人教高中數(shù)學A版必修一 第二章　一元二次函數(shù)、方程和不等式講解及總結 練習題

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質與不等式性質第2課時等式性質與不等式性質23自主預習探新知456789合作探究提素養(yǎng)1011121314151617181920212223242526272829303132當堂達標固雙基33343536Thankyouforwatching!第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末復習課39404142434445464748495051525354555657Thankyouforwatching!習題課

基本不等式的應用一元二次函數(shù)、方程和不等式利用基本不等式求函數(shù)、代數(shù)式,及實際問題中的最值提示:一正二定三相等,即:①a,b均為正數(shù);②a+b和ab中有一個為定值;③不等式中的等號必須能取到.(3)若a+b為常數(shù)S,那么ab的值如何變化?2.填空

3.做一做(1)函數(shù)f(x)=x+(x<0)的最大值為

;

(2)若正數(shù)a,b滿足2a+3b=8,則ab的最大值是

.

探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一利用基本不等式求函數(shù)和代數(shù)式的最值1.通過變形后應用基本不等式求最值例1求下列函數(shù)的最值,并求出相應的x值.探究一探究二思維辨析隨堂演練

反思感悟

利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件.解題時應對照已知條件和欲求的式子,運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定,應湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試利用函數(shù)的單調性(在第三章學習).

探究一探究二思維辨析隨堂演練答案:D探究一探究二思維辨析隨堂演練2.應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值

答案:4反思感悟

在利用基本不等式求最值時,常用的技巧就是“1”的代換,其目的是借助“1”將所求式子的結構進行調整,優(yōu)化到能夠利用基本不等式為止.探究一探究二思維辨析隨堂演練答案:1探究一探究二思維辨析隨堂演練3.含有多個變量的條件最值問題

反思感悟

含有多個變量的條件最值問題,一般方法是采取減少變量的個數(shù),將問題轉化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題進行解決;如果條件等式中,含有兩個變量的和與積的形式,還可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進行轉化,然后通過解不等式進行求解,或者通過構造一元二次方程,利用根的分布解決問題.探究一探究二思維辨析隨堂演練延伸探究

本例中,若將條件改為“正數(shù)a,b滿足2a+b+6=ab”,再求ab的最小值.探究一探究二思維辨析隨堂演練探究二利用基本不等式解決實際應用中的最值問題例4如圖,動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間,一面可利用原有的墻,其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.現(xiàn)有36m長的鋼筋網(wǎng)材料,每間虎籠的長、寬分別設計為多少時,可使每間虎籠面積最大?分析:設每間虎籠長x

m,寬y

m,則問題轉化為在4x+6y=36的前提下求xy的最大值.探究一探究二思維辨析隨堂演練解:設每間虎籠長x

m,寬y

m,則由條件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.設每間虎籠的面積為S,則S=xy.探究一探究二思維辨析隨堂演練反思感悟

應用基本不等式解決實際問題的思路與方法1.理解題意,設出變量,一般把要求最值的量定為因變量.2.建立相應的函數(shù)關系,把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題.3.在定義域內,求出函數(shù)的最大值或最小值.4.根據(jù)實際背景寫出答案.探究一探究二思維辨析隨堂演練變式訓練2某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一次的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=

噸.

答案:20探究一探究二思維辨析隨堂演練基本不等式的變形技巧技巧一:裂項思路點撥先盡可能地讓分子的變量項和分母相同(常用于分子所含變量因子的次數(shù)比分母所含變量因子的次數(shù)大或相等),然后裂項轉化為求和的最值,進而湊定積(即使得含變量的因子x+1的次數(shù)和為零,同時取到等號).探究一探究二思維辨析隨堂演練技巧二:添項思路點撥當求和的最小值時,盡可能湊定積,本題需添6,再減6.探究一探究二思維辨析隨堂演練技巧三:放入根號內或兩邊平方思路點撥求積的最值(因式中含根號),把變量都放在同一條件下的根號里或者將兩邊平方去根號,整合結構形式,湊成定和,是解決本題的關鍵所在.探究一探究二思維辨析隨堂演練答案:D探究一探究二思維辨析隨堂演練3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,則xy的最大值為

.

探究一探究二思維辨析隨堂演練5.某企業(yè)需要建造一個容積為8立方米,深度為2米的無蓋長方體水池,已知池壁的造價為每平方米100元,池底造價為每平方米300元.設水池底面一邊長為x米,水池總造價為y元,求y關于x的函數(shù)關系式,并求出水池的最低造價.探究一探究二思維辨析隨堂演練章末整合一元二次函數(shù)、方程和不等式專題一專題二專題三專題一

用基本不等式求最值(1)若m=1,求當x>1時函數(shù)的最小值;(2)當x<1時,函數(shù)有最大值-3,求實數(shù)m的值.分析:(1)由函數(shù)的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)當x<1時,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等號成立的條件求參數(shù)m的值.專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

應用基本不等式求最值的技巧1.應用基本不等式求最值,必須按照“一正、二定、三相等”的條件進行,若具備這些條件,可直接運用基本不等式,若不具備這些條件,則應進行適當?shù)淖冃?2.利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件.解題時應對照已知條件和欲求的式子,運用適當?shù)摹安痦棥⑻眄棥⑴錅?、變形”等方法?chuàng)設使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定,應湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試利用函數(shù)的單調性.(將在下章中學習)專題一專題二專題三答案:C專題一專題二專題三專題二

解含參不等式例2解關于x的不等式ax2-(2a+3)x+6>0(a∈R).分析:首先討論不等式的類型:(1)當a=0時,是一次不等式;(2)當a≠0時,是一元二次不等式,然后討論a的符號,最后討論兩根

與2的大小.專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

解含參不等式的一般方法(1)二次項系數(shù)不含參數(shù)且二次三項式不能分解因式時,對Δ的取值進行討論.(2)二次項系數(shù)不含參數(shù),二次三項式可分解因式時,主要根據(jù)兩根大小進行比較,分x1<x2,x1=x2,x1>x2三種情況解答.(3)二次項系數(shù)含參數(shù)時,首先應討論二次項系數(shù)a與0的關系,①當a=0時,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②當a≠0時,不等式是一元二次不等式,可分a>0和a<0兩類,借助(1)(2)兩種情況進行解答.專題一專題二專題三變式訓練2已知常數(shù)a∈R,解關于x的不等式ax2-2x+a<0.解:(1)若a=0,則原不等式為-2x<0,故解集為{x|x>0}.(2)若a>0,Δ=4-4a2.①當Δ>0,即0<a<1時,方程ax2-2x+a=0的兩根為∴當0<a<1時,原不等式的解集為②當Δ=0,即a=1時,原不等式的解集為?.③當Δ<0,即a>1時,原不等式的解集為?.專題一專題二專題三(3)若a<0,Δ=4-4a2.①當Δ>0,即-1<a<0時,原不等式的解集為②當Δ=0,即a=-1時,原不等式化為(x+1)2>0,∴當a=-1時,原不等式的解集為{x|x∈R且x≠-1}.③當Δ<0,即a<-1時,原不等式的解集為R.綜上所述,當a≥1時,原不等式的解集為?;當0<a<1時,原不等式的解集為專題一專題二專題三當a=0時,原不等式的解集為{x|x>0};當-1<a<0時,原不等式的解集為當a=-1時,原不等式的解集為{x|x∈R且x≠-1};當a<-1時,原不等式的解集為R.專題一專題二專題三專題三

不等式中的恒成立問題例3已知關于x的不等式x2+mx>4x+m-4.(1)若對一切實數(shù)x不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若對一切大于1的實數(shù)x不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.分析:(1)不等式為一元二次不等式,利用判別式小于0,即可求m的取值范圍;(2)通過對一切大于1的實數(shù)x不等式恒成立,判斷對應二次函數(shù)圖象對稱軸的位置及當x=1時y的值,即可求m的取值范圍.專題一專題二專題三解:(1)將不等式x2+mx>4x+m-4整理,轉化為x2+(m-4)x-m+4>0.由Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得0<m<4.故m的取值范圍是(0,4).(2)方法一

將不等式x2+mx>4x+m-4分離變量m,則原問題可等價于對一切大于1的實數(shù)x,m>專題一專題二專題三方法二

令y=x2+(m-4)x-m+4.∵對一切大于1的實數(shù)x,y>0恒成立,故m的取值范圍是(0,+∞).方法技巧

分離變量法解恒成立問題對