新高考一輪復習導學案第41講 等差數(shù)列（解析版）

第41講等差數(shù)列1、數(shù)列的通項公式一般地，如果數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式．注：并不是每一個數(shù)列都有通項公式，有通項公式的數(shù)列，其通項公式也不一定唯一．2、數(shù)列的表示方法數(shù)列可以用通項公式來描述，也可以通過圖像或列表來表示．3、等差數(shù)列的有關概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項．4、等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)?當d≠0時，an是關于n的一次函數(shù)．(2)前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(→,\s\up7(an＝a1＋n－1d))Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當d≠0時，Sn是關于n的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項．1、（2023?甲卷（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．25 B．22 C．20 D．15【答案】SKIPIF1<0【解析】等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．2、（2022?乙卷（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0．【答案】2．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：2．3、（2022?上海）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差不為零，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中不同的數(shù)值有個．【答案】98．【解析】SKIPIF1<0等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差不為零，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其余各項均不相等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中不同的數(shù)值有：SKIPIF1<0．故答案為：98．4、（2023?新高考Ⅰ）設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的特點，可設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；或設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0無解，SKIPIF1<0綜合可得SKIPIF1<0．5、（2021?新高考Ⅱ）記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；（Ⅱ）求使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值．【解析】（Ⅰ）數(shù)列SKIPIF1<0是公差SKIPIF1<0不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0不合題意），故SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，由于SKIPIF1<0為正整數(shù)，故SKIPIF1<0的最小正值為7．6、（2021?甲卷（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；②數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；③SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【解析】選擇①③為條件，②結論．證明過程如下：由題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列的前SKIPIF1<0項和：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，據(jù)此可得數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．選擇①②為條件，③結論：設數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．選擇③②為條件，①結論：由題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，通項公式為：SKIPIF1<0，據(jù)此可得，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時上式也成立，故數(shù)列的通項公式為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．7、（2023?乙卷（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【解析】（1）在等差數(shù)列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．1、在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于()A．－2B．0C．3D．6【答案】：A【解析】：a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2，故選A.2、記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a6＝16，S5＝35，則{an}的公差為()A．3B．2C．－2D．－3【答案】：A【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知，S5＝eq\f(a1＋a5,2)×5＝5a3＝35，解得a3＝7，故d＝eq\f(a6－a3,6－3)＝3.故選A.3、SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該數(shù)列前10項和SKIPIF1<0等于（）A．64 B．100 C．110 D．120【答案】：B【解析】：設等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：SKIPIF1<0解方程組可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B4、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┮阎椀炔顢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項，則SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】：設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0且正項等差數(shù)列SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.考向一等差數(shù)列中基本量的運算例1、（2022·福建省詔安縣高三模擬試卷）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A.SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B.SKIPIF1<0C.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D.當SKIPIF1<0或4時，SKIPIF1<0取得最大值【答案】CD【解析】【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，故A錯誤；SKIPIF1<0，故B錯誤；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故C正確；因為SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，開口向下，而SKIPIF1<0是正整數(shù)，且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0距離對稱軸一樣遠，所以當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，故D正確.故選：CD.變式1、（2022年福建省永泰縣高三模擬試卷）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列命題中正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.數(shù)列SKIPIF1<0中最大項為SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正確；又SKIPIF1<0，故B正確；SKIPIF1<0，故C正確；由SKIPIF1<0可得{Sn}中最大項為S6，故D錯誤．故選：ABC.變式2、(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20＝________；【答案】1【解析】兩式相減，可得3d＝－6，則d＝－2.由已知可得3a3＝105，則a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1.(2)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝aeq\o\al(2,2)－4，則an＝________；【答案】2n－1【解析】設等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1＋2d＝(a1＋d)2－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝±2.))因為等差數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(3)已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.①求數(shù)列{an}的通項公式；②若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值．【解析】①設等差數(shù)列{an}的公差為d.由a1＝1，a3＝－3，得1＋2d＝－3，解得d＝－2，故an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.②由①知an＝3－2n，所以Sn＝eq\f(n[1＋(3－2n)],2)＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.變式3、（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，最小值為－15【解析】（1）設SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0；（2）由等差數(shù)列求和公式得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故當n＝3時，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0方法總結：(1)a1，d是等差數(shù)列的基本量，把所給的條件代入等差數(shù)列的通項公式，可列出方程組，如果能把a1－1作為一個整體處理，則能簡化運算．一般地，給出含有a1，d的兩個獨立條件，即可求出該等差數(shù)列的通項公式，進而求出其前n項和．(2)第(2)小問，充分利用等差數(shù)列的第二通項公式a5＝a2＋3d，a3＝a2＋d，則簡化了運算．考向二等差數(shù)列的性質(zhì)例2、（2020屆北京市昌平區(qū)新學道臨川學校上學期期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項之和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則它的前SKIPIF1<0項的和為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】由于等差數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0也成等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，故選C.變式1、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】由已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故選：C.變式2、(1)若等差數(shù)列{an}的前17項和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13＝________；【答案】3【解析】因為S17＝eq\f(a1＋a17,2)×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.(2)在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則前9項和S9＝________；【答案】99【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9，所以S9＝eq\f(9(a1＋a9),2)＝eq\f(9(a4＋a6),2)＝99.(3)已知等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(a7,b7)等于()A.eq\f(37,27)B.eq\f(19,14)C.eq\f(39,29)D.eq\f(4,3)【答案】A【解析】eq\f(a7,b7)＝eq\f(2a7,2b7)＝eq\f(a1＋a13,b1＋b13)＝eq\f(\f(a1＋a13,2)×13,\f(b1＋b13,2)×13)＝eq\f(S13,T13)＝eq\f(3×13－2,2×13＋1)＝eq\f(37,27).變式3、(1)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意正整數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－1,3n－2)，則eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)的值為________．【答案】eq\f(29,43)【解析】eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)＝eq\f(a11＋a5,2b8)＝eq\f(2a8,2b8)＝eq\f(a8,b8)，∴eq\f(a8,b8)＝eq\f(S2×8－1,T2×8－1)＝eq\f(S15,T15)＝eq\f(2×15－1,3×15－2)＝eq\f(29,43).(2)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(an,bn)＝________；【答案】eq\f(6n－5,4n－1)【解析】eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(6n－5,4n－1).方法總結：如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關的條件；若求am項，可由am＝eq\f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am－n＋an＋m的值．考向三等差數(shù)列的判定及證明例3、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)令SKIPIF1<0，證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【解析】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0為以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0變式1、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝eq\f(1,2)，an＝－2SnSn－1(n≥2).(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列；(2)求Sn和an.【解析】(1)因為當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①所以Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.由上式可知，若Sn－1≠0，則Sn≠0.因為S1＝a1≠0，由遞推關系知Sn≠0(n∈N*)，由①式，得eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2(n≥2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列，其中首項為eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2，公差為2.(2)由(1)，得eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋2(n－1)＝eq\f(1,a1)＋2(n－1)＝2n，所以Sn＝eq\f(1,2n).當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－eq\f(1,2n(n－1))；當n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,2)不適合上式，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,－\f(1,2n(n－1))，n≥2.))變式2、已知在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．【解析】(1)因為an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2－\f(1,an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝1.又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2)，所以數(shù)列{bn}是以－eq\f(5,2)為首項，1為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知bn＝n－eq\f(7,2)，則an＝1＋eq\f(1,bn)＝1＋eq\f(2,2n－7).設f(x)＝1＋eq\f(2,2x－7)，則f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))上為減函數(shù)．當1≤n≤3時，數(shù)列{an}遞減且an<1；當n≥4時，數(shù)列{an}遞減且an>1.故當n＝3時，an取得最小值－1，當n＝4時，an取得最大值3.等差數(shù)列的判定方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)；(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q；(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn．在解答題中常應用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．1、（2022年廣州番禺高三模擬試卷）我國古代的天文學和數(shù)學著作《周碑算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣唇（guǐ）長損益相同（暑是按照日影測定時刻的儀器，暑長即為所測量影子的長度），夏至?小暑?大暑?立秋?處暑?白露?秋分?寒露?霜降?立冬?小雪?大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄測算，夏至?處暑?霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為（）尺.A.1 B.1.25 C.1.5 D.2【答案】C【解析】【詳解】由題意知：十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以夏至的日影子長為SKIPIF1<0尺，故選：C2、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【詳解】設等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：B3、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項為正數(shù)，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0是等差數(shù)列 B．SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0是等差數(shù)列 D．SKIPIF1<0是等比數(shù)列【答案】C【詳解】因為數(shù)列SKIPIF1<0各項為正數(shù)，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0的每一項都是正數(shù)，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由等差中項法可知，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，故選：C.3、（多選）（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校?？既＃┮阎炔顢?shù)列S