初中幾何重點(diǎn)模型30 圓與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的問題(基礎(chǔ)訓(xùn)練)（老師版）

專題30圓與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的問題

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、解答題

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,m）.

（1）求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)。為拋物線上位于直線8c上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為對稱軸上一

動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求9+24的最小值；

（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在V軸上是否存在點(diǎn)。，使NAQM=45。？若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

【答案】（1）y=-gf+x+g；己）|石；（3）存在，點(diǎn)。的坐標(biāo)為Q（O,2-G）、22（0,2+>/3）

【解析】

【分析】

（1）先將點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,機(jī)）代入代入直線解析式中，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用A,8坐標(biāo)，待定系數(shù)法求二

次函數(shù)解析式；

（2）設(shè)+，*+/）,則+，DE=—-2）'+2,當(dāng)m=2時(shí)，Z5E有最大值為2,此

時(shí)。（2,作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)4,連接4D,與對稱軸交于點(diǎn)尸，PD+B4=PD+A4，=A。此

時(shí)PD+P4最小，勾股定理即可求得；

（3）作軸于點(diǎn)//,連接4W、A。、MQ、HA.HQ,由NAQM=45?？芍狽AQM,

繼而可得：QH=HA=HM=2,設(shè)。（0/）,勾股定理即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)

【詳解】

解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,⑼代入

7

y=T+]，

"2=-4+—=——,

22

.?.8的坐標(biāo)為（4,一￡）,

將A（3,2）,{4,-；）代入

12,

V=——r+to4-C,

2

--X32+3Z?+C=2

,2

--x42+4/?+c=--

22

7

解得b=l,c=一，

2

i7

...拋物線的解析式尸=r+x+f

見」川+〃，+4

（2）設(shè)。

22J

DE=[-m'+機(jī)+g）一（一根+g）=_；，"2+2^"=-^（m—2）2+2,

.?.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，OE有最大值為2

此時(shí)《2,J

作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A,連接A'。，號對稱軸交于點(diǎn)P.

此時(shí)叨+F4最小,

：A(3⑵，

4'(-1,2),

47)=51-2)2+(2一五=1>/5，

即PD+P4的最小值為3后；

(3)作4H_Ly軸于點(diǎn)//,連接AM、AQ、MQ、HA.HQ,

：A(3,2),

AAH=MH=2,"(1,2)

?.?NAQM=45。，ZAHM=90°,

：.ZAQM=-ZAHM,

2

可知VAQM外接圓的圓心為a,

：.QH=HA=HM=2

設(shè)Q(0,r),則7(O-l)2+(r-2)2=2,

t=2+V3或2-

...符合題意的點(diǎn)2的坐標(biāo)：Q（0,2-73）,2（0,2+6）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，勾股定理，將軍飲馬求線段和的最小值，

三角形的外心，圓周角定理，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵.

2.（1）如圖1,在正二A8C的外角NC4”內(nèi)引射線AM,作點(diǎn)C關(guān)于A"的對稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在NC4”內(nèi)），

連接8E,BE、CE分別交AM于點(diǎn)尸，G.則NFEG=

（2）類比探究：如圖2,把上題中的“正二ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，請求出NFEG的度

數(shù)；通過以上兩例探索，請寫出一個(gè)關(guān)于NEEG與N8AC的數(shù)量關(guān)系的正確結(jié)論：：

（3）拓展延伸：如圖3,若以正方形AOOC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,￡＞分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（4,0）,設(shè)正方形4ODC的中心為P,平面上一點(diǎn)尸到P的距離為2夜.

①直接寫出NO外的度數(shù)：

②當(dāng)5以。=6時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；并探索是否有最大值？如果有，請求出；如果沒有，請說明理由.

【答案】（1）30"；（2）NFEG=g/BAC,理由見解析：（3）①45。；②有，尸（2,2+2夜）

【解析】

【分析】

（1）證明Nl=/2,Z3=Z4,/1+/2+60。+/3+/4=180。得Nl+/3=60。，進(jìn)一步可得結(jié)論；

（2）連接CE8C,證明NAEB=NABE,再進(jìn)一步證明2NAFB=90°得NGfE=NGEP=45°,故可得結(jié)論;

（3）①由題意可知尸（2,2）,點(diǎn)F在以P為圓心，2a為半徑的圓上，由圓周角定理可得結(jié)論;②設(shè)*x,y），

根據(jù)三角形面積公式求出y的值，在油PM中，PB=\x-2\,BF=\,根據(jù)勾股定理得3尸+3尸=p尸，

列出方程求出x的值即可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，當(dāng)PF〃y軸時(shí)，面積最大，求值即可.

【詳解】

解：（1）如圖1中,

圖1

?.?點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對稱點(diǎn)，

NAGE=90。，AE=AC,Z1=Z2.

?正AABC中，NA4c=60。，AB=AC,

：.AE=AB,得N3=N4.

在AABE中，Zl+Z2+60°+Z3+Z4=180°,

.*.Zl+Z2+Z3+Z4=I20°,

/.Zl+Z3=60°.

在△AEG中，ZFEG+Z3+Z1=9O°,

二ZF￡G=30°.

故答案為：30°；

(2)連接C￡8c

圖2

VC,E關(guān)于AM對稱

：.AM±CE,GC=GE

：.AC=AEyZAGE=90°

：.ZCAG=NEAG,ZAEB=ZABE；

在正方形AMC中，AC=AB,ABAC=90°

:.AB=AE,

:.ZAEB=ZABE；

在△84尸中，ZAFB+ZABF+ZBAF=180°；

即ZAFB+ZAE3+90。+ZE4G=180°

丁ZAFB=ZAEB+ZE4G

/.2ZAFB=90°

:.ZGFE=ZAFB=45°

：."EG=45。

結(jié)論：ZFEG=-ZBAC

2

（3）①由題意可知P（2,2）,點(diǎn)尸在以P為圓心，2a為半徑的圓上，如圖,

連接PO,PA,則NAPO=90。

Z.ZAFO=-ZAPO=45°

2

故答案為：45°

②設(shè)p（x,y）則5〃°=goA,|y|=6

即21yl=6,

由題意得y>o,

）=3

由題意可知尸（2,2）,點(diǎn)尸在以P為圓心，2&為半徑的圓上;

過點(diǎn)P作尸B〃x軸，過點(diǎn)F作FB〃y軸，則NP5尸=90°

在用PBF中，PB=\x-2\,BF=l,

根據(jù)勾股定理得BP2+BF2=PF2

即|x-21+『=(2&y

解得不=2+不,w=2-不

故廠(2+b,3)或尸(2-b,3)

Sno=^OA-\y\,當(dāng)PF//y軸時(shí)，面積最大，此時(shí)下(2,2+2血)

S.=g043=4+40

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定

理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

3.如圖1,在汝ABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,。是AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心在AC的右側(cè)作

半徑為3的半圓0,分別交AC于點(diǎn)。、E,交AB于點(diǎn)G、F.

思考：連接OF,若OFLAC,求質(zhì)的長度；

探究：如圖2,將線段8連同半圓。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，求點(diǎn)。到距離的最小值；

(2)若半圓。與向ABC的直角邊相切，設(shè)切點(diǎn)為K,連接AK,求AK的長.

【答案】思考：5；探究：(1)I；(2)行或8-4

【解析】

【分析】

思考：如圖，在即ABC'\',ZC=90°,AB=10,BC=6,可得AC=8可得AO=CO=4,結(jié)合O尸J.AC,

OF=3,利用勾股定理可得答案；

探究：(1)如圖，當(dāng)CD_LA8時(shí)，點(diǎn)。到A8的距離最小，由三角形面積公式可得，

SA48C=^ACxBC=^ABxCG,求解CG即可得到答案；

(2)當(dāng)半圓。與BC相切時(shí)，如圖，設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,4K，則NOKC=90。，在RjOCK中，OK=3,

OC=4,求解CK=>/7再在RfZsACK中，AC=8,求解AK=JAC?+CK?=瓦,當(dāng)半圓。與AC相時(shí),如

圖，設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,則NOKC=90。，在ROCK中，OK=3,OC=4,求解CK="，可得AK=8-近，

從而可得答案.

【詳解】

解：思考：如圖，在Rf.ABC中，ZC=90°,=BC=6,

：.AC=8

???。是AC的中點(diǎn),

，AO=CO=4,

OF1AC,OF=3,

,AF=ylo/r+OF2=5-

探究：(1)如圖，當(dāng)CD1.A5時(shí)，點(diǎn)。到AB的距離最小,

由三角形面積公式可得，S^ABC=^ACXBC=^ABXCG

.24

4

,OG=CG-OC=-

5

4

點(diǎn)。到AB距離的最小值是1

(2)當(dāng)半圓。與BC相切時(shí)，

如圖，設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,AK，則NOKC=90。,

,在RfOCK中，0K=3,0C=4,CK=4

:在RfZXACK中，AC=8,

AK=y/AC2+CK2=伉

當(dāng)半圓。與AC相時(shí),如圖,設(shè)切點(diǎn)為與,連接0K,

/.NOKC=90°

A

?在拓OCK中,OK=3,0C=4,

CK=y/l

AK=8-不

，AK的長為J7T或8-近

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，數(shù)學(xué)分類思想的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y="(x<0)上，PAl_x軸于點(diǎn)A,點(diǎn)B在y軸正半軸上，PA=PB,OA、OB

X

的長是方程t2-16t+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且OA>OB,點(diǎn)C是線段PB延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC的

外接圓。M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是D.

(1)求k的值；

(2)當(dāng)圓心M在y軸上時(shí)，請判斷四邊形PAMB的形狀，并說明理由；

(3)當(dāng)圓心M在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，則P、Q兩點(diǎn)之間的距離達(dá)到最大值時(shí)，求點(diǎn)Q的

坐標(biāo).

【答案】(1)%=—240；(2)四邊形PAMB是菱形，理由見解析；(3)Q(2屈，-16-6710

【解析】

【分析】

(1)解方程求出OA、0B的長，進(jìn)而可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)PA=PB列方程求解即可；

(2)易求PA=PB=20,設(shè)。M的半徑為r,根據(jù)勾股定理列方程求出r的值，得出MA=MB=20,即可

證明四邊形PAMB是菱形；

(3)連接PM并延長，交(DM于點(diǎn)Q,此時(shí)點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值，過點(diǎn)P作PE±y軸于點(diǎn)E,

過點(diǎn)Q作QF_Ly軸于點(diǎn)F,首先求出PM的長，然后利用三角函數(shù)分別求出FQ和MF的長即可解決問題.

【詳解】

解：(1)解方程［2—161+48=0得：t=4或t=12,

VOA,OB的長是方程t2-16t+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且OA>OB,

/.OA=12,OB=4,即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(-12,0),(0,4),

VPA±x軸于點(diǎn)A,

.?.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,124)，

由PA=PB得：(喂)=122

解得：％=-240；

(2)四邊形PAMB是菱形;

理由：連接AM,

由(1)可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1220),

，PA=PB=20,

設(shè)^ABC的外接圓(DM的半徑為r,

:圓心M在y軸上，OA=12,OB=4,

，OM=r-4,

在Rt^AOM中，OA2+OM2=AM2,g|J122+(r-4)2=r2,

解得：r=20,

AMA=MB=20,

，PA=PB=MA=MB,

???四邊形PAMB是菱形;

(3)連接PM并延長，交③M于點(diǎn)Q,此時(shí)點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值，過點(diǎn)P作PELy軸于點(diǎn)E,

過點(diǎn)Q作QF，y軸于點(diǎn)F,

當(dāng)圓心M在y軸上時(shí)，由(1)(2)可知PE=12,OE=20,OM=20-4=16,MQ=20,

；.ME=16+20=36,

PM=V122+362=12V10-

..PE12屈*PE12]_

??sm/PME=-----=-----T==--,tanZ.PME=------

PM12V1010ME363

.?/DA/f"?/GSFQFQVIO

??sm/PME=smZ.FMQ-------=-----=------,

MQ2010

FQ=2V10,

FQ2V101

tanNPME=tan乙FMQ-

~MF~MF-3

，MF=6而,

.".OF=OM+MF=16+6x/10,

二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2屈，-16-6V10）.

【點(diǎn)睛】

本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到解一元二次方程、圓的基本知識(shí)、勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式、菱形的

判定、解直角三角形等知識(shí)，明確第（3）問中PQ過圓心M時(shí)，點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值，是本題

解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AB是。。的一條弦，C、。是。。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在AB弦的異側(cè)，連接CD.

（1）若AC=BC,AB平分NC8O,求證：AB=CD；

（2）若N4OB=60。，。。的半徑為1,求四邊形ACBO的面積最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）V3.

【解析】

【分析】

（1）證AC=BC=AO即可得AB=C。,繼而求證結(jié)論；

（2）如圖，連接OA、OB、OC,0c交AB于“，由/A￡）B=60。和AC=BC求得/ADC=/8Z?C==30°,OC1AB,

AH=BH,繼而求出A8的長，由S峭％ABCD=SAABD+SAABC可知，當(dāng)。點(diǎn)為優(yōu)弧A8的中點(diǎn)時(shí)，即CO為。O

的直徑時(shí)，四邊形ACBO的面積最大，進(jìn)而求解.

【詳解】

（1）'：AC=BC,

,AC=A8

\'AB平分/C8O,

ZABC=ZABD,

-?AC=AD>

AB=CD<

；.AB=CD；

（2）連接。4、OB、OC,OC交A8于“，如圖，

:AC=BC，

AZADC=ZBDC=^ZADB=30°,OCLAB,AH=BH,

：.ZBOC=60°,

：.OH=g0B=；,BH=《iOH=B,

222

；.AB=2BH=6

四邊形ACBD的面積=SzABC+SAABD,

.?.當(dāng)。點(diǎn)到48的距離最大時(shí)，SzABO的面積最大，四邊形4C8Q的面積最大，此時(shí)。點(diǎn)為優(yōu)弧A8的中

點(diǎn)，

即8為OO的直徑時(shí)，四邊形AC8O的面積最大，

四邊形AC8。的面積最大值為a?6x2=收

本題主要考查角平分線的性質(zhì)和圓周角定理及其推論，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓周角定理(在同圓或等圓

中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)及其推論(同弧或等弧所對的圓周角相等；半圓或

直徑所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.).

6.有這樣一類特殊邊角特征的四邊形，它們有“一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)”，我們稱之為“等對補(bǔ)四邊形”.

(1)如圖1,四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,AD=AB,AE_LCZT于點(diǎn)E,若AE=4,則四邊形A8CD

的面積等于.

(2)等對補(bǔ)四邊形中，經(jīng)過兩條相等鄰邊的公共頂點(diǎn)的一條對角線，必平分四邊形的一個(gè)內(nèi)角，即如圖2,四

邊形ABC。中，AD=DC,NA+/C=180。，連接B。，求證：8。平分NABC.

(3)現(xiàn)準(zhǔn)備在某地著名風(fēng)景區(qū)開發(fā)一片國家稀有動(dòng)物核心保護(hù)區(qū)，保護(hù)區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示，該地規(guī)劃部

門要求：四邊形ABCD是一個(gè)“等對補(bǔ)四邊形”，滿足AD=DC,AB+4O=12,N8AD=120。，因地勢原因，

要求3WAH6,求該區(qū)域四邊形ABC。面積的最大值.

【答案】⑴9

(2)見解析

⑶27g

【解析】

【分析】

(1)過A作AF_LBC,交CB的延長線于尸，求出四邊形AACE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/a四=90。，

jRH；ZDAE=ZBAF=90°-ZBAE,根據(jù)AA5得出皿B三AAED,根據(jù)全等得出AE=AF=3,$兇郎=$謝，求出

SjE方彩"CE=9,求出S叫邊柩械p=SjE方留MC￡，代入求出即可；

(2)如圖1中，連接AC,BO.證明A,B,C,。四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理即可解決問題.

(3)如圖3中，延長84到H,使得AH=BA,連接￡歸，過點(diǎn)DA作DKLAH于K,根點(diǎn)B作及0J_￡W

于M,BNLCD于N.設(shè)=構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

(1)

解：如圖1,過A作交CB的延長線于尸，

QAE1CD,ZC=90°

.-.ZA￡D=ZF=ZC=90°,

..?四邊形AFCE是矩形，

:.ZFAE=90°,

ZDAB^90°,

ZDAE=ZBAF=900-ZBAE,

在AAFB和AAED中，

ZF=NAED

"NFAB=NDAE,

AB=AD

.-.MFfi=AA￡ZXA4S),

/.AE=AF=4>S,MFB=s1M切,

四邊形AFCE是矩形，

???四邊形AFCE是正方形,

,,S正方形AFCE=4X4=16，

***S四邊形A8CD

=S四邊形A8CE+

二S四邊形A8C￡+S/^FB

=S正方形AFC￡

=16.

故答案為：16：

(2)

」.A,B,C,。四點(diǎn)共圓,

AD=DC,

???AD=DC^

/.ZABD=NCBD,

.?.3D平分4ABC.

(3)

解：如圖3中，延長84到“，使得4"=AO,連接過點(diǎn)D4作。KJ_A”于K,過點(diǎn)3作

于M,3N_LCD干N.設(shè)A3=x.

H

.ZJ3AD+ZC=180°,ZSAD=120°,

/.ZC=60°,

.\ZHAD=60°,

AD=AH,

.?.AA。，是等邊三角形，

.?.4=60。，

.?."=NC,

由(2)可知.8D平分NA3C,

:.ZDBA=ZDBC,

BD=BD,

:MBH^NDBC,

:.ABDM=^BDN,DH=AD=\2-x,

BMLDH,BN1CD,

/.BM=BN,

AH+AB=AB+AD=\2,

：.BM=BN=BH-sin60°=66,DK=AD-sin60。=5(12-x),

S四邊囪8c?"=SA&CO+SAAB。=g.(12-x)-6君+；-?孚(12-司=-乎/+366,

V3<12-x<6,

.?.64x49

；.x=6時(shí)，S有最大值，最大值5=276.

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了“鄰等對補(bǔ)四邊形”的定義，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)

共圓，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建

二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考壓軸題.

7.定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”，例如：凸四邊形A8CD中，若NA=NC,

ZB^ZZ),則稱四邊形ABC。為準(zhǔn)平行四邊形.

(1)如圖(1乂、/\8、(7是。。上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=NCPB=60。，延長8P到。，使AQ=AP.已知/QACr/QBC,

求證：四邊形AQ8C是準(zhǔn)平行四邊形；

(2)如圖(2),準(zhǔn)平行四邊形ABCO內(nèi)接于。O,AB/AD,BC=DC,若。。的半徑為5,AB=6,求四邊形

ABCQ的面積；

(3)如圖(3),在RSA8C中，NC=9(T,NA=30。,8c=2,若四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且N8CZV/BA。，

求BO長的最大值.

【答案】(1)證明見解析

(2)49

(3)273+2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，利用等邊三角形的判定定理可得是等邊三角形，可得ZAQP=ZAC8=60。，由

NQAC*NQBC,可證四邊形A。8c是準(zhǔn)平行四邊形；

(2)連接8。，由準(zhǔn)平行四邊形的性質(zhì)可得N&M)=N8C￡)=90。，ZABCZADC,得出50是直徑，利

用勾股定理可得仞=8,8c2=50,結(jié)合圖形，四邊形ABC。的面積為二題與一88的面積和，求解即

可得；

(3)根據(jù)題意作：AC。，然后作ACD的外接圓。。，過點(diǎn)。作OELAC于E,0FJ_8C延長線于尸，利用

三角形內(nèi)角和定理及銳角三角函數(shù)解三角形可得NABC=60。，AC=tanNABCBC=，根據(jù)四邊形A8C7)

是準(zhǔn)平行四邊形，得出ZABC=ZADC=60°,山等邊對等角及三線合一性質(zhì)可得N4co=NC4O=30°,

CE=AE=^AC=43,利用銳角三角函數(shù)可得0E=l,CO=2OE=2,由矩形的判定可得四邊形CFOE是

矩形，BF=BC+CF=3,利用勾股定理得出8。=2有，結(jié)合圖形可得：當(dāng)點(diǎn)。在80的延長線時(shí)，BO的

長有最大值，求解即可得.

(1)

證明：VZAPC=ZCPB=60°,

NAPQ=60°,ZAPB=12O°,

???四邊形AP8c是圓的內(nèi)接四邊形，

二ZAPS+ZACB=180°,

/.ZACB=60。，

VAQ=AP,NAPQ=60。，

.?.-APQ是等邊三角形，

/.NAQP=NACB=60°,

又,:ZQAC^ZQBC,

二四邊形AQ8C是準(zhǔn)平行四邊形；

(2)

如圖所示：連接84，

???四邊形A8CO是圓內(nèi)接四邊形，

NBAD+ZBCD=180°,ZABC+ZADC=180°,

?.FC不是直徑，

ZABC^ZADC,

四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，

，ABAD=ZBCD.ZABC豐ZADC,

/BAD=/BCD=90°,

二8。是直徑，

BD=W,

AB2+AD2=BD2，

36+A￡>2=100.

，AZ>=8,

BC2+CD2=BD2,BC=CD,

：.BC2=50,

???四邊形A8C。的面積為：

SABD+SBCD>

=-xABxAD+-xBCxCD=49；

22

11,

=-x6x8+-xfiC2,

22

=49,

二四邊形ABC。的面積為49；

(3)

如圖所示：根據(jù)題意作ACD,然后作aACZ)的外接圓。。，過點(diǎn)。作OEJ_AC于E,。尸，8c交BC延長

線于「，

V=90°,ABAC=30°,BC=2,

，ZABC=60°,AC=tanNABOBC=2n,

:四邊形ABC。是準(zhǔn)平行四邊形，^ZBCD^ZBAD.

???ZABC=ZADC=GO0,

：.ZAOC=120°,且QE_LAC,OA=OCf

ZACO=ZCAO=30°,CE=AE=-AC=y/3,

2

/.OE=CE-tanZAC。=6?t3n=3C.CO=2OE=2,

，OC=OD=OA=2,

VOELAC,OF上BC,ZECF=9O°,

，四邊形C尸。E是矩形，

:.CE=OF=上,OE=CF=l,

：.BF=BC+CF=3,

BO=-JBF2+FO2="+(國=25

???當(dāng)點(diǎn)。在BO的延長線時(shí).，8。的長有最大值，

二長的最大值為：BO+OD=2y/3+2.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，利用勾股定理，

銳角三角函數(shù)解三角形，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)

用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

說明理由；

(2)已知二次函數(shù)y=N-4x+4圖象的頂點(diǎn)為A,坐標(biāo)圓的圓心為P,如圖1,求APOA周長的最小值；

(3)已知二次函數(shù)y=a/-4x+4(0＜。＜1)圖象交x軸于點(diǎn)A,B,交)，軸于點(diǎn)C,與坐標(biāo)圓的第四個(gè)交點(diǎn)為

D,連結(jié)PC,PD,如圖2.若NCPD=120°,求a的值.

【答案】(1)0P是二次函數(shù)y=/-4x+3的坐標(biāo)圓，理由見解析

(2)APQA周長的最小值為6

4百+3

(3)a=-----------

12

【解析】

【分析】

(1)先求出二次函數(shù)y=/-4x+3圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，再計(jì)算這三個(gè)交點(diǎn)是否在以P(2,2)為圓心,

石為半徑的圓上，即可作出判斷.

(2)由題意可得，二次函數(shù)產(chǎn)x2-4x+4圖象的頂點(diǎn)A(2,0),與y軸的交點(diǎn)H(0,4),所以APOA周長

=PO+PA+OA=PO+PH+2>OH+2,即可得出最小值.

(3)連接CD,PA,設(shè)二次函數(shù)產(chǎn)以2一曲+4圖象的對稱軸/與CO交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,由對稱性知，

對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)尸，目LCQ,設(shè)尸E="i,由/CPO=120°,可得以=PC=2mCE=gm,PF=4-m,表示出

AB.AF=BF,在對△勿尸中，利用勾股定理建立方程，求得根的值，進(jìn)而得出a的值.

(1)

對于二次函數(shù)y—x2-4x+3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3：當(dāng)y=0時(shí)，解得x=l或x=3,

.?.二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為A(1,0),8(3,0),與y軸交點(diǎn)為C(0,3),

■:點(diǎn)P(2,2),

:.PA=PB=PC=^,

二。P是二次函數(shù)y=/-4x+3的坐標(biāo)圓.

(2)

如圖1.連接

?.?二次函數(shù)y=/-4x+4圖象的頂點(diǎn)為A,坐標(biāo)圓的圓心為P,

：.A(2,0),與y軸的交點(diǎn)H(0,4),

/.△POA周長=PO+PA+OA=PO+PH+2>OH+2=6,

...△POA周長的最小值為6.

⑶

如圖2,連接CD,PA,

設(shè)二次函數(shù)y=ox2-敘+4圖象的對稱軸/與CD交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,

由對稱性知，對稱軸/經(jīng)過點(diǎn)P,且LCD,

?,46—16〃4J1—a

*-"---------=-------,

aa

:.AF=BF=^^~,

a

9：ZCPD=\20°,PC=PD,C(0,4),

:.ZPCD=ZPDC=30°,

設(shè)尸￡=〃?，則%=尸。=2"2,CE=6m,PF=4-m,

2

?/二次函數(shù)y=cix2-4x+4圖象的對稱軸/為x=—,

a

r-22

/.yj3m=—,即〃=—f=—,

a73tn

在/?/△PAF中，PA2=PF2+AF2,

/A\227、一a、，

???4./n-2=(4-in)+(------)~,

a

4(1--^=)

HP4/n2=(4-加了H----:M

3m2

8

化簡，得(8+26)〃?=16,解得機(jī)=

4+有

46+3

12

【點(diǎn)睛】

此題是二次函數(shù)與圓的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等

知識(shí)以及方程的思想，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖1,已知。。的內(nèi)接四邊形4BCD,AB//CD,BC//AD,AB=6,BC=8.

M

0

圖3

(1)求證：四邊形ABCD為矩形.

(2)如圖2,E是AO上一點(diǎn)，連接CE交AD于點(diǎn)F,連接AC.

①當(dāng)點(diǎn)D是匿中點(diǎn)時(shí)，求線段DF的長度.

②當(dāng)16s△￡>CF=3S幽緲ABC。時(shí)，試證明點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).

(3)如圖3,點(diǎn)E是。0上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、C重合)，連接EA.EC、0E,點(diǎn)、/是△AEC的內(nèi)心，點(diǎn)

M在線段0E上，且ME=2M0,則線段MI的最小值為.

【答案】(1)見解析

9

(2)①。尸=：,②見解析

(3)5x/2-y

【解析】

【分析】

(1)先證明四邊形ABC。為平行四邊形，再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)可證明/4=/C=90。，即可

證明四邊形A8co為矩形；

(2)①證明△DCF~△DAC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

②由已知求得SA￡>CF=：SzD4C,得到導(dǎo)"=M=求得DF=3,AF=5,過點(diǎn)尸作FG,4c于點(diǎn)G,

83DACDA6

證明Rt4AFG~Rt&ACD,求得FG=DF=3,進(jìn)而證明結(jié)論成立；

(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到4c上方時(shí)，利用內(nèi)心的性質(zhì)證得點(diǎn)/在以點(diǎn)N為圓心，5yli為半徑的圓的一段圓弧上，

當(dāng)/、加、N在同一直線上時(shí)，/M取得最小值，計(jì)算即可求解；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC下方時(shí)，E、N重合時(shí)，IM

取得最小值，同理可求解.

(1)

證明：?:ABIICD,BC//AD,

二四邊形ABCD為平行四邊形，

ZA=ZC,

?.?四邊形A8CD為。。的內(nèi)接四邊形，

AZA+ZC=180°,

,ZA=ZC=90°,

.?.平行四邊形ABC。為矩形；

(2)

①：四邊形ABC。為矩形，且AB=6,BC=8,

/.AB=CD=6,BC=AD=S,AC=46+8?=10?

,點(diǎn)D是CE中點(diǎn)，

AZDCF=ZDAC,ND公共,

：./\DCF~DAC,

.DFDC....DF6

.?----=----,即----=—,

DCDA68

②???四邊形ABC。為矩形,

，S^ABCD=2SADAC,ZD=90°,

V16SADCF=3S四邊形ABCD,

3

A5ADCF=~DAC,

8

..SDFC_DF_3

：.DF=3f4F=5,

過點(diǎn)尸作RGLAC于點(diǎn)G,

????△AFG?Ri&ACD,

.=空,即1型

ACCD106

：.FG=3,

：.FG=DF=3,

VFG1AC,ZD-90°,

.?.CF是/AC。的平分線，

...點(diǎn)E為4。的中點(diǎn)；

(3)

解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC上方時(shí)，

連接A/、C1,連接E/并延長交。。于點(diǎn)M連接AN、CN,

ED

??,點(diǎn)/是AAEC的內(nèi)心，且AC=IO,

：?4AEN=/CEN,NEA1=NCAI,

：.AN=CN=—AC=5d2，/AEN=NCEN=/CAN=A5°,

2

丁/NAI=/CAI+/CAN=NCAI+45。,/NIA=NEAI+NAEN=/EAI+45。,

:./NAI=/NIA,

：.AN=NI=CN=5y[2，

???點(diǎn)/在以點(diǎn)N為圓心，50為半徑的圓的一段圓弧上，如圖,

當(dāng)/、M、N在同一直線上時(shí)，/M取得最小值,

?:ME=2M0,OE=-AC=5,

2

：.MO=-,MN=MO+ON=-+5=—

333t

：.1M的最小值為；

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC下方時(shí)，E、N重合時(shí)，取得最小值,

同理可求得/M的最小值為5夜-弓；

故答案為：5五-g.

【點(diǎn)睛】

本題是圓的綜合題，考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，內(nèi)心的性質(zhì)，解答本題的關(guān)

鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，OC與X軸交于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0),與y軸相切于點(diǎn)。(0,4),

過點(diǎn)A,B,。的拋物線的頂點(diǎn)為E.

J'小JA

備用圖

(1)求圓心C的坐標(biāo)與拋物線的解析式；

(2)判斷直線AE與。C的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若點(diǎn)M,N是直線y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方)，且MN=1,請直接寫出的四邊形E4MN周

長的最小值.

【答案】⑴C(5,4),y=；x2_^x+4；

(2)AE是。C的切線，理由見解析；

19+阿

O■?

4

【解析】

【分^1?】

(1)如圖1,連接CO,CB,過點(diǎn)C作于M.設(shè)。C的半徑為八在RQ8CM中，利用勾股定理

求出半徑，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的對稱性，得A(2,0),用待定系數(shù)法即可求解.

(2)結(jié)論：AE是OC的切線.連接4C,CE,由拋物線的解析式推出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出AC,AE,CE,利

用勾股定理的逆定理證明ZC4E=90°即可解決問題.

1519

(3)由四邊形成用2周長=4￡+4歷+仞7+的=一+4用+1+加尸=一+4例+用/，可得當(dāng)汗河+陸有

44

最小值時(shí)，四邊形E4MN周長有最小值，即當(dāng)點(diǎn)M在線段4尸上時(shí)，4M+M尸的最小值為即可求

解.

(1)

解：(1)如圖，連接CO,CB,過點(diǎn)C作CMLA8于

設(shè)。C的半徑為r,

,與y軸相切于點(diǎn)D(0,4),

：.CDLOD,

":NCDO=NCMO=ZDOM=90°,

...四邊形ODCM是矩形，

，CM=OO=4,CO=OM=r,

,:B(8,0),

：.0B=8,

：.BM=S-r,

在/?/△CMB中，；BC2=CM2+BM2,

：.^=42+(8-r)2,

解得r=5,

二圓心C(5,4),

???拋物線的對稱軸為x=5,

又,；點(diǎn)B(8,0),

，點(diǎn)A(2,0),

則拋物線的表達(dá)式為y=“(x-2)(x-8),

解得!，

將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入上式得：4=ax(0-2)x(0-8),a=

4

故拋物線的表達(dá)式為戶;《

2)(.r-8)=-x2--.r+4.

42

⑵

解：結(jié)論：AE是OC的切線.

理由如下：連接AC,CE.

y八

0x

圖2

9

當(dāng)x=5時(shí)，y=--,

9

???頂點(diǎn)“⑸

?1底小一2)2+卜卜0片

CE=4+-=—,AC=5,

44

：.EC2=—AE2+AC2=—

16f16

.,.E-2+A0,

AZCAE=90°,

：.CA±AEf

???AE是。。的切線.

(3)

解：如圖3,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)4(-2,0),過點(diǎn)E作EF〃MN,且*'=MN=1,連接AM,A'F,

MF,

?，點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于y軸對稱，

???AM=A用，

*：EF〃MN,EF=MN,

???四邊形MNE尸是平行四邊形，

:,MF=NE,

1519

,/四邊形EAMN周長=AE+AM+MN+NE=—+AM+1+MF=—+A'M+MF,

44

???當(dāng)4M+MF有最小值時(shí)，四邊形EAMN周長有最小值，

.??當(dāng)點(diǎn)M在線段4尸上時(shí)，AM+M尸的最小值為AF,

,:EF〃MN,EF=MN=1,

工點(diǎn)產(chǎn)(5,--),

4

.4Al/u八2(5-丫7809

??g{(5+2)+匕-。)

/.四邊形EAMN周長的最小值=2+邈I=19上師.

444

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與圓的綜合運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合能提高解題效率.

11.如圖，拋物線ynar'+Ox+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與N軸交于點(diǎn)C,已知。3=2OC=4OA.

(1)若04=1,求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在(1)的條件下，拋物線對稱軸是否存在一點(diǎn)Q,使得ZAQC=ZABC,若存在請求出。點(diǎn)坐標(biāo)，若不存

在，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，若(2)中存在點(diǎn)Q,取x軸上方的點(diǎn)為點(diǎn)Q,若不存在，取點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為

點(diǎn)Q,點(diǎn)。為拋物線頂點(diǎn)，過點(diǎn)。作軸垂線《，點(diǎn)P為4上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸垂線"，點(diǎn)M為4上

一點(diǎn)，始終有PM=QW,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為用含f的代數(shù)式表示點(diǎn)PM的長，的最小值是多少.

【答案】⑴y=z(x—[)2—手；頂點(diǎn)、。坐標(biāo)為(。，-3；

228z占

(2)。坐標(biāo)為《，|)或(|，

c4212241,..,,45

(3)PM=—t>PM有瑯小值為77

45458016

【解析】

【分析】

(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式，再利用配方法可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)先證得AAOCSACOB,得出NACO+N8co=90。，如圖1,以AB為直徑作圓必經(jīng)過點(diǎn)C,NA8c為以

3

AB為直徑的圓的一個(gè)圓周角，故點(diǎn)。為該網(wǎng)坷直線x的交點(diǎn)，運(yùn)用圓的性質(zhì)即可求得答案；

3(25、25

(3如圖2,設(shè)點(diǎn)”坐標(biāo)為",s),過點(diǎn)M作直線x=5丁點(diǎn)E,JiliJPM=5-1l=5+y,ME=\t-

||，QE=|T，利用勾股定理可得；($+卻化簡得：,吟弋，進(jìn)而可

得：PM=s-(-^)=^t2-i|t+^,再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案.

o4545oO

⑴

解：設(shè)。4=加(〃2>0),則。3=4w，OC=2m,

/.A(-m,0),8(4m,0),C(0,-2/n),

則拋物線解析式可表示為y=a(x4-m)(x-4m),

由點(diǎn)。在拋物線匕有：。(0+〃。(。一4")=一2"，

,m>0?

二解得a=J：

由04=1,則所設(shè)的〃?=1,

拋物線解析式為為y=1(x+1)(%-4)=_|x_2=_|)2_g,

，頂點(diǎn)。坐標(biāo)為4,-3.

Lo

(2)

拋物線對稱軸存在一點(diǎn)Q,使得以QC=43。，

由(1)可得：A(-L0),3(4,0),C(0,-2),

AO_IOC_2_\

~CO~29~OB~4~2f

,AOOC

''~CO~~OBy

ZAOC=ZCOB=90°f

/.AAOC^ACOB,

...ZACO+N5co=90。，

.?./ABC為以AB為直徑的圓的一個(gè)圓周角,

3

故點(diǎn)。為該圓與直線x的交點(diǎn)，

???圓心尸的坐標(biāo)為弓3，。），半徑為5彳,

乙2.

*e?點(diǎn)Q坐標(biāo)為c|,T）或（T，一》.

（3）

如圖2,

圖2

3

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為0,s）,過點(diǎn)M作ME±宜線x=-于點(diǎn)E,

25ZDQ

則PM=s5+—,ME=QE=

O2

在RTAMEQ中，MQ2=ME2+QE2+

PM^MQ,

*(s+y)2=(t-1)2+(|-s)2,

4129

化簡得:2

4580

254212241

---1------1H---------

454580

345

???當(dāng)f時(shí)，PM有最小值為

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)等，添加輔助圓和利用勾股定理建立方程是解題關(guān)鍵.

12.如圖1,A8CZ）是邊長為4的正方形，以B為圓心的。8與2C,3A分別交于點(diǎn)E,F,還接EF,且EF

=4.

(1)求BE的長；

⑵在平面內(nèi)將圖1中小BEF繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360。，在旋轉(zhuǎn)的過程中，

①求NCDE的取值范圍；

②如圖2,取。E的中點(diǎn)G,連接CG并延長交直線。尸于點(diǎn)”，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，試求PH+以+P8

的最小值.

【答案】(1)20

(2)@15°<ZCDE<15。②26+2

【解析】

【分析】

(1)由ABEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的長；

(2)①當(dāng)OE分別為的切線時(shí)，/C￡>E最大或最小，由8。=28日即可求得/E/DB為30度，從而解決；

②延長OC到OC,