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PAGE定積分的應(yīng)用§7.1微元分析法一、引問題:(1)什么問題可用定積分來解決?(2)如何解決?實(shí)例:曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題,定積分所解決的問題是求與上有關(guān)的量A,解決問題的步驟是:分割——近似代替——求和——取極限.分析:這里的整體量對(duì)于具有可加性,即若把分成若干個(gè)小區(qū)間,就有,其中是對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的局部量;可以近似地求出,即(),這里是已知函數(shù),(),并且滿足:是比更高階的無窮小量(當(dāng)時(shí)),可以表示為定積分二、總結(jié):可以用定積分來解決的確實(shí)際問題中的所求量應(yīng)符合下列條件:(1)是與一個(gè)變量的變化區(qū)間有關(guān)的量;(2)對(duì)于區(qū)間具有可加性;(3)局部量的近似值可表示為這里是實(shí)際問題選擇的函數(shù).解決步驟:第一步分割區(qū)間,寫出微元.分割區(qū)間,取具有代表性的任意一個(gè)小區(qū)間(不必寫出下標(biāo)號(hào)),記作,設(shè)相應(yīng)的局部量為,分析局部量,選擇函數(shù),寫出近似等式:第二步求定積分得整體量.令對(duì)這些微元求和取極限,得到的定積分就是所要求的整體量:.此方法稱為微元分析法.§7.2平面圖形的面積一、直角坐標(biāo)情況1.由曲線直線及所圍成的曲邊梯形的面積.2.所以在區(qū)間上的連續(xù)曲線(有的部分為正,有的部分為負(fù))、軸及二直線與所圍成的平面圖形的面積.例1求由,軸及二直線與所圍成的平面圖形的面積解已知在上,,在上,o圖7.2-1o圖7.2-1.3.如果平面區(qū)域是由區(qū)間上的兩條連續(xù)曲線與及二直線與圍成(如圖7.2-2),則它的面積.圖7.2-3圖7.2-2圖7.2-3圖7.2-2例2求由曲線所圍成圖形的面積.o解先求出兩條曲線的交點(diǎn).為此解方程組EMBEDEquation.3o1,得到交點(diǎn)為(0,0)和(1,1)1從而知道圖形在直線及之間.(如圖7.2-4)圖7.2-4故所求面積為.圖7.2-4例3求拋物線和直線所圍成的圖形的面積.(如圖7.2-5)解先求拋物線和直線的交點(diǎn),解方程組:2-4交點(diǎn)和2-4圖7.2-51)選為積分變量,變化區(qū)間為[0,8],面積為圖7.2-5.2)選作積分變量,則的變化區(qū)間為[-4,2],所求的面積為.計(jì)算時(shí)要適當(dāng)選擇積分變量,應(yīng)綜合考察下列因素:(1)被積函數(shù)的原函數(shù)易求;(2)較少的分割區(qū)域;(3)積分上、下限比較簡(jiǎn)單.4.參數(shù)方程所確定的確函數(shù)的積分,實(shí)質(zhì)——做了一次變量代換。例4求橢圓所圍成的面積.解此橢圓關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱(如圖7.2-6),故只需求在第一象限內(nèi)的面積,則橢圓的面積為橢圓的參數(shù)方程圖7.2-6,,圖7.2-6.當(dāng)時(shí),就得到圓的面積公式.有時(shí)為了求積分的方便,也將函數(shù)寫成參數(shù)方程形式。二、極坐標(biāo)情況1.問題:設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程確定圖7.2-8求,和所圍曲邊扇形的面積圖7.2-82.解,相應(yīng)于任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積為,于是得到極坐標(biāo)曲邊扇形面積公式:.3.例1求雙紐線圍成的區(qū)域的面積(如圖7.2-9).解雙紐線關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱,雙紐線圍成的區(qū)域的面積是第一象限那部分區(qū)域面積的4倍.在第一象限中,的變化范圍是于是,雙紐線圍成區(qū)域的面積為.圖7.2-9圖7.2-10圖7.2-9圖7.2-10例2計(jì)算心形線所圍成的圖形的面積.解圖形對(duì)稱于極軸,因此所求面積是極軸以上部分面積的兩倍..§7.3體積一、平行截面面積為已知函數(shù)的立體體積1.平行截面:用(垂直于軸的)平面截立體所baO.得到的截面——一系列平行平面baO.圖7.3-12.問題:已知截面面積,為,,求立體體積圖7.3-13.解在區(qū)間上任取一點(diǎn),,積分,得.4.注可推廣到垂直于y軸的平行截面,結(jié)果類似。設(shè)底面半徑為的圓柱,被通過其底面直徑且與底面交角為的平面所截,求截體的體積.解設(shè)底面圓方程為用過點(diǎn)且垂直于軸的平面截立體所得的截面是直角三角形(如圖7.3-2),面積是,所以z.z-R-ROORR圖7.3-3圖7.3-2圖7.3-3圖7.3-2例2兩個(gè)底半徑為的圓柱體垂直相交,求它們公共部分的體積.解如圖7.3-3,公共部分的體積為第一卦限體積的八倍,現(xiàn)考慮公共部分位于第一卦限的部分,任一垂直于軸的截面為正方形,因此截面面積為:.所以.二、旋轉(zhuǎn)體的體積——上一問題的特例1.旋轉(zhuǎn)體:由連續(xù)曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn),所得的立體叫做旋轉(zhuǎn)體(如圖7.3-4).圖7.3-42,體積:顯然過點(diǎn)且垂直于圖7.3-4軸的截面是以為半徑的圓,其面積是,于是得旋轉(zhuǎn)體的體積.3.推廣:由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積為.例3求橢圓分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解1)繞軸旋轉(zhuǎn)由半個(gè)橢圓及軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,所以.2)繞軸旋轉(zhuǎn).當(dāng)時(shí),得半徑為的球體體積:.例4求圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積解圓的方程改寫為如圖7.3-5,右半圓的方程是.,.左半圓的方程是,所求的旋轉(zhuǎn)體(環(huán)體)的體積是分圖7.3-5別以兩個(gè)半圓為曲邊的曲邊梯形繞軸圖7.3-5旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積的差,即.§7.4平面曲線的弧長(zhǎng)一、直角坐標(biāo)情形1.問題:設(shè)曲線弧由方程給出,其中在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),下面來計(jì)算這曲線?。▓D7.4-1)的長(zhǎng)度.2.解:取橫坐標(biāo)為積分變量,它的變化區(qū)間是,曲線相應(yīng)于微分區(qū)圖7.4-1間[]上的弧長(zhǎng)可以用曲線在點(diǎn)圖7.4-1處的切線相應(yīng)于微分區(qū)間[]的長(zhǎng)度來近似代替,而切線相應(yīng)于微分區(qū)間[]上的長(zhǎng)度為,從而得到弧長(zhǎng)微元,所求弧長(zhǎng)為.例1求曲線在部分的弧長(zhǎng).解因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱,所以所求弧長(zhǎng)是曲線在部分的弧長(zhǎng)的兩倍(如圖7.4-2).圖7.4-2由于,所以圖7.4-2.例2求懸鏈線介于和之間的一段弧長(zhǎng).解因?yàn)?,所?由弧長(zhǎng)公式得.二、參數(shù)方程情形若曲線弧由參數(shù)方程給出,其中在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),由于,,因此有,于是所求弧長(zhǎng)為.例3求星形線(圖7.4-3)的全長(zhǎng).解因?yàn)樾切尉€關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱所以曲線的全長(zhǎng)為第一象限部分的長(zhǎng)的4倍由于,圖7.4-3,圖7.4-3得星形線的全長(zhǎng)為.三、極坐標(biāo)情形若曲線弧由極坐標(biāo)方程給出,其中在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),由于極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為,故得曲線弧的參數(shù)方程為(為參數(shù)),又,,,于是有.求心形線的全長(zhǎng)(圖7.4-4).解,根據(jù)對(duì)稱性,有圖7.4-4圖7.4-4=.§7.5經(jīng)濟(jì)應(yīng)用一、變化率1.已知某產(chǎn)品在時(shí)刻的總產(chǎn)量的變化率為,則從時(shí)刻到時(shí)刻的總產(chǎn)量為.2.已知邊際成本是產(chǎn)品的產(chǎn)量的函數(shù),則生產(chǎn)第個(gè)單位產(chǎn)品到第個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為.注意:積分下限是而不是,例如生產(chǎn)第1個(gè)單位產(chǎn)品到第5個(gè)單位產(chǎn)品,則可變成本.也就是說,應(yīng)該從生產(chǎn)第1個(gè)產(chǎn)品時(shí)算起.3.已知總費(fèi)用變化率,其中是變量,則總費(fèi)用.4.已知某種新產(chǎn)品投入市場(chǎng)的銷售速度為時(shí)間的函數(shù),那么,在個(gè)單位時(shí)間內(nèi),該產(chǎn)品的總銷售量.5.已知某產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)的邊際收益為,總收益為,銷售量為的平均收益為,則,.例1設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)刻總產(chǎn)量的變化率為,求從到的總產(chǎn)量.解總產(chǎn)量.例2已知某商品每周生產(chǎn)單位時(shí),總費(fèi)用的變化率是(元/單位),求總費(fèi)用;如果這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)是20元,求總利潤(rùn),并問每周生產(chǎn)多少單位時(shí)才能獲得最大利潤(rùn)?解總費(fèi)用,銷售單位商品得到的總收入為,又利潤(rùn),所以.令,即,得,因此最大利潤(rùn)為:(元).例3已知某產(chǎn)品的邊際成本為(元/單位)求:(1)生產(chǎn)前6個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本;(2)若固定成本元,求前6個(gè)產(chǎn)品的平均成本;(3)求生產(chǎn)第10個(gè)到第15個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的平均成本解(1)生產(chǎn)前6個(gè)單位產(chǎn)品,即從生產(chǎn)第1個(gè)到第6個(gè)單位的可變成本為;(2),(元/單位);(3)(元).例4設(shè)某產(chǎn)品的平均邊際成本為:(元/個(gè)),已知生產(chǎn)10個(gè)產(chǎn)品時(shí),其平均成本為,求總成本和固定成本.解因?yàn)槠骄呺H成本為,所以平均成本為,由已知,即有,得,故平均成本.因此,總成本(元),固定成本(元).例5設(shè)某產(chǎn)品每天生產(chǎn)單位時(shí),邊際成本為(元/單位),其固定成本為10元,總收入的變化率也是產(chǎn)量的函數(shù):求每天生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí),總利潤(rùn)最大?解可變成本就是邊際成本
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