高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)夯基提能課件第五章平面向量第一節(jié)平面向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算

第一節(jié)平面向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算總綱目錄教材研讀1.向量的有關(guān)概念考點(diǎn)突破2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算3.共線(xiàn)向量定理考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念考點(diǎn)三共線(xiàn)向量定理的作用1.向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有①大小

又有②方向

的量;向量的大小叫做向量的③長(zhǎng)度

(或④模

)向量由方向和長(zhǎng)度確定,不受位置影響零向量長(zhǎng)度為⑤0

的向量;其方向是任意的記作⑥0

單位向量長(zhǎng)度等于⑦1個(gè)單位

的向量非零向量a的單位向量為±

平行向量方向⑧相同

或⑨相反

的非零向量0與任意向量?平行

或共線(xiàn)共線(xiàn)向量⑩方向相同或相反

的非零向量又叫做共線(xiàn)向量相等向量長(zhǎng)度?相等

且方向?相同

的向量?jī)上蛄坎荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度?相等

且方向?相反

的向量0的相反向量為0教材研讀2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

三角形

法則

平行四邊形

法則(1)交換律:a+b=?

b+a

;(2)結(jié)合律:(a+b)+c=?

a+(b+c)

減法若b+x=a,則向量x叫做a與b的差,求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫做向量的減法

三角形

法則

數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a相乘,叫做向量的數(shù)乘(1)|λa|=?|λ||a|

;(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向

相同

;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向?相反

;當(dāng)λ=0時(shí),λa=?0

λ(μa)=?(λμ)a

;(λ+μ)a=?

λa+μa

;λ(a+b)=?

λa+λb

向量運(yùn)算的常用結(jié)論(1)在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),則

=

(

+

);(2)O為△ABC的重心的充要條件是

+

+

=0;(3)四邊形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),則

+

=2

.3.共線(xiàn)向量定理向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得

b=λa

.1.下列說(shuō)法正確的是

()A.

∥

就是

所在的直線(xiàn)平行于

所在的直線(xiàn)B.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量C.零向量長(zhǎng)度等于0D.共線(xiàn)向量是在同一條直線(xiàn)上的向量C答案

C

∥

包含

所在的直線(xiàn)與

所在的直線(xiàn)平行和重合兩種情況,故A錯(cuò);相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等,還要求方向相同,故B錯(cuò);零

向量長(zhǎng)度為0,故C正確;共線(xiàn)向量可以是在同一條直線(xiàn)上的向量,也可以

是所在直線(xiàn)互相平行的向量,故D錯(cuò).2.如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

A.

=

B.

與

共線(xiàn)C.

與

是相反向量D.

=

|

|D答案

D根據(jù)向量的有關(guān)概念可知,

=

,

∥

,

=-

,

=

,|

|=

|

|.3.對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的

()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

A若a+b=0,則a=-b,故a∥b;反之,a∥b?/a+b=0.A4.在四邊形ABCD中,

=

,且|

|=|

|,那么四邊形ABCD為()A.平行四邊形

B.菱形

C.長(zhǎng)方形

D.正方形答案

B

=

,則四邊形ABCD為平行四邊形.又|

|=|

|,則四邊形ABCD為菱形,故選B.B5.在?ABCD中,

=a,

=b,

=3

,M為BC的中點(diǎn),則

=

(用a,b表示).答案-

a+

b解析由

=3

,得

=

=

(a+b),又

=a+

b,所以

=

-

=

(a+b)-

=-

a+

b.6.已知a與b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量,且向量a+λb與-(b-3a)共線(xiàn),則λ=

.答案-

解析由題意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)],所以

解得

典例1給出下列命題:①若|a|=|b|,則a=b;②若A、B、C、D是不共線(xiàn)的四點(diǎn),則

=

是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;③若a=b,b=c,則a=c;④兩向量a、b相等的充要條件是|a|=|b|且a∥b;⑤如果a∥b,b∥c,那么a∥c.其中真命題的序號(hào)為

.考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念考點(diǎn)突破②③答案②③解析①不正確.兩個(gè)向量的模相等,但它們的方向不一定相同,因此由|

a|=|b|推不出a=b.②正確.若

=

,則|

|=|

|且

∥

.又∵A、B、C、D是不共線(xiàn)的四點(diǎn),∴四邊形ABCD是平行四邊形.反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則AB平行DC且

與

方向相同,因此

=

.③正確.∵a=b,∴a、b的長(zhǎng)度相等且方向相同.∵b=c,∴b、c的長(zhǎng)度相等且方向相同.∴a、c的長(zhǎng)度相等且方向相同,∴a=c.④不正確.當(dāng)a∥b,但方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故

不是a=b的充要條件.⑤不正確.若b=0,則a與c不一定共線(xiàn).規(guī)律總結(jié)理解向量有關(guān)概念的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度.(2)非零共線(xiàn)向量的關(guān)鍵是方向相同或相反,長(zhǎng)度沒(méi)有限制.(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒(méi)有限制,但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.(5)零向量的關(guān)鍵是方向沒(méi)有限制,長(zhǎng)度是0,規(guī)定零向量與任何向量共

線(xiàn).1-1判斷下列四個(gè)命題:①若a∥b,則a=b;②若|a|=|b|,則a=b;③若|a|=|b|,則a∥b;④若a=b,則|a|=|b|.

其中正確的個(gè)數(shù)是

()A.1

B.2

C.3

D.4A答案

A只有④正確.1-2設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使

=

成立的充分條件是

()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|答案

C因?yàn)橄蛄?/p>

的方向與向量a相同,向量

的方向與向量b相同,且

=

,所以向量a與向量b方向相同,故可排除選項(xiàng)A,B,D.當(dāng)a=2b時(shí),

=

=

,故a=2b是

=

成立的充分條件.C考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算命題方向命題視角向量的線(xiàn)性運(yùn)算用基底表示向量根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算求參數(shù)已知向量的基底表示,利用平面向量基本定理求參數(shù)的值典例2(1)(2018福建福州質(zhì)檢)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),

=3

,則

()A.

=-

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

(2)在四邊形ABCD中,

=

,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線(xiàn)段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD交于點(diǎn)F,則

()A.

=

+

B.

=

+

C.

=

+

D.

=

+

命題方向一向量的線(xiàn)性運(yùn)算解析(1)

=

+

=

+

+

=

+

=

+

(

-

)=-

+

.故選A.(2)在四邊形ABCD中,因?yàn)?/p>

=

,所以四邊形ABCD為平行四邊形,如圖所示.由已知得

=

,由題意知△DEF∽△BEA,則

=

,所以

=

=

(

-

)=

×

=

,所以

=

+

=

+

=

+

,故選B.

答案(1)A(2)B典例3(1)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD為BC邊上的高,O為

AD的中點(diǎn),若

=λ

+μ

,其中,λ,μ∈R,則λ+μ等于

()A.1

B.

C.

D.

(2)在△ABC中,點(diǎn)M,N滿(mǎn)足

=2

,

=

.若

=x

+y

,則x=

,y=

.命題方向二根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算求參數(shù)答案(1)D(2)

;-

解析(1)由題意易得

=

+

=

+

,∴2

=

+

,即

=

+

.故λ+μ=

+

=

.(2)由

=2

知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn),由

=

知N為BC的中點(diǎn),作出草圖如下:

則有

=

(

+

),所以

=

-

=

(

+

)-

=

-

,又因?yàn)?/p>

=x

+y

,所以x=

,y=-

.方法技巧平面向量線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則.(2)求已知向量的和.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則,求差用

三角形法則;求首尾相連向量的和用三角形法則.(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系,通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表

示出來(lái),進(jìn)行比較求參數(shù)的值.提醒:注意應(yīng)用初中平面幾何的知識(shí),如平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、相

似三角形的性質(zhì)等,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.2-1在△ABC中,N是AC邊上一點(diǎn)且

=

,P是BN上一點(diǎn),若

=m

+

,則實(shí)數(shù)m的值是

.答案

解析因?yàn)?/p>

=

,所以

=

,所以

=m

+

=m

+

,因?yàn)镻是BN上一點(diǎn),所以B,P,N三點(diǎn)共線(xiàn),所以m+

=1,則m=

.典例4設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn).(1)若

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn);(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線(xiàn).考點(diǎn)三共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用解析(1)證明:∵

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),∴

=

+

=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5

,∴

,

共線(xiàn),又它們有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn).(2)∵ka+b與a+kb共線(xiàn),∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.◆探究若將本例(2)中的“共線(xiàn)”改為“反向共線(xiàn)”,則k為何值?解析因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線(xiàn),所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以

所以k=±1.又λ<0,k=λ,所以k=-1.故當(dāng)k=-1時(shí),兩向量反向共線(xiàn).規(guī)律總結(jié)(1)證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題,