2025版高考數學一輪復習核心素養(yǎng)測評五十九10.9.2圓錐曲線中的探究性問題文含解析北師大版_第1頁
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PAGE1-核心素養(yǎng)測評五十九圓錐曲線中的探究性問題1.(2024·德州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2,離心率為12,P是橢圓C上的一個動點,且(1)求橢圓C的方程.(2)設直線PF2斜率為k(k≠0),且PF2與橢圓C的另一個交點為Q,是否存在點T(0,t),使得|TP|=|TQ|.若存在,求t的取值范圍;若不存在,請說明理由.【解析】(1)當P為C的短軸頂點時,△PF1F2的面積有最大值3所以ca=12a2故橢圓C的方程為:x24+(2)設直線PQ的方程為y=k(x-1),將y=k(x-1)代入x24+得3+4k2x2-8k2x+4k設Px1,y1,Qx2,yx0=x1+x22==kx0-1即N4k因為|TP=TQ|,所以直線TN為線段PQ的垂直平分線,所以TN⊥PQ,則kTN·kPQ=-1,即-3k4k2+3-t當k>0時,因為4k+3k≥43(當且僅當k=32時取等號),所以t∈0,312,當k<0時,因為4k+3k≤-43(當且僅當k=-32時取等號),所以t∈-312,0.綜上,存在點T,2.已知離心率為12的橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點與拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點F重合(1)求橢圓C的方程.(2)若直線l與C交于M,N兩點,與E交于A,B兩點,且OA·OB=-4(O為坐標原點),求△MNF面積的最大值.【解析】(1)因為點F到E的準線的距離為2,所以p=2,F(1,0),由c=1,c所以橢圓C的方程為x24+(2)由(1)知拋物線E的方程為y2=4x.要使直線l與拋物線E交于兩點,則直線l的斜率不為0,可設l的方程為x=my+n,由x=my+n,y所以Δ=(-4m)2+16n>0,得m2+n>0.設Ax1,y1,Bx所以x1x2=y124·y224=因為OA·OB=-4,所以x1x2+y1y2=-4,所以n2-4n=-4,所以n=2,所以直線l的方程為x=my+2,所以直線l過橢圓C的右頂點(2,0),不妨設M(2,0),N(x3,y3),-3≤y3≤3,且y3≠

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