考點(diǎn)鞏固卷07 三角函數(shù)的運(yùn)算（八大考點(diǎn)）-新課標(biāo)2025年高考《數(shù)學(xué)》一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)通關(guān)卷（解析版）

第第頁考點(diǎn)鞏固卷07三角函數(shù)的運(yùn)算（八大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：任意角與弧度制區(qū)域角的求解遵循以下步驟：第一步：在直角坐標(biāo)系中標(biāo)明兩個(gè)邊界（在范圍內(nèi)）第二步：按逆時(shí)針方向標(biāo)出陰影部分區(qū)域第三步：若陰影區(qū)域?yàn)樯渚€即： 若陰影區(qū)域?yàn)橹本€即：區(qū)域角是指終邊在坐標(biāo)系內(nèi)的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角。表示區(qū)域角的3個(gè)步驟：（1）先逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止的邊界；（2）按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間，其中；（3）起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角，再加上的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合。由已知角確定其他角所在象限1、已知角終邊所在的象限，確定其他角終邊所在的象限，常依據(jù)角的范圍得到所求角的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉終邊在坐標(biāo)軸上的情況。2、已知角所在象限，要確定所在象限，由兩種方法：（1）用不等式表示出角的范圍，然后對(duì)的取值分情況討論：被整除，被除余1，被除余2，……，從而得出結(jié)論；（2）作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成個(gè)區(qū)域。從軸的非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這個(gè)區(qū)域以此循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4。標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是根據(jù)角終邊所在的象限確定角的終邊所在的區(qū)域。如此，角所在的區(qū)域就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀的看出。3、已知角終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，可依據(jù)角的范圍求出的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉的終邊在坐標(biāo)軸上的情況。1．在平面直角坐標(biāo)系中，若角與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則角與之間的關(guān)系滿足（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】由題意，角和的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則.故選：D.2．下列與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定與角終邊相同的角為，，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】與角終邊相同的角為，，對(duì)選項(xiàng)A：取，不是整數(shù)解，A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：取，不是整數(shù)解，B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：取，，C正確；對(duì)選項(xiàng)D：取，不是整數(shù)解，D錯(cuò)誤.故選：C3．已知某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，先求出圓錐側(cè)面展開圖扇形的半徑，再由側(cè)面積公式列方程計(jì)算即得.【詳解】依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為，則其側(cè)面展開圖的扇形弧長為，則扇形半徑為，側(cè)面積為，解得.故選：B.4．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則是（

）A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角【答案】A【分析】根據(jù)角所在的象限，表示所在的象限.【詳解】由題意可知是第二象限角，，則,則是第一或第三象限角．故選：A5．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長即圓錐底面圓的周長建立方程，求得底面圓半徑，再由圓錐軸截面即可求出高.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，依題意得，解得，而圓錐的母線長，因此圓錐的高.故選：A.6．《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計(jì)算弧田面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)半角公式求出，再分別求出弦長和矢長，再根據(jù)弧田的面積公式即可得解.【詳解】由，可得，故弦長為，矢長為，所以所求弧田面積為.故選：A.7．已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算出圓錐底面圓的半徑，再由勾股定理求出圓錐的高，然后利用等面積法計(jì)算內(nèi)切球半徑，最后再計(jì)算球的表面積即可.【詳解】側(cè)面展開圖扇形的弧長為，圓錐底邊的半徑滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個(gè)兩腰長為2，底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等面積法可得，則．所以內(nèi)切球的表面積為．故選：D．8．下列命題為真命題的是（

）A．若向量，，滿足，，則B．化成弧度數(shù)為C．若向量，滿足，，，則D．在時(shí)刻，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角為，則【答案】BD【分析】根零向量即可判斷A，根據(jù)角度與弧度的互化即可判斷B，根據(jù)向量的模長公式即可求解C，根據(jù)即可求解D.【詳解】對(duì)于A，若為零向量，則不一定成立，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，B正確，對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，時(shí)刻，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角，故，D正確，故選：BD9．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1甲）圖乙是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧，所在圓的半徑分別是3和12，且，則該圓臺(tái)的（

）A．高為 B．上底面積和下底面積之比為1:4C．表面積為 D．體積為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，求得圓臺(tái)的上、下底面半徑和母線長、以及圓臺(tái)的高，結(jié)合圓臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征以及側(cè)面積和體積公式，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)圓臺(tái)的上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，則且，解得，由圓臺(tái)的母線長為，所以圓臺(tái)的高為，故A正確；對(duì)于B中，圓臺(tái)的上、下底面面積比為，故B不正確；對(duì)于C中，圓臺(tái)的上、下底面面積為，圓臺(tái)的側(cè)面積為，圓臺(tái)的表面積為，故C正確；對(duì)于D中，圓臺(tái)的體積為，故D正確.故選：ACD.10．如圖，正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在底面內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，若//平面，則的軌跡長度為B．在底面內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，若直線與平面所成角為，則的軌跡長度為C．以為球心，為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為D．以為球心，為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，構(gòu)造平面平面,得點(diǎn)的軌跡為平面與平面的交線的長；對(duì)于B，經(jīng)分析得到點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓弧上，計(jì)算即得軌跡長；對(duì)于C，D,先判斷球面與正方體的哪些表面有交線，再利用弧長公式求解即得.【詳解】對(duì)于A，如圖1，連接,因,且，則得為平行四邊形，則,又平面,平面,則有平面,同理平面，又,平面,故得平面平面,因在底面ABCD內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，且//平面，平面平面，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，的軌跡長度為的長，故A正確；對(duì)于B，如圖2，因平面,是在平面上的射影，故即直線與平面所成角，由可得,即點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓弧上，故的軌跡長度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖3，因，故以為球心，為半徑的球的球面只與三個(gè)平面有交線，交線分別為長度相等的三段弧.連接,在中，,則，易得,故,于是的長為，故球面與正方體的表面的交線長為，故C正確；對(duì)于D，如圖4，因，故以為球心，為半徑的球的球面與正方體的六個(gè)面都有交線，分別是,其中三段弧相等，三段弧相等.在中，，易得,故,于是的長為；又在中，,于是的長為；故球面與正方體的表面的交線長為：,故D正確.故選：ACD.考點(diǎn)02：扇形的弧長及面積公式弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．11．機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形分析，利用扇形的圓心角、半徑、弧長的關(guān)系，即可求解.【詳解】由已知，．得，則萊洛三角形的周長是故選：A．12．如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點(diǎn)，切點(diǎn)處有一個(gè)標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到與出發(fā)位置時(shí)的圓相外切時(shí)(記此時(shí)圓心為)，標(biāo)志位于點(diǎn)處，圓與軸相切于點(diǎn)，則陰影部分的面積是（

）

A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出劣弧的長，再利用扇形面積公式計(jì)算即得．【詳解】由圓與圓外切，得，又圓，圓與軸分別相切于原點(diǎn)和點(diǎn)，則，所以劣弧長等于，所以劣弧對(duì)應(yīng)的扇形面積為.故選：B13．圓被直線所截得劣弧的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為、，的中點(diǎn)為，求出圓心到直線的距離，利用銳角三角函數(shù)求出，即可得到，再由弧長公式計(jì)算可得.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為、，的中點(diǎn)為，則，所以，所以，則，所以劣弧的弧長為.故選：C14．如圖，圓O內(nèi)接一個(gè)圓心角為60°的扇形，在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在扇形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的半徑與扇形半徑的關(guān)系及扇形的面積公式，由幾何概型求解即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，過作于點(diǎn)，如圖，則扇形的半徑,所以扇形的面積，圓的面積，由幾何概型可得：.故選：C15．石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對(duì)的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，，進(jìn)而求得梅花磚雕的側(cè)面積及扇環(huán)的面積可得該梅花磚雕的表面積.【詳解】延長與交于點(diǎn)．由，，得，．因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角為直角，所以，．所以該梅花磚雕的側(cè)面積，扇環(huán)的面積為，則該梅花磚雕的表面積．故選：C．16．下列說法正確的有（

）A．若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是B．若，則C．若，則D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是【答案】ABC【分析】由三角函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷B，根據(jù)“1”的代換和弦切互化求解判斷C，根據(jù)扇形弧長公式求解判斷D.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，為第一象限角，所以由三角函數(shù)的定義知，所以角的終邊與終邊相同，所以角的集合是，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以C選項(xiàng)正確；設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因?yàn)樯刃嗡鶎?duì)的弧長為，所以扇形周長為，故，所以D選項(xiàng)不正確．故選：ABC17．如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，．若，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，的面積為B．當(dāng)時(shí)，扇形的面積為C．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為D．四邊形面積的最大值為1【答案】AC【分析】根據(jù)三角形面積公式可判斷A；由扇形面積公式可判定B；，根據(jù)三角形面積公式即可判斷C；，借助三角函數(shù)恒等式化簡即可判斷D.【詳解】由題意，得圓的半徑，，，．對(duì)于A，由，，得，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，，由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，為，故D錯(cuò)誤．故選：AC18．已知正四面體的棱長為，以其中一個(gè)頂點(diǎn)為球心作半徑為3的球，則所得球面與該正四面體表面的交線長之和為．【答案】【分析】將球面與正四面體的四個(gè)面所得交線分成兩類，一類與側(cè)面的交線，一類與底面的交線，結(jié)合球的截面性質(zhì)能求出結(jié)果．【詳解】以點(diǎn)為球心的球，其球面與正四面體的四個(gè)面都相交，所得交線分成兩類：一類與三個(gè)側(cè)面，設(shè)與側(cè)面交線為，則在過球心的大圓上，且與交于中點(diǎn)，正四面體中每個(gè)面都是等邊三角形，且，，又，則，根據(jù)對(duì)稱性可知：與側(cè)面ABD，ACD的交線與相等，另一類交線是與底面BCD的交線，過A作AO⊥平面BCD，則，，，故與底面BCD剛好相交于底面BCD各邊中點(diǎn)處，形成的交線此時(shí)是底面BCD的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓半徑為，故弧長為，該球球面與正四面體ABCD的表面相交所得到的曲線長度之和為．故答案為：．19．下圖是第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)ABCD．已知，．且該扇環(huán)的面積為，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則該圓臺(tái)的體積為.【答案】【分析】設(shè)，，，由題意，，，可知圓臺(tái)上、下底面的半徑和高，利用圓臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，，，由題意可知，，解得，，則，將該扇面作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為1和2，所以其高為，故該圓臺(tái)的體積為.故答案為：.20．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓的直徑的長度為4，母線長為.(1)如圖1所示，若為圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積達(dá)到最大時(shí)，求二面角的大??；(2)如圖2所示，若，點(diǎn)在線段上，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，在圓錐的側(cè)面沿著最短路徑爬行一周到達(dá)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求線段的長度.（上坡表示距離頂點(diǎn)越來越近）【答案】(1)(2)【分析】（1）判斷為鈍角，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系求解.（2）將圓錐的側(cè)面展開成扇形，在中，過作的垂線，設(shè)垂足為由題意知，利用及向量運(yùn)算求得的長度.【詳解】（1）由，易得圓錐的高，所以，所以為鈍角，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，（滿足條件的點(diǎn)有兩種對(duì)稱位置，只研究其中的一種）此時(shí)易得，在直角三角形中，由勾股定理得，，從而為等邊三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，即令，得，所以，取平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，顯然為銳角，，所以二面角的大小為；（2）將圓錐的側(cè)面展開成扇形如圖，扇形的弧長為，扇形的半徑，則扇形的圓心角，在中，過作的垂線，設(shè)垂足為在段距離頂點(diǎn)越來越近為上坡，段為下坡，所以，設(shè)，易得，因?yàn)?，所以，即，得，解得，?考點(diǎn)03：同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡寫；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選?。侨呛瘮?shù)基本關(guān)系式的變形1、平方關(guān)系式的變形：，，2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（3）必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；（4）；．誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限”是指把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號(hào)看象限”同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)．可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時(shí)也直接化到銳角求值）．21．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為“齊次式”，代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.22．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除，得到.再利用兩角差的正切公式展開，將換成，化簡即可得到答案.【詳解】，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.23．若角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式求出，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式法求值.【詳解】由，得，即，則所以.故選：B24．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．7【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系，得到，從而求得，，，進(jìn)而求得，再利用正切的和角公式，即可求解.【詳解】因?yàn)棰伲?，得到，所以，又，②，?lián)立①②得到，，所以，得到，則，故選：B.25．已知，則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系與絕對(duì)值性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】，則，，故角所在的象限是第三象限.故選：C.26．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式計(jì)算出，在代入正切二倍角公式即可.【詳解】原方程可化為，故.故選：D27．已知，則．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得，將表達(dá)式利用平方和關(guān)系為1化簡可得結(jié)果.【詳解】由可得，即；所以將代入計(jì)算可得；即.故答案為：28．已知，則.【答案】【分析】利用三角恒等變形，即可求解出，再把弦化切，即可求出結(jié)果.【詳解】由可得：，化簡得：，因?yàn)?，所以，則，即，而，故答案為：.29．已知，且，則．【答案】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得的值．【詳解】，，則，故答案為：．30．已知，且．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解；（2）利用正弦的和角公式、正弦和余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】（1），，，.（2）.考點(diǎn)04：齊次式化簡求值①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式后再求值．31．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式及正余弦齊次式法求值即得.【詳解】由，得.故選：B32．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用誘導(dǎo)公式化簡，變形求得，再根據(jù)二倍角公式及齊次式化簡求解即可.【詳解】，所以，即，所以，所以.故選：D.33．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到，化簡得到，齊次化代入求值.【詳解】，即，所以，因?yàn)?，所以，所以故，解得或（舍去），故選：C34．若，則.【答案】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合余弦的二倍角公式進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以，即，整理得且，所以或（舍?故答案為：35．已知，則.【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系變形，再代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：36．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上．(1)求的值；(2)若，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角函數(shù)定義、二倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系構(gòu)造齊次式后弦化切計(jì)算即可得；（2）結(jié)合所給角度范圍，分別計(jì)算出、、后，結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）由題意可得，則；（2）由，則，又，即，則，由，則，，由，則，則，故，即.37．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)8(2)7【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的定義求出三角函數(shù)的值，由二倍角公式以及弦切互化即可求解（2）利用正切的和差角公式，即可代入求解．【詳解】（1）已知,,故所以，故（2）由得：．38．已知.求：(1)的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】（1）顯然，故則，解得.（2）39．已知，(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即可求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，代入計(jì)算可得；（2）首先求出，，的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，則.（2）當(dāng)時(shí)，所以，，因?yàn)椋?，解?40．已知，．(1)求和的值；(2)若向量，，證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以．所以．?）證明：因?yàn)?，所以，所以．考點(diǎn)05：和、差、倍角的化簡與求值兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；（3）公式使用時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡捷地處理問題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反．兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)（1）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對(duì)分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如當(dāng)或中有一個(gè)角是的整數(shù)倍時(shí)，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；（4）使用公式時(shí)，不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，如化簡時(shí)，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．（5）記憶時(shí)要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號(hào)右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反；兩角和與差的正弦公式的等號(hào)右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相同．兩角和與差的正切函數(shù)（1）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時(shí)要注意觀察式子的特點(diǎn)，巧妙運(yùn)用公式或其變形，使變換過程簡單明了．（4）公式對(duì)分配律不成立，即．二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：41．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合，利用兩角和正弦公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得，所以，?故選：B.42．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.43．已知，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把兩個(gè)方程移項(xiàng)平方以后再相加即可判斷AB，然后再根據(jù)三角函數(shù)值以及角的范圍計(jì)算出和即可判斷CD.【詳解】由得，兩邊平方得：，①由得，兩邊平方得：，②①+②得：，因?yàn)?，所以，由可得：，即，所以，又，所以，所以，故A錯(cuò)誤；由，兩邊平方得，③由得，兩邊平方得：，④

③+④得：，因?yàn)?，所以，故，由，，可得，故C正確，D錯(cuò)誤；綜上不是定值，故B錯(cuò)誤.

故選：C44．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)和角差角公式展開，得到，代入所求式子計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，所以，即，則．故選：A.45．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式將要求角用已知角表示即可求解.【詳解】由已知得因?yàn)?，根?jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得.故選：A.46．的值可能為（

）A． B． C．1 D．3【答案】BD【分析】根據(jù)角所在的象限分類討論即可.【詳解】因?yàn)?，所以且，若在第一象限，則，故原式，若在第二象限，則，原式，若在第三象限，則，原式，若在第四象限，則，原式故選：BD47．若，的化簡結(jié)果為.【答案】【分析】先對(duì)分式進(jìn)行變形構(gòu)造出平方，然后把原式轉(zhuǎn)化成絕對(duì)值形式，最后去絕對(duì)值計(jì)算即可.【詳解】由題意知,故,故答案為：.48．已知，則.【答案】【分析】利用兩角和的余弦公式化簡，再將含的三角函數(shù)弦化切，通過變形即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，得，所以，則.故答案為：.49．已知銳角滿足，則．【答案】2【分析】由方程求出，再由誘導(dǎo)公式化簡后代入即可得解.【詳解】由可得，且為銳角，解得或（舍去），所以，故答案為：250．設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且，若，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，得到，結(jié)合正切的倍角公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)且，可得，即，又因?yàn)?，則，可得，所以，所以．故答案為：.考點(diǎn)06：

輔助角公式的妙用形如：第一步：第二步：等號(hào)左側(cè)若是加號(hào)，則等號(hào)右側(cè)也為加號(hào)，等號(hào)左側(cè)若是減號(hào)，等號(hào)右側(cè)也為減號(hào).第三步：的求算，只需在第一象限標(biāo)明點(diǎn)尋找夾角即可達(dá)到秒殺的境界.注意：若果，則需提負(fù)號(hào)，繼續(xù)遵循以上步驟51．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．若是偶函數(shù)，則，D．在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【分析】A項(xiàng)，化簡函數(shù)求出，即可得出周期；B項(xiàng)，計(jì)算出函數(shù)為0時(shí)自變量的取值范圍，即可得出函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，利用偶函數(shù)即可求出的取值范圍；D項(xiàng)，計(jì)算出時(shí)的范圍，即可得出值域.【詳解】由題意，在中，，A項(xiàng)，，A正確；B項(xiàng)，令,得,當(dāng)時(shí),,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故B正確;C項(xiàng)，是偶函數(shù)，∴,，解得：,故C正確；D項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以,所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：D.52．已知函數(shù)，，若P，Q分別為函數(shù)和的圖象上的兩個(gè)最高點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式與輔助角公式可得，，進(jìn)而可得取最大值的的值，進(jìn)而可求的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，，可得的最小值為．故選：D．53．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡函數(shù)為，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求得或，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，可得在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則或，解得或，且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.54．已知函數(shù)，若且，則的最小值為（

）A．11 B．5 C．9 D．7【答案】D【分析】根據(jù)可知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，可得，求得，再根據(jù)正弦函數(shù)在處取得最小值，列出方程可求得結(jié)論.【詳解】由可知，在取得最小值，所以函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，又，因此，即；所以，又在取得最小值，可知，解得，又，所以時(shí)，取得最小值為7.故選：D55．函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故答案為：256．已知，，則的值域?yàn)?【答案】【分析】令，再結(jié)合平方關(guān)系將用表示，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，故，因?yàn)?，所以，所以，令，則在單調(diào)遞增，則當(dāng)，所以的值域?yàn)?故答案為：.57．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，則．【答案】【分析】把都化為形式，然后結(jié)合圖象平移變換知識(shí)得出的表示，再利用兩角和或差的余弦公式求解．【詳解】由已知，其中，為銳角，又，其中，，為銳角，都為銳角，且，因此，要把的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，則，，故答案為：．58.(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值，以及相應(yīng)的值.【答案】(1)(2)2，【分析】（1）利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期；（2）時(shí)，，整體法求出函數(shù)的最大值及相應(yīng)的的值.【詳解】（1），所以周期；（2）因?yàn)?，所以，則，的最大值為2，此時(shí)，即.59．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）代入求出值，再利用二倍角的余弦公式、輔助角公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)減區(qū)間.（2）利用函數(shù)零點(diǎn)的意義，結(jié)合和角的余弦公式求解即得.【詳解】（1）函數(shù)，由，得，而，則，，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知，，，所以.60．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對(duì)稱中心及不等式的解集；(2)已知，求的值.【答案】(1)對(duì)稱中心為；(2)【分析】（1）根據(jù)輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可；（2）由可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合求解即可.【詳解】（1）由得，故函數(shù)的對(duì)稱中心為；又由知，即，所以，即-故原不等式的解集為（2）由得，即.又即考點(diǎn)07：給值求值模型針對(duì)已知條件求值問題，則遵循以下步驟（萬能）第一步：將目標(biāo)角和已知角全拿出來第二步：通過加減乘消去或第三步：用已知角代替目標(biāo)角第四步：利用誘導(dǎo)公式或三角恒等變換處理61．已知，，且，，則（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)先求得對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則，故（）.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.62．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.【詳解】由得，即，所以，故選：D63．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知先利用和差角的正切公式進(jìn)行化簡可求，然后結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系對(duì)所求式子進(jìn)行化簡，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，解得或（舍，則.故選：A.64．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，再結(jié)合兩角差的正切公式分析分析求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可得，所以.故選：D.65．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法，令，，找到與的關(guān)系，然后利用誘導(dǎo)公式和倍角公式進(jìn)行求值即可.【詳解】令，，則，令，則所以故選：B.66．已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式化簡和同角三角函數(shù)關(guān)系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?/p>