結(jié)論;
(2)連接CE8C,證明NAEB=NABE,再進(jìn)一步證明2NAFB=90°得NGfE=NGEP=45°,故可得結(jié)論;
(3)①由題意可知尸(2,2),點(diǎn)F在以P為圓心,2a為半徑的圓上,由圓周角定理可得結(jié)論;②設(shè)*x,y),
根據(jù)三角形面積公式求出y的值,在油PM中,PB=\x-2\,BF=\,根據(jù)勾股定理得3尸+3尸=p尸,
列出方程求出x的值即可得點(diǎn)尸的坐標(biāo),當(dāng)PF〃y軸時(shí),面積最大,求值即可.
【詳解】
解:(1)如圖1中,
圖1
?.?點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對稱點(diǎn),
NAGE=90。,AE=AC,Z1=Z2.
?正AABC中,NA4c=60。,AB=AC,
:.AE=AB,得N3=N4.
在AABE中,Zl+Z2+60°+Z3+Z4=180°,
.*.Zl+Z2+Z3+Z4=I20°,
/.Zl+Z3=60°.
在△AEG中,ZFEG+Z3+Z1=9O°,
二ZF£G=30°.
故答案為:30°;
(2)連接C£8c
圖2
VC,E關(guān)于AM對稱
:.AM±CE,GC=GE
:.AC=AEyZAGE=90°
:.ZCAG=NEAG,ZAEB=ZABE;
在正方形AMC中,AC=AB,ABAC=90°
:.AB=AE,
:.ZAEB=ZABE;
在△84尸中,ZAFB+ZABF+ZBAF=180°;
即ZAFB+ZAE3+90。+ZE4G=180°
丁ZAFB=ZAEB+ZE4G
/.2ZAFB=90°
:.ZGFE=ZAFB=45°
:."EG=45。
結(jié)論:ZFEG=-ZBAC
2
(3)①由題意可知P(2,2),點(diǎn)尸在以P為圓心,2a為半徑的圓上,如圖,
連接PO,PA,則NAPO=90。
Z.ZAFO=-ZAPO=45°
2
故答案為:45°
②設(shè)p(x,y)則5〃°=goA,|y|=6
即21yl=6,
由題意得y>o,
)=3
由題意可知尸(2,2),點(diǎn)尸在以P為圓心,2&為半徑的圓上;
過點(diǎn)P作尸B〃x軸,過點(diǎn)F作FB〃y軸,則NP5尸=90°
在用PBF中,PB=\x-2\,BF=l,
根據(jù)勾股定理得BP2+BF2=PF2
即|x-21+『=(2&y
解得不=2+不,w=2-不
故廠(2+b,3)或尸(2-b,3)
Sno=^OA-\y\,當(dāng)PF//y軸時(shí),面積最大,此時(shí)下(2,2+2血)
S.=g043=4+40
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題,考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,圓周角定
理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.
3.如圖1,在汝ABC中,ZC=90°,AB=10,BC=6,。是AC的中點(diǎn),以點(diǎn)。為圓心在AC的右側(cè)作
半徑為3的半圓0,分別交AC于點(diǎn)。、E,交AB于點(diǎn)G、F.
思考:連接OF,若OFLAC,求質(zhì)的長度;
探究:如圖2,將線段8連同半圓。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,求點(diǎn)。到距離的最小值;
(2)若半圓。與向ABC的直角邊相切,設(shè)切點(diǎn)為K,連接AK,求AK的長.
【答案】思考:5;探究:(1)I;(2)行或8-4
【解析】
【分析】
思考:如圖,在即ABC'\',ZC=90°,AB=10,BC=6,可得AC=8可得AO=CO=4,結(jié)合O尸J.AC,
OF=3,利用勾股定理可得答案;
探究:(1)如圖,當(dāng)CD_LA8時(shí),點(diǎn)。到A8的距離最小,由三角形面積公式可得,
SA48C=^ACxBC=^ABxCG,求解CG即可得到答案;
(2)當(dāng)半圓。與BC相切時(shí),如圖,設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,4K,則NOKC=90。,在RjOCK中,OK=3,
OC=4,求解CK=>/7再在RfZsACK中,AC=8,求解AK=JAC?+CK?=瓦,當(dāng)半圓。與AC相時(shí),如
圖,設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,則NOKC=90。,在ROCK中,OK=3,OC=4,求解CK=",可得AK=8-近,
從而可得答案.
【詳解】
解:思考:如圖,在Rf.ABC中,ZC=90°,=BC=6,
:.AC=8
???。是AC的中點(diǎn),
,AO=CO=4,
OF1AC,OF=3,
,AF=ylo/r+OF2=5-
探究:(1)如圖,當(dāng)CD1.A5時(shí),點(diǎn)。到AB的距離最小,
由三角形面積公式可得,S^ABC=^ACXBC=^ABXCG
.24
4
,OG=CG-OC=-
5
4
點(diǎn)。到AB距離的最小值是1
(2)當(dāng)半圓。與BC相切時(shí),
如圖,設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,AK,則NOKC=90。,
,在RfOCK中,0K=3,0C=4,CK=4
:在RfZXACK中,AC=8,
AK=y/AC2+CK2=伉
當(dāng)半圓。與AC相時(shí),如圖,設(shè)切點(diǎn)為與,連接0K,
/.NOKC=90°
A
?在拓OCK中,OK=3,0C=4,
CK=y/l
AK=8-不
,AK的長為J7T或8-近
【點(diǎn)睛】
本題考查的是勾股定理的應(yīng)用,切線的性質(zhì),數(shù)學(xué)分類思想的應(yīng)用,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
4.如圖,點(diǎn)P在反比例函數(shù)y="(x<0)上,PAl_x軸于點(diǎn)A,點(diǎn)B在y軸正半軸上,PA=PB,OA、OB
X
的長是方程t2-16t+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且OA>OB,點(diǎn)C是線段PB延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△ABC的
外接圓。M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是D.
(1)求k的值;
(2)當(dāng)圓心M在y軸上時(shí),請判斷四邊形PAMB的形狀,并說明理由;
(3)當(dāng)圓心M在y軸上時(shí),設(shè)點(diǎn)Q是圓M上一動(dòng)點(diǎn),則P、Q兩點(diǎn)之間的距離達(dá)到最大值時(shí),求點(diǎn)Q的
坐標(biāo).
【答案】(1)%=—240;(2)四邊形PAMB是菱形,理由見解析;(3)Q(2屈,-16-6710
【解析】
【分析】
(1)解方程求出OA、0B的長,進(jìn)而可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)PA=PB列方程求解即可;
(2)易求PA=PB=20,設(shè)。M的半徑為r,根據(jù)勾股定理列方程求出r的值,得出MA=MB=20,即可
證明四邊形PAMB是菱形;
(3)連接PM并延長,交(DM于點(diǎn)Q,此時(shí)點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值,過點(diǎn)P作PE±y軸于點(diǎn)E,
過點(diǎn)Q作QF_Ly軸于點(diǎn)F,首先求出PM的長,然后利用三角函數(shù)分別求出FQ和MF的長即可解決問題.
【詳解】
解:(1)解方程[2—161+48=0得:t=4或t=12,
VOA,OB的長是方程t2-16t+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且OA>OB,
/.OA=12,OB=4,即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(-12,0),(0,4),
VPA±x軸于點(diǎn)A,
.?.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,124),
由PA=PB得:(喂)=122
解得:%=-240;
(2)四邊形PAMB是菱形;
理由:連接AM,
由(1)可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1220),
,PA=PB=20,
設(shè)^ABC的外接圓(DM的半徑為r,
:圓心M在y軸上,OA=12,OB=4,
,OM=r-4,
在Rt^AOM中,OA2+OM2=AM2,g|J122+(r-4)2=r2,
解得:r=20,
AMA=MB=20,
,PA=PB=MA=MB,
???四邊形PAMB是菱形;
(3)連接PM并延長,交③M于點(diǎn)Q,此時(shí)點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值,過點(diǎn)P作PELy軸于點(diǎn)E,
過點(diǎn)Q作QF,y軸于點(diǎn)F,
當(dāng)圓心M在y軸上時(shí),由(1)(2)可知PE=12,OE=20,OM=20-4=16,MQ=20,
;.ME=16+20=36,
PM=V122+362=12V10-
..PE12屈*PE12]_
??sm/PME=-----=-----T==--,tanZ.PME=------
PM12V1010ME363
.?/DA/f"?/GSFQFQVIO
??sm/PME=smZ.FMQ-------=-----=------,
MQ2010
FQ=2V10,
FQ2V101
tanNPME=tan乙FMQ-
~MF~MF-3
,MF=6而,
.".OF=OM+MF=16+6x/10,
二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2屈,-16-6V10).
【點(diǎn)睛】
本題為反比例函數(shù)綜合題,涉及到解一元二次方程、圓的基本知識(shí)、勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式、菱形的
判定、解直角三角形等知識(shí),明確第(3)問中PQ過圓心M時(shí),點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值,是本題
解題的關(guān)鍵.
5.如圖,AB是。。的一條弦,C、。是。。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在AB弦的異側(cè),連接CD.
(1)若AC=BC,AB平分NC8O,求證:AB=CD;
(2)若N4OB=60。,。。的半徑為1,求四邊形ACBO的面積最大值.
【答案】(1)證明見解析;(2)V3.
【解析】
【分析】
(1)證AC=BC=AO即可得AB=C。,繼而求證結(jié)論;
(2)如圖,連接OA、OB、OC,0c交AB于“,由/A£)B=60。和AC=BC求得/ADC=/8Z?C==30°,OC1AB,
AH=BH,繼而求出A8的長,由S峭%ABCD=SAABD+SAABC可知,當(dāng)。點(diǎn)為優(yōu)弧A8的中點(diǎn)時(shí),即CO為。O
的直徑時(shí),四邊形ACBO的面積最大,進(jìn)而求解.
【詳解】
(1)':AC=BC,
,AC=A8
\'AB平分/C8O,
ZABC=ZABD,
-?AC=AD>
AB=CD<
;.AB=CD;
(2)連接。4、OB、OC,OC交A8于“,如圖,
:AC=BC,
AZADC=ZBDC=^ZADB=30°,OCLAB,AH=BH,
:.ZBOC=60°,
:.OH=g0B=;,BH=《iOH=B,
222
;.AB=2BH=6
四邊形ACBD的面積=SzABC+SAABD,
.?.當(dāng)。點(diǎn)到48的距離最大時(shí),SzABO的面積最大,四邊形4C8Q的面積最大,此時(shí)。點(diǎn)為優(yōu)弧A8的中
點(diǎn),
即8為OO的直徑時(shí),四邊形AC8O的面積最大,
四邊形AC8。的面積最大值為a?6x2=收
本題主要考查角平分線的性質(zhì)和圓周角定理及其推論,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓周角定理(在同圓或等圓
中,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)及其推論(同弧或等弧所對的圓周角相等;半圓或
直徑所對的圓周角是直角,90。的圓周角所對的弦是直徑.).
6.有這樣一類特殊邊角特征的四邊形,它們有“一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)”,我們稱之為“等對補(bǔ)四邊形”.
(1)如圖1,四邊形ABC。中,ZBAD=ZBCD=90°,AD=AB,AE_LCZT于點(diǎn)E,若AE=4,則四邊形A8CD
的面積等于.
(2)等對補(bǔ)四邊形中,經(jīng)過兩條相等鄰邊的公共頂點(diǎn)的一條對角線,必平分四邊形的一個(gè)內(nèi)角,即如圖2,四
邊形ABC。中,AD=DC,NA+/C=180。,連接B。,求證:8。平分NABC.
(3)現(xiàn)準(zhǔn)備在某地著名風(fēng)景區(qū)開發(fā)一片國家稀有動(dòng)物核心保護(hù)區(qū),保護(hù)區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示,該地規(guī)劃部
門要求:四邊形ABCD是一個(gè)“等對補(bǔ)四邊形”,滿足AD=DC,AB+4O=12,N8AD=120。,因地勢原因,
要求3WAH6,求該區(qū)域四邊形ABC。面積的最大值.
【答案】⑴9
(2)見解析
⑶27g
【解析】
【分析】
(1)過A作AF_LBC,交CB的延長線于尸,求出四邊形AACE是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/a四=90。,
jRH;ZDAE=ZBAF=90°-ZBAE,根據(jù)AA5得出皿B三AAED,根據(jù)全等得出AE=AF=3,$兇郎=$謝,求出
SjE方彩"CE=9,求出S叫邊柩械p=SjE方留MC£,代入求出即可;
(2)如圖1中,連接AC,BO.證明A,B,C,。四點(diǎn)共圓,利用圓周角定理即可解決問題.
(3)如圖3中,延長84到H,使得AH=BA,連接£歸,過點(diǎn)DA作DKLAH于K,根點(diǎn)B作及0J_£W
于M,BNLCD于N.設(shè)=構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
(1)
解:如圖1,過A作交CB的延長線于尸,
QAE1CD,ZC=90°
.-.ZA£D=ZF=ZC=90°,
..?四邊形AFCE是矩形,
:.ZFAE=90°,
ZDAB^90°,
ZDAE=ZBAF=900-ZBAE,
在AAFB和AAED中,
ZF=NAED
"NFAB=NDAE,
AB=AD
.-.MFfi=AA£ZXA4S),
/.AE=AF=4>S,MFB=s1M切,
四邊形AFCE是矩形,
???四邊形AFCE是正方形,
,,S正方形AFCE=4X4=16,
***S四邊形A8CD
=S四邊形A8CE+
二S四邊形A8C£+S/^FB
=S正方形AFC£
=16.
故答案為:16:
(2)
」.A,B,C,。四點(diǎn)共圓,
AD=DC,
???AD=DC^
/.ZABD=NCBD,
.?.3D平分4ABC.
(3)
解:如圖3中,延長84到“,使得4"=AO,連接過點(diǎn)D4作。KJ_A”于K,過點(diǎn)3作
于M,3N_LCD干N.設(shè)A3=x.
H
.ZJ3AD+ZC=180°,ZSAD=120°,
/.ZC=60°,
.\ZHAD=60°,
AD=AH,
.?.AA。,是等邊三角形,
.?.4=60。,
.?."=NC,
由(2)可知.8D平分NA3C,
:.ZDBA=ZDBC,
BD=BD,
:MBH^NDBC,
:.ABDM=^BDN,DH=AD=\2-x,
BMLDH,BN1CD,
/.BM=BN,
AH+AB=AB+AD=\2,
:.BM=BN=BH-sin60°=66,DK=AD-sin60。=5(12-x),
S四邊囪8c?"=SA&CO+SAAB。=g.(12-x)-6君+;-?孚(12-司=-乎/+366,
V3<12-x<6,
.?.64x49
;.x=6時(shí),S有最大值,最大值5=276.
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題,考查了“鄰等對補(bǔ)四邊形”的定義,解直角三角形,等邊三角形的判定和性質(zhì),四點(diǎn)
共圓,二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建
二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題,屬于中考壓軸題.
7.定義:有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”,例如:凸四邊形A8CD中,若NA=NC,
ZB^ZZ),則稱四邊形ABC。為準(zhǔn)平行四邊形.
(1)如圖(1乂、/\8、(7是。。上的四個(gè)點(diǎn),ZAPC=NCPB=60。,延長8P到。,使AQ=AP.已知/QACr/QBC,
求證:四邊形AQ8C是準(zhǔn)平行四邊形;
(2)如圖(2),準(zhǔn)平行四邊形ABCO內(nèi)接于。O,AB/AD,BC=DC,若。。的半徑為5,AB=6,求四邊形
ABCQ的面積;
(3)如圖(3),在RSA8C中,NC=9(T,NA=30。,8c=2,若四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形,且N8CZV/BA。,
求BO長的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)49
(3)273+2
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意,利用等邊三角形的判定定理可得是等邊三角形,可得ZAQP=ZAC8=60。,由
NQAC*NQBC,可證四邊形A。8c是準(zhǔn)平行四邊形;
(2)連接8。,由準(zhǔn)平行四邊形的性質(zhì)可得N&M)=N8C£)=90。,ZABCZADC,得出50是直徑,利
用勾股定理可得仞=8,8c2=50,結(jié)合圖形,四邊形ABC。的面積為二題與一88的面積和,求解即
可得;
(3)根據(jù)題意作:AC。,然后作ACD的外接圓。。,過點(diǎn)。作OELAC于E,0FJ_8C延長線于尸,利用
三角形內(nèi)角和定理及銳角三角函數(shù)解三角形可得NABC=60。,AC=tanNABCBC=,根據(jù)四邊形A8C7)
是準(zhǔn)平行四邊形,得出ZABC=ZADC=60°,山等邊對等角及三線合一性質(zhì)可得N4co=NC4O=30°,
CE=AE=^AC=43,利用銳角三角函數(shù)可得0E=l,CO=2OE=2,由矩形的判定可得四邊形CFOE是
矩形,BF=BC+CF=3,利用勾股定理得出8。=2有,結(jié)合圖形可得:當(dāng)點(diǎn)。在80的延長線時(shí),BO的
長有最大值,求解即可得.
(1)
證明:VZAPC=ZCPB=60°,
NAPQ=60°,ZAPB=12O°,
???四邊形AP8c是圓的內(nèi)接四邊形,
二ZAPS+ZACB=180°,
/.ZACB=60。,
VAQ=AP,NAPQ=60。,
.?.-APQ是等邊三角形,
/.NAQP=NACB=60°,
又,:ZQAC^ZQBC,
二四邊形AQ8C是準(zhǔn)平行四邊形;
(2)
如圖所示:連接84,
???四邊形A8CO是圓內(nèi)接四邊形,
NBAD+ZBCD=180°,ZABC+ZADC=180°,
?.FC不是直徑,
ZABC^ZADC,
四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形,
,ABAD=ZBCD.ZABC豐ZADC,
/BAD=/BCD=90°,
二8。是直徑,
BD=W,
AB2+AD2=BD2,
36+A£>2=100.
,AZ>=8,
BC2+CD2=BD2,BC=CD,
:.BC2=50,
???四邊形A8C。的面積為:
SABD+SBCD>
=-xABxAD+-xBCxCD=49;
22
11,
=-x6x8+-xfiC2,
22
=49,
二四邊形ABC。的面積為49;
(3)
如圖所示:根據(jù)題意作ACD,然后作aACZ)的外接圓。。,過點(diǎn)。作OEJ_AC于E,。尸,8c交BC延長
線于「,
V=90°,ABAC=30°,BC=2,
,ZABC=60°,AC=tanNABOBC=2n,
:四邊形ABC。是準(zhǔn)平行四邊形,^ZBCD^ZBAD.
???ZABC=ZADC=GO0,
:.ZAOC=120°,且QE_LAC,OA=OCf
ZACO=ZCAO=30°,CE=AE=-AC=y/3,
2
/.OE=CE-tanZAC。=6?t3n=3C.CO=2OE=2,
,OC=OD=OA=2,
VOELAC,OF上BC,ZECF=9O°,
,四邊形C尸。E是矩形,
:.CE=OF=上,OE=CF=l,
:.BF=BC+CF=3,
BO=-JBF2+FO2="+(國=25
???當(dāng)點(diǎn)。在BO的延長線時(shí).,8。的長有最大值,
二長的最大值為:BO+OD=2y/3+2.
【點(diǎn)睛】
題目主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),直徑所對的圓周角為直角,利用勾股定理,
銳角三角函數(shù)解三角形,等腰三角形的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì)等,理解題意,作出相應(yīng)輔助線,綜合運(yùn)
用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
說明理由;
(2)已知二次函數(shù)y=N-4x+4圖象的頂點(diǎn)為A,坐標(biāo)圓的圓心為P,如圖1,求APOA周長的最小值;
(3)已知二次函數(shù)y=a/-4x+4(0<。<1)圖象交x軸于點(diǎn)A,B,交),軸于點(diǎn)C,與坐標(biāo)圓的第四個(gè)交點(diǎn)為
D,連結(jié)PC,PD,如圖2.若NCPD=120°,求a的值.
【答案】(1)0P是二次函數(shù)y=/-4x+3的坐標(biāo)圓,理由見解析
(2)APQA周長的最小值為6
4百+3
(3)a=-----------
12
【解析】
【分析】
(1)先求出二次函數(shù)y=/-4x+3圖象與x軸、y軸的交點(diǎn),再計(jì)算這三個(gè)交點(diǎn)是否在以P(2,2)為圓心,
石為半徑的圓上,即可作出判斷.
(2)由題意可得,二次函數(shù)產(chǎn)x2-4x+4圖象的頂點(diǎn)A(2,0),與y軸的交點(diǎn)H(0,4),所以APOA周長
=PO+PA+OA=PO+PH+2>OH+2,即可得出最小值.
(3)連接CD,PA,設(shè)二次函數(shù)產(chǎn)以2一曲+4圖象的對稱軸/與CO交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,由對稱性知,
對稱軸,經(jīng)過點(diǎn)尸,目LCQ,設(shè)尸E="i,由/CPO=120°,可得以=PC=2mCE=gm,PF=4-m,表示出
AB.AF=BF,在對△勿尸中,利用勾股定理建立方程,求得根的值,進(jìn)而得出a的值.
(1)
對于二次函數(shù)y—x2-4x+3,
當(dāng)x=0時(shí),y=3:當(dāng)y=0時(shí),解得x=l或x=3,
.?.二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為A(1,0),8(3,0),與y軸交點(diǎn)為C(0,3),
■:點(diǎn)P(2,2),
:.PA=PB=PC=^,
二。P是二次函數(shù)y=/-4x+3的坐標(biāo)圓.
(2)
如圖1.連接
?.?二次函數(shù)y=/-4x+4圖象的頂點(diǎn)為A,坐標(biāo)圓的圓心為P,
:.A(2,0),與y軸的交點(diǎn)H(0,4),
/.△POA周長=PO+PA+OA=PO+PH+2>OH+2=6,
...△POA周長的最小值為6.
⑶
如圖2,連接CD,PA,
設(shè)二次函數(shù)y=ox2-敘+4圖象的對稱軸/與CD交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,
由對稱性知,對稱軸/經(jīng)過點(diǎn)P,且LCD,
?,46—16〃4J1—a
*-"---------=-------,
aa
:.AF=BF=^^~,
a
9:ZCPD=\20°,PC=PD,C(0,4),
:.ZPCD=ZPDC=30°,
設(shè)尸£=〃?,則%=尸。=2"2,CE=6m,PF=4-m,
2
?/二次函數(shù)y=cix2-4x+4圖象的對稱軸/為x=—,
a
r-22
/.yj3m=—,即〃=—f=—,
a73tn
在/?/△PAF中,PA2=PF2+AF2,
/A\227、一a、,
???4./n-2=(4-in)+(------)~,
a
4(1--^=)
HP4/n2=(4-加了H----:M
3m2
8
化簡,得(8+26)〃?=16,解得機(jī)=
4+有
46+3
12
【點(diǎn)睛】
此題是二次函數(shù)與圓的綜合題,主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等
知識(shí)以及方程的思想,添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.
9.如圖1,已知。。的內(nèi)接四邊形4BCD,AB//CD,BC//AD,AB=6,BC=8.
M
0
圖3
(1)求證:四邊形ABCD為矩形.
(2)如圖2,E是AO上一點(diǎn),連接CE交AD于點(diǎn)F,連接AC.
①當(dāng)點(diǎn)D是匿中點(diǎn)時(shí),求線段DF的長度.
②當(dāng)16s△£>CF=3S幽緲ABC。時(shí),試證明點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).
(3)如圖3,點(diǎn)E是。0上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、C重合),連接EA.EC、0E,點(diǎn)、/是△AEC的內(nèi)心,點(diǎn)
M在線段0E上,且ME=2M0,則線段MI的最小值為.
【答案】(1)見解析
9
(2)①。尸=:,②見解析
(3)5x/2-y
【解析】
【分析】
(1)先證明四邊形ABC。為平行四邊形,再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)可證明/4=/C=90。,即可
證明四邊形A8co為矩形;
(2)①證明△DCF~△DAC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解;
②由已知求得SA£>CF=:SzD4C,得到導(dǎo)"=M=求得DF=3,AF=5,過點(diǎn)尸作FG,4c于點(diǎn)G,
83DACDA6
證明Rt4AFG~Rt&ACD,求得FG=DF=3,進(jìn)而證明結(jié)論成立;
(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到4c上方時(shí),利用內(nèi)心的性質(zhì)證得點(diǎn)/在以點(diǎn)N為圓心,5yli為半徑的圓的一段圓弧上,
當(dāng)/、加、N在同一直線上時(shí),/M取得最小值,計(jì)算即可求解;當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC下方時(shí),E、N重合時(shí),IM
取得最小值,同理可求解.
(1)
證明:?:ABIICD,BC//AD,
二四邊形ABCD為平行四邊形,
ZA=ZC,
?.?四邊形A8CD為。。的內(nèi)接四邊形,
AZA+ZC=180°,
,ZA=ZC=90°,
.?.平行四邊形ABC。為矩形;
(2)
①:四邊形ABC。為矩形,且AB=6,BC=8,
/.AB=CD=6,BC=AD=S,AC=46+8?=10?
,點(diǎn)D是CE中點(diǎn),
AZDCF=ZDAC,ND公共,
:./\DCF~DAC,
.DFDC....DF6
.?----=----,即----=—,
DCDA68
②???四邊形ABC。為矩形,
,S^ABCD=2SADAC,ZD=90°,
V16SADCF=3S四邊形ABCD,
3
A5ADCF=~DAC,
8
..SDFC_DF_3
:.DF=3f4F=5,
過點(diǎn)尸作RGLAC于點(diǎn)G,
????△AFG?Ri&ACD,
.=空,即1型
ACCD106
:.FG=3,
:.FG=DF=3,
VFG1AC,ZD-90°,
.?.CF是/AC。的平分線,
...點(diǎn)E為4。的中點(diǎn);
(3)
解:當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC上方時(shí),
連接A/、C1,連接E/并延長交。。于點(diǎn)M連接AN、CN,
ED
??,點(diǎn)/是AAEC的內(nèi)心,且AC=IO,
:?4AEN=/CEN,NEA1=NCAI,
:.AN=CN=—AC=5d2,/AEN=NCEN=/CAN=A5°,
2
丁/NAI=/CAI+/CAN=NCAI+45。,/NIA=NEAI+NAEN=/EAI+45。,
:./NAI=/NIA,
:.AN=NI=CN=5y[2,
???點(diǎn)/在以點(diǎn)N為圓心,50為半徑的圓的一段圓弧上,如圖,
當(dāng)/、M、N在同一直線上時(shí),/M取得最小值,
?:ME=2M0,OE=-AC=5,
2
:.MO=-,MN=MO+ON=-+5=—
333t
:.1M的最小值為;
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC下方時(shí),E、N重合時(shí),取得最小值,
同理可求得/M的最小值為5夜-弓;
故答案為:5五-g.
【點(diǎn)睛】
本題是圓的綜合題,考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),內(nèi)心的性質(zhì),解答本題的關(guān)
鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.
10.在平面直角坐標(biāo)系中,OC與X軸交于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0),與y軸相切于點(diǎn)。(0,4),
過點(diǎn)A,B,。的拋物線的頂點(diǎn)為E.
J'小JA
備用圖
(1)求圓心C的坐標(biāo)與拋物線的解析式;
(2)判斷直線AE與。C的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若點(diǎn)M,N是直線y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方),且MN=1,請直接寫出的四邊形E4MN周
長的最小值.
【答案】⑴C(5,4),y=;x2_^x+4;
(2)AE是。C的切線,理由見解析;
19+阿
O■?
4
【解析】
【分^1?】
(1)如圖1,連接CO,CB,過點(diǎn)C作于M.設(shè)。C的半徑為八在RQ8CM中,利用勾股定理
求出半徑,可得點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)的對稱性,得A(2,0),用待定系數(shù)法即可求解.
(2)結(jié)論:AE是OC的切線.連接4C,CE,由拋物線的解析式推出點(diǎn)E的坐標(biāo),求出AC,AE,CE,利
用勾股定理的逆定理證明ZC4E=90°即可解決問題.
1519
(3)由四邊形成用2周長=4£+4歷+仞7+的=一+4用+1+加尸=一+4例+用/,可得當(dāng)汗河+陸有
44
最小值時(shí),四邊形E4MN周長有最小值,即當(dāng)點(diǎn)M在線段4尸上時(shí),4M+M尸的最小值為即可求
解.
(1)
解:(1)如圖,連接CO,CB,過點(diǎn)C作CMLA8于
設(shè)。C的半徑為r,
,與y軸相切于點(diǎn)D(0,4),
:.CDLOD,
":NCDO=NCMO=ZDOM=90°,
...四邊形ODCM是矩形,
,CM=OO=4,CO=OM=r,
,:B(8,0),
:.0B=8,
:.BM=S-r,
在/?/△CMB中,;BC2=CM2+BM2,
:.^=42+(8-r)2,
解得r=5,
二圓心C(5,4),
???拋物線的對稱軸為x=5,
又,;點(diǎn)B(8,0),
,點(diǎn)A(2,0),
則拋物線的表達(dá)式為y=“(x-2)(x-8),
解得!,
將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入上式得:4=ax(0-2)x(0-8),a=
4
故拋物線的表達(dá)式為戶;《
2)(.r-8)=-x2--.r+4.
42
⑵
解:結(jié)論:AE是OC的切線.
理由如下:連接AC,CE.
y八
0x
圖2
9
當(dāng)x=5時(shí),y=--,
9
???頂點(diǎn)“⑸
?1底小一2)2+卜卜0片
CE=4+-=—,AC=5,
44
:.EC2=—AE2+AC2=—
16f16
.,.E-2+A0,
AZCAE=90°,
:.CA±AEf
???AE是。。的切線.
(3)
解:如圖3,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)4(-2,0),過點(diǎn)E作EF〃MN,且*'=MN=1,連接AM,A'F,
MF,
?,點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于y軸對稱,
???AM=A用,
*:EF〃MN,EF=MN,
???四邊形MNE尸是平行四邊形,
:,MF=NE,
1519
,/四邊形EAMN周長=AE+AM+MN+NE=—+AM+1+MF=—+A'M+MF,
44
???當(dāng)4M+MF有最小值時(shí),四邊形EAMN周長有最小值,
.??當(dāng)點(diǎn)M在線段4尸上時(shí),AM+M尸的最小值為AF,
,:EF〃MN,EF=MN=1,
工點(diǎn)產(chǎn)(5,--),
4
.4Al/u八2(5-丫7809
??g{(5+2)+匕-。)
/.四邊形EAMN周長的最小值=2+邈I=19上師.
444
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與圓的綜合運(yùn)用,數(shù)形結(jié)合能提高解題效率.
11.如圖,拋物線ynar'+Ox+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與N軸交于點(diǎn)C,已知。3=2OC=4OA.
(1)若04=1,求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,拋物線對稱軸是否存在一點(diǎn)Q,使得ZAQC=ZABC,若存在請求出。點(diǎn)坐標(biāo),若不存
在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若(2)中存在點(diǎn)Q,取x軸上方的點(diǎn)為點(diǎn)Q,若不存在,取點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為
點(diǎn)Q,點(diǎn)。為拋物線頂點(diǎn),過點(diǎn)。作軸垂線《,點(diǎn)P為4上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸垂線",點(diǎn)M為4上
一點(diǎn),始終有PM=QW,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為用含f的代數(shù)式表示點(diǎn)PM的長,的最小值是多少.
【答案】⑴y=z(x—[)2—手;頂點(diǎn)、。坐標(biāo)為(。,-3;
228z占
(2)。坐標(biāo)為《,|)或(|,
c4212241,..,,45
(3)PM=—t>PM有瑯小值為77
45458016
【解析】
【分析】
(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式,再利用配方法可求得頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)先證得AAOCSACOB,得出NACO+N8co=90。,如圖1,以AB為直徑作圓必經(jīng)過點(diǎn)C,NA8c為以
3
AB為直徑的圓的一個(gè)圓周角,故點(diǎn)。為該網(wǎng)坷直線x的交點(diǎn),運(yùn)用圓的性質(zhì)即可求得答案;
3(25、25
(3如圖2,設(shè)點(diǎn)”坐標(biāo)為",s),過點(diǎn)M作直線x=5丁點(diǎn)E,JiliJPM=5-1l=5+y,ME=\t-
||,QE=|T,利用勾股定理可得;($+卻化簡得:,吟弋,進(jìn)而可
得:PM=s-(-^)=^t2-i|t+^,再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案.
o4545oO
⑴
解:設(shè)。4=加(〃2>0),則。3=4w,OC=2m,
/.A(-m,0),8(4m,0),C(0,-2/n),
則拋物線解析式可表示為y=a(x4-m)(x-4m),
由點(diǎn)。在拋物線匕有:。(0+〃。(。一4")=一2",
,m>0?
二解得a=J:
由04=1,則所設(shè)的〃?=1,
拋物線解析式為為y=1(x+1)(%-4)=_|x_2=_|)2_g,
,頂點(diǎn)。坐標(biāo)為4,-3.
Lo
(2)
拋物線對稱軸存在一點(diǎn)Q,使得以QC=43。,
由(1)可得:A(-L0),3(4,0),C(0,-2),
AO_IOC_2_\
~CO~29~OB~4~2f
,AOOC
''~CO~~OBy
ZAOC=ZCOB=90°f
/.AAOC^ACOB,
...ZACO+N5co=90。,
.?./ABC為以AB為直徑的圓的一個(gè)圓周角,
3
故點(diǎn)。為該圓與直線x的交點(diǎn),
???圓心尸的坐標(biāo)為弓3,。),半徑為5彳,
乙2.
*e?點(diǎn)Q坐標(biāo)為c|,T)或(T,一》.
(3)
如圖2,
圖2
3
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為0,s),過點(diǎn)M作ME±宜線x=-于點(diǎn)E,
25ZDQ
則PM=s5+—,ME=QE=
O2
在RTAMEQ中,MQ2=ME2+QE2+
PM^MQ,
*(s+y)2=(t-1)2+(|-s)2,
4129
化簡得:2
4580
254212241
---1------1H---------
454580
345
???當(dāng)f時(shí),PM有最小值為
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象和性質(zhì),勾股定理,相似三角形
的判定和性質(zhì),圓的性質(zhì)等,添加輔助圓和利用勾股定理建立方程是解題關(guān)鍵.
12.如圖1,A8CZ)是邊長為4的正方形,以B為圓心的。8與2C,3A分別交于點(diǎn)E,F,還接EF,且EF
=4.
(1)求BE的長;
⑵在平面內(nèi)將圖1中小BEF繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360。,在旋轉(zhuǎn)的過程中,
①求NCDE的取值范圍;
②如圖2,取。E的中點(diǎn)G,連接CG并延長交直線。尸于點(diǎn)”,點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),試求PH+以+P8
的最小值.
【答案】(1)20
(2)@15°<ZCDE<15。②26+2
【解析】
【分析】
(1)由ABEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的長;
(2)①當(dāng)OE分別為的切線時(shí),/C£>E最大或最小,由8。=28日即可求得/E/DB為30度,從而解決;
②延長OC到OC,
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