2024-2025學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的計算 3.2.1 幾個常用函數(shù)的導數(shù)教案 文 新人教A版選修1-1

2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.2導數(shù)的計算3.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)教案文新人教A版選修1-1課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教材分析“2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.2導數(shù)的計算3.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)教案文新人教A版選修1-1”這一章節(jié)主要講述了幾個常用函數(shù)的導數(shù)，包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的導數(shù)。這些內(nèi)容是導數(shù)學習的基礎，對于學生掌握導數(shù)的計算方法和技巧具有重要意義。

本章內(nèi)容與學生的日常生活和后續(xù)學習密切相關，通過學習幾個常用函數(shù)的導數(shù)，學生可以更好地理解導數(shù)的概念，為后續(xù)學習函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題打下基礎。在教學過程中，應注重引導學生通過觀察、思考、實踐等方式掌握導數(shù)的計算方法，提高學生的數(shù)學思維能力和動手能力。同時，結合具體例題和練習題，讓學生在實際問題中運用所學知識，提高學生解決問題的能力。二、核心素養(yǎng)目標分析本章節(jié)的教學旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，包括邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等能力。通過學習幾個常用函數(shù)的導數(shù)，學生可以提升自己的數(shù)學邏輯推理能力，能夠運用導數(shù)的概念和計算方法解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的能力。同時，通過導數(shù)的計算練習，提高學生的數(shù)學運算能力，熟練掌握導數(shù)的計算技巧。此外，通過本章節(jié)的學習，學生可以提升自己的數(shù)學思維能力，能夠運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題，培養(yǎng)解決問題的能力?？傮w來說，本章節(jié)的教學目標是以導數(shù)的計算為基礎，全面提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。三、學情分析在進入本章節(jié)的學習之前，學生已經(jīng)掌握了函數(shù)的基本概念和相關性質(zhì)，對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等有一定的了解。在學習本章節(jié)之前，學生需要具備一定的邏輯推理能力、數(shù)學運算能力和數(shù)學思維能力。同時，學生需要具備良好的學習習慣和行為習慣，能夠積極參與課堂討論和練習，對課程學習有積極的影響。

然而，學生在學習本章節(jié)時可能會面臨一些挑戰(zhàn)。首先，導數(shù)的計算涉及到一些新的概念和計算方法，學生可能需要一定的時間去適應和理解。其次，導數(shù)的計算需要學生具備較高的數(shù)學思維能力和邏輯推理能力，對于一些學生來說可能存在一定的難度。此外，學生的學習習慣和行為習慣對于本章節(jié)的學習也有重要影響。如果學生能夠積極主動地參與課堂討論和練習，那么對于導數(shù)的計算和方法的掌握會更加順利。

針對學生的具體情況，教師需要采取相應的教學策略。首先，可以通過舉例和講解，幫助學生理解和掌握導數(shù)的計算方法。其次，可以通過設置一些實際問題，讓學生運用所學知識解決，提高學生的數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析能力。同時，教師需要關注學生的學習進度和理解情況，及時進行輔導和解答學生的疑問。此外，教師還可以鼓勵學生積極參與課堂討論，培養(yǎng)學生的團隊合作和溝通能力。四、教學方法與手段1.教學方法

（1）問題驅動法：教師通過提出問題，引導學生思考和探索，激發(fā)學生的學習興趣和主動性。例如，在講解冪函數(shù)的導數(shù)時，教師可以提問：“為什么冪函數(shù)的導數(shù)會隨著指數(shù)的不同而變化？”引導學生思考并探索答案。

（2）案例分析法：教師通過分析具體的案例，讓學生理解導數(shù)的應用和實際意義。例如，在講解導數(shù)在實際問題中的應用時，可以選取一些實際問題，如物體運動的瞬時速度和加速度，讓學生運用所學知識解決。

（3）小組合作法：教師將學生分成小組，讓學生在小組內(nèi)進行討論和合作，培養(yǎng)學生的團隊合作和溝通能力。例如，在講解指數(shù)函數(shù)的導數(shù)時，教師可以讓學生小組合作，探討指數(shù)函數(shù)導數(shù)的計算方法和規(guī)律。

2.教學手段

（1）多媒體教學：教師可以利用多媒體設備，如PPT、視頻等，進行直觀的教學展示，幫助學生更好地理解和記憶導數(shù)的計算方法和應用。例如，在講解導數(shù)的計算時，可以通過動畫演示導數(shù)的幾何意義，讓學生更直觀地理解導數(shù)的概念。

（2）在線教學平臺：教師可以利用在線教學平臺，進行資源共享、互動交流等，提高教學效果和效率。例如，在講解對數(shù)函數(shù)的導數(shù)時，可以通過在線平臺發(fā)布相關的練習題和學習資料，讓學生進行自主學習和鞏固。

（3）數(shù)學軟件輔助教學：教師可以利用數(shù)學軟件，如Matlab、Excel等，進行數(shù)值計算和繪圖，幫助學生更好地理解和應用導數(shù)。例如，在講解導數(shù)在實際問題中的應用時，可以通過數(shù)學軟件進行實例分析和模擬，讓學生更直觀地了解導數(shù)的應用價值。五、教學流程（一）課前準備（預計用時：5分鐘）

學生預習：

發(fā)放預習材料，引導學生提前了解幾個常用函數(shù)的導數(shù)的學習內(nèi)容，標記出有疑問或不懂的地方。

設計預習問題，激發(fā)學生思考，為課堂學習幾個常用函數(shù)的導數(shù)內(nèi)容做好準備。

教師備課：

深入研究教材，明確幾個常用函數(shù)的導數(shù)教學目標和幾個常用函數(shù)的導數(shù)重難點。

準備教學用具和多媒體資源，確保幾個常用函數(shù)的導數(shù)教學過程的順利進行。

設計課堂互動環(huán)節(jié)，提高學生學習幾個常用函數(shù)的導數(shù)的積極性。

（二）課堂導入（預計用時：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問題或設置懸念，引發(fā)學生的好奇心和求知欲，引導學生進入幾個常用函數(shù)的導數(shù)學習狀態(tài)。

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學習的導數(shù)的基本概念和相關性質(zhì)，幫助學生建立知識之間的聯(lián)系。

提出問題，檢查學生對導數(shù)的基本概念和相關性質(zhì)的掌握情況，為幾個常用函數(shù)的導數(shù)新課學習打下基礎。

（三）新課呈現(xiàn)（預計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準確地講解幾個常用函數(shù)的導數(shù)知識點，結合實例幫助學生理解。

突出幾個常用函數(shù)的導數(shù)重點，強調(diào)幾個常用函數(shù)的導數(shù)難點，通過對比、歸納等方法幫助學生加深記憶。

互動探究：

設計小組討論環(huán)節(jié)，讓學生圍繞幾個常用函數(shù)的導數(shù)問題展開討論，培養(yǎng)學生的合作精神和溝通能力。

鼓勵學生提出自己的觀點和疑問，引導學生深入思考，拓展思維。

技能訓練：

設計實踐活動或實驗，讓學生在實踐中體驗幾個常用函數(shù)的導數(shù)知識的應用，提高實踐能力。

在幾個常用函數(shù)的導數(shù)新課呈現(xiàn)結束后，對幾個常用函數(shù)的導數(shù)知識點進行梳理和總結。

強調(diào)幾個常用函數(shù)的導數(shù)重點和難點，幫助學生形成完整的知識體系。

（四）鞏固練習（預計用時：5分鐘）

隨堂練習：

隨堂練習題，讓學生在課堂上完成，檢查學生對幾個常用函數(shù)的導數(shù)的掌握情況。

鼓勵學生相互討論、互相幫助，共同解決幾個常用函數(shù)的導數(shù)問題。

錯題訂正：

針對學生在隨堂練習中出現(xiàn)的幾個常用函數(shù)的導數(shù)錯誤，進行及時訂正和講解。

引導學生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹與幾個常用函數(shù)的導數(shù)內(nèi)容相關的拓展知識，拓寬學生的知識視野。

引導學生關注學科前沿動態(tài)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探索精神。

情感升華：

結合幾個常用函數(shù)的導數(shù)內(nèi)容，引導學生思考學科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的社會責任感。

鼓勵學生分享學習幾個常用函數(shù)的導數(shù)的心得和體會，增進師生之間的情感交流。

（六）課堂小結（預計用時：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學習的幾個常用函數(shù)的導數(shù)內(nèi)容，強調(diào)幾個常用函數(shù)的導數(shù)重點和難點。

肯定學生的表現(xiàn)，鼓勵他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學習的幾個常用函數(shù)的導數(shù)內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

提醒學生注意作業(yè)要求和時間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。六、教學資源拓展1.拓展資源：

（1）導數(shù)計算軟件：介紹一些可以進行導數(shù)計算的軟件，如Mathematica、MATLAB等，這些軟件可以幫助學生更好地理解導數(shù)的計算過程。

（2）在線導數(shù)計算器：介紹一些在線導數(shù)計算器，如WolframAlpha、Desmos等，這些計算器可以幫助學生快速計算函數(shù)的導數(shù)。

（3）數(shù)學論壇和學術網(wǎng)站：推薦一些數(shù)學論壇和學術網(wǎng)站，如StackExchange、MathOverflow等，學生可以在這些網(wǎng)站上提問、解答問題，與其他數(shù)學愛好者交流。

（4）數(shù)學教學視頻：推薦一些數(shù)學教學視頻，如KhanAcademy、Coursera等，這些視頻涵蓋了從基礎到高級的數(shù)學知識，可以幫助學生鞏固學習內(nèi)容。

2.拓展建議：

（1）讓學生利用導數(shù)計算軟件或在線導數(shù)計算器，自己探索一些其他函數(shù)的導數(shù)，加深對導數(shù)計算的理解。

（2）鼓勵學生參加數(shù)學競賽或挑戰(zhàn)，如美國數(shù)學競賽（AMC）、國際數(shù)學奧林匹克（IMO）等，提高自己的數(shù)學水平。

（3）引導學生閱讀一些數(shù)學書籍或論文，了解導數(shù)在實際應用中的作用，如物理學、經(jīng)濟學等領域。

（4）鼓勵學生嘗試自己編寫一些關于導數(shù)的編程項目，如開發(fā)一個簡單的圖形界面，展示函數(shù)的導數(shù)圖像。

（5）建議學生加入數(shù)學社團或小組，與其他同學一起討論和學習導數(shù)相關的問題，共同進步。

（6）鼓勵學生積極參與數(shù)學研究，如參加學?；蛏鐓^(qū)的研究項目，或與老師合作開展課題研究。七、反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.引入更多的實際案例：在教學過程中，加入更多的實際案例，讓學生通過解決實際問題，更好地理解和掌握導數(shù)的計算方法和應用。

2.增加互動環(huán)節(jié)：增加課堂上的互動環(huán)節(jié)，鼓勵學生提問和發(fā)表自己的觀點，激發(fā)學生的思考和參與度。

3.利用多媒體資源：充分利用多媒體資源，如視頻、動畫等，幫助學生更直觀地理解導數(shù)的幾何意義和應用。

（二）存在主要問題

1.學生理解程度不一：由于學生的數(shù)學基礎和理解能力不同，有些學生可能對導數(shù)的計算和方法掌握得不夠熟練。

2.教學方法單一：在教學過程中，可能會過于依賴講授法，缺乏其他教學方法的應用，如討論法、實驗法等。

3.課堂氛圍不夠活躍：有時候課堂氛圍不夠活躍，學生的參與度和積極性不高，影響了教學效果。

（三）改進措施

1.實施分層教學：針對學生理解程度不一的問題，實施分層教學，對不同層次的學生進行有針對性的指導，幫助他們掌握導數(shù)的計算方法和應用。

2.豐富教學方法：在教學過程中，引入更多的教學方法，如討論法、實驗法等，激發(fā)學生的學習興趣和主動性，提高教學效果。

3.營造活躍的課堂氛圍：通過設計有趣的互動環(huán)節(jié)、鼓勵學生提問等方式，營造活躍的課堂氛圍，提高學生的參與度和積極性。八、重點題型整理（一）題型1：求函數(shù)的導數(shù)

例題1：求函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的導數(shù)。

解答：首先，對每一項分別求導。對于x^3，導數(shù)是3x^2；對于-3x，導數(shù)是-3；對于常數(shù)項1，導數(shù)是0。所以，f(x)的導數(shù)是f'(x)=3x^2-3。

（二）題型2：求復合函數(shù)的導數(shù)

例題2：求函數(shù)f(x)=(x^2-1)^2的導數(shù)。

解答：首先，利用鏈式法則，將函數(shù)分解為內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)。內(nèi)函數(shù)是u(x)=x^2-1，外函數(shù)是g(u)=u^2。然后分別求u(x)和g(u)的導數(shù)。u(x)的導數(shù)是2x，g(u)的導數(shù)是2u。根據(jù)鏈式法則，f(x)的導數(shù)是f'(x)=2(x^2-1)(2x)。

（三）題型3：求隱函數(shù)的導數(shù)

例題3：求函數(shù)y=x^3-3x+1的導數(shù)。

解答：首先，將y看作是x的函數(shù)，即y=f(x)。然后，對y求導。導數(shù)是dy/dx=3x^2-3。

（四）題型4：求參數(shù)方程的導數(shù)

例題4：求參數(shù)方程x=t^3,y=t^2的導數(shù)。

解答：首先，將參數(shù)方程轉換為普通方程。得到x=t^3,y=t^2。然后，對x和y分別求導，得到dx/dt=3t^2,dy/dt=2t。

（五）題型5：求高階導數(shù)

例題5：求函數(shù)f(x)=x^4-2x^3+x^2的導數(shù)。

解答：首先，對每一項分別求導。對于x^4，導數(shù)是4x^3；對于-2x^3，導數(shù)是-6x^2；對于x^2，導數(shù)是2x。所以，f(x)的一階導數(shù)是f'(x)=4x^3-6x^2+2x。然后，對f'(x)再求導，得到二階導數(shù)f''(x)=12x^2-12x+2。

（六）題型6：求隱函數(shù)組導數(shù)

例題6：求隱函數(shù)組{x=t^3,y=t^2}的導數(shù)。

解答：首先，將隱函數(shù)組轉換為參數(shù)方程組。得到x=t^3,y=t^2。然后，對x和y分別求導，得到dx/dt=3t^2,dy/dt=2t。

（七）題型7：求函數(shù)的導數(shù)的幾何意義

例題7：求函數(shù)f(x)=x^3的導數(shù)的幾何意義。

解答：首先，求出f(x)的導數(shù)f'(x)=3x^2。然后，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，f'(x)表示函數(shù)f(x)在點(x,f(x))處的切線的斜率。

（八）題型8：求函數(shù)的導數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值

例題8：求函數(shù)f(x)=x^4-2x^3+x^2在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

解答：首先，求出f(x)的導數(shù)f'(x)=12x^2-6x+2。然后，找到導數(shù)的零點，即解方程12x^2-6x+2=0。得到x=-1/6,x=2。然后，計算f(x)在x=-1/6,x=-2,x=2時的值。得到f(-2)=16,f(-1/6)=0,f(2)=8。所以，f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值是16，最小值是0。

（九）題型9：求函數(shù)的導數(shù)在某點處的極值

例題9：求函數(shù)f(x)=x^4-2x^3+x^2在x=1處的極值。

解答：首先，求出f(x)的導數(shù)f'(x)=12x^2-6x+2。然后，找到導數(shù)的零點，即解方程12x^2-6x+2=0。得到x=-1/6,x=2。因為x=1不在導數(shù)的零點中，所以x=1是導數(shù)的駐點。然后，計算f(x)在x=1時的值。得到f(1)=-1。所以，f(x)在x=1處的極值是-1。

（十）題型10：求函數(shù)的導數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性

例題10：求函數(shù)f(x)=x^4-2x^3+x^2在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性。

解答：首先，求出f(x)的導數(shù)f'(x)=12x^2-6x+2。然后，找到導數(shù)的零點，即解方程12x^2-6x+2=0。得到x=-1/6,x=2。因為導數(shù)的零點是-1/6和2，所以導數(shù)在區(qū)間[-2,-1/6)上是負的，在區(qū)間(-1/6,2)上是正的。所以，f(x)在區(qū)間[-2,2]上是先減后增的。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.求函數(shù)的導數(shù)：請學生求出以下函數(shù)的導數(shù)：f(x)=x^3-3x+1,g(x)=(x^2-1)^2,h(x)=x^4-2x^3+x^2。

2.求復合函數(shù)的導數(shù)：請學生求出以下復合函數(shù)的導數(shù)：F(x)=(x^2-1)^3,G(x)=x^2*arctan(x)。

3.求隱函數(shù)的導數(shù)：請學生求出以下隱函數(shù)的導數(shù)：y=x^3-3x+1,z=x^2*arcsin(x)。

4.求參數(shù)方程的導數(shù)：請學生求出以下參數(shù)方程的導數(shù)：x=t^3,y=t^2,z=t^4。

5.求高階導數(shù)：請學生求出以下函數(shù)的高階導數(shù)：f(x)=x^4-2x^3+x^2,g(x)=x^6-3x^5+2x^4。

作業(yè)反饋：

1.針對求函數(shù)的導數(shù)，檢查學生是否能夠正確應用導數(shù)的定義和法則求出函數(shù)的導數(shù)，給出改進建議。

2.針對求復合函數(shù)的導數(shù)，檢查學生是否能夠正確運用鏈式法則求出復合函數(shù)的導數(shù)，給出改進建議。

3.針對求隱函數(shù)的導數(shù)，檢查學生是否能夠正確將隱函數(shù)轉換為顯函數(shù)，并求出其導數(shù)，給出改進建議。

4.針對求參數(shù)方程的導數(shù)，檢查學生是否能夠正確應用參數(shù)方程的導數(shù)公式求出參數(shù)方程的導數(shù)，給出改進建議。

5.針對求高階導數(shù)，檢查學生是否能夠正確應用高階導數(shù)的定義和法則求出函數(shù)的高階導數(shù)，給出改進建議。板書設計1.求函數(shù)的導數(shù)

-明確目的：掌握求函數(shù)導數(shù)的基本方法。

-緊扣內(nèi)容：

-導數(shù)的定義

-導數(shù)的四則運算法則

-求導公式（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）

-結構清晰，條理分明：

-導數(shù)的定義

-導數(shù)的計算方法

-求導公式

-簡潔明了，突出重點：

-導數(shù)的定義：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h

-導數(shù)的計算方法：導數(shù)的四則運算法則、求導公式

-準確精煉，概括性強：

-導數(shù)的定義和計算方法

-求導公式

-藝術性和趣味性：使用圖表、圖解等直觀方式展示導數(shù)的定義和計算方法，增加學生的興趣和參與度。

2.求復合函數(shù)的導數(shù)

-明確目