1995年第6“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）

1995年第6屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）若是正數(shù)，且，則在下列結(jié)論中，錯誤的一個是A． B． C． D．2．（3分）已知，則化簡所得的結(jié)果是A． B．1 C． D．3．（3分）已知，，．那么的值等于A．4 B．6 C．8 D．104．（3分）用一副三角板的內(nèi)角（一個三角板的內(nèi)角是，，；另一個是，，，可以畫出大于且小于的不同角度的角共有A．8種 B．9種 C．10種 D．11種5．（3分）數(shù)軸上坐標是整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為1995厘米的線段，則線段蓋住的整點是個．A．1994或1995 B．1994或1996 C．1995或1996 D．1995或19976．（3分）方程的一組整數(shù)解、是A． B． C． D．7．（3分）某同學(xué)到集貿(mào)市場買蘋果，買每公斤3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而其余的錢都買了每公斤2元的蘋果，則該同學(xué)所買的蘋果的平均價格是每公斤元．A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.38．（3分）、、的大小關(guān)系如圖所示，則的值是A． B．1 C． D．39．（3分）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．10．（3分）某項球類規(guī)則達標測驗，規(guī)定滿分100分，60分及格，模擬考試與正式考試形式相同，都是25道選擇題，每題答對記4分，答錯或不答記0分．并規(guī)定正式考試中要有80分的試題就是模擬考試中的原題．假設(shè)某人在模擬考試中答對的試題，在正式考試中仍能答對，某人欲在正式考試中確保及格，則他在模擬考試中，至少要得A．80分 B．76分 C．75分 D．64分二、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）11．（4分）計算：．12．（4分）若，則化簡的結(jié)果是．13．（4分）某市舉行環(huán)城自行車比賽，跑的路線一圈是6千米，甲車速是乙車速的，在出發(fā)后1小時10分鐘時，甲，乙二人恰在行進中第二次相遇，則乙車比甲車每分鐘多走千米．14．（4分）如圖，兩條線段、將大長方形分成四個小長方形，其中面積是8，的面積是6，的面積是5．則陰影三角形的面積是．15．（4分）若，則的負倒數(shù)是．16．（4分）一次數(shù)學(xué)小測驗共有十道選擇題，每題答對得3分，答錯或不答均扣1分，則這次小測驗的成績至多有種可能的分數(shù)．17．（4分）已知、均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個正整數(shù)，，使得，，則的值為．18．（4分）如圖，已知中，，，在上取點，使得，量得，則的面積是．19．（4分）若，則的末四位數(shù)字的和是．20．（4分）用分別寫有數(shù)字的四張卡片，可以排出不同的四位數(shù)，如1234，1342，4231，等等共24個，則其中可被22整除的四位數(shù)的和等于．三、解答題（共2小題，滿分30分）21．（15分）某班參加校運動會的19名運動員的運動服號碼恰是號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的某3名運動員，他們運動服號碼數(shù)之和不小于32，請你說明理由．22．（15分）已知，，，，試求的值．

1995年第6屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）若是正數(shù)，且，則在下列結(jié)論中，錯誤的一個是A． B． C． D．【分析】由于，若則，與矛盾．故．又由，，，，即（A）是錯誤的．事實上，，，即，（B）成立．又由，知（C）成立．又由于，，，即（D）成立．【解答】解：，若則，與矛盾．．又，，，，即（A）是錯誤的．事實上，，，即，（B）成立．又，（C）成立．又，，，（D）成立．故選：．【點評】本題主要考查有理數(shù)的加減法，判斷出代數(shù)式的符號，可運用排除法，要注意掌握．2．（3分）已知，則化簡所得的結(jié)果是A． B．1 C． D．【分析】根據(jù)，可知，繼而判斷出，的符號，后去絕對值求解．【解答】解：，．則．故選：．【點評】本題考查絕對值的化簡：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．3．（3分）已知，，．那么的值等于A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先由已知條件計算、、的值，然后再計算它們的平方和即可．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是求出、、的值，難度適中，是個不錯的題目．4．（3分）用一副三角板的內(nèi)角（一個三角板的內(nèi)角是，，；另一個是，，，可以畫出大于且小于的不同角度的角共有A．8種 B．9種 C．10種 D．11種【分析】用三角板畫出角，無非是用角度加減法．【解答】解：比如：畫個的角，先用在紙上畫出來，再角疊加就畫出了角了；同理可畫出、、、、、、、、的角．（因為、、、、、故選：．【點評】用三角板直接畫特殊角的步驟：先畫一條射線，再把三角板所畫角的一邊與射線重合，頂點與射線端點重合，最后沿另一邊畫一條射線，標出角的度數(shù)．5．（3分）數(shù)軸上坐標是整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為1995厘米的線段，則線段蓋住的整點是個．A．1994或1995 B．1994或1996 C．1995或1996 D．1995或1997【分析】根據(jù)題意，解答本題需要分類討論：①若所畫線段的兩個端點與均為整點時，此時線段蓋住的整點個數(shù)比線段的數(shù)目多1；②若點不是整點，則點也不是整點，此時線段蓋住的整點個數(shù)與線段的數(shù)目相等．【解答】解：①若所畫的長為1995厘米的線段的兩個端點與均為整點時，此時線段蓋住的整點個數(shù)是個；②若點不是整點，則點也不是整點，此時線段蓋住的整點個數(shù)為1995個，所以長為1995厘米的線段蓋住的整點是1995個；所以長為1995厘米的線段蓋住的整點是1995或1996個．故選：．【點評】本題主要考查了數(shù)軸的知識．在解答過程中，主要采用了分類討論的數(shù)學(xué)思想．6．（3分）方程的一組整數(shù)解、是A． B． C． D．【分析】將原式變形，假設(shè)，，得出，再將答案代入求出．【解答】解：設(shè)，均為整數(shù)，且滿足．由，得，解出：，其中，故得，代入得，故原方程的通解為，，其中是任意整數(shù)．將，，，代入求得，排除，，．只有，代入成立．故選：．【點評】此題主要考查了二元一次方程的整數(shù)解的求法，關(guān)鍵是得出，題目比較典型．7．（3分）某同學(xué)到集貿(mào)市場買蘋果，買每公斤3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而其余的錢都買了每公斤2元的蘋果，則該同學(xué)所買的蘋果的平均價格是每公斤元．A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3【分析】假設(shè)該同學(xué)買了3元一公斤的蘋果公斤，2元一公斤的蘋果公斤，則一共買蘋果公斤．根據(jù)買每公斤3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而其余的錢都買了每公斤2元的蘋果，即兩種蘋果用的錢數(shù)相同，可列式．買蘋果共花錢數(shù)買3元的蘋果錢數(shù)買2元的蘋果錢數(shù)該同學(xué)所買的蘋果的平均價格．【解答】解：設(shè)該同學(xué)買了3元一公斤的蘋果公斤，2元一公斤的蘋果公斤．買每公斤3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而其余的錢都買了每公斤2元的蘋果，因而可得，即．該同學(xué)所買的蘋果的平均價格（元故選：．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用．解決本題的關(guān)系是根據(jù)題意列出關(guān)系式，即．8．（3分）、、的大小關(guān)系如圖所示，則的值是A． B．1 C． D．3【分析】根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)，即可確定，即可確定，，的符號，根據(jù)正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0，即可去掉式子中的絕對值符號，即可進行化簡．【解答】解：從圖中可見，且，，所以，，，，所以，則，故選：．【點評】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對值的有關(guān)內(nèi)容，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．9．（3分）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【分析】根據(jù)分子相同的數(shù)，分母越大，該數(shù)越小，可比較其大小，然后利用負數(shù)的性質(zhì)可做出正確的選擇．【解答】解：因為所以．，，．故選：．【點評】本題考查有理數(shù)的大小比較，因為這幾個數(shù)分子相同，要先比較其分母的大?。?0．（3分）某項球類規(guī)則達標測驗，規(guī)定滿分100分，60分及格，模擬考試與正式考試形式相同，都是25道選擇題，每題答對記4分，答錯或不答記0分．并規(guī)定正式考試中要有80分的試題就是模擬考試中的原題．假設(shè)某人在模擬考試中答對的試題，在正式考試中仍能答對，某人欲在正式考試中確保及格，則他在模擬考試中，至少要得A．80分 B．76分 C．75分 D．64分【分析】假設(shè)模擬考試中至少要得分，則在模擬考試中至少做對道題，做錯或不會做的題至多是道題．在正式考試中要出現(xiàn)模擬考試中80分的試題，即道題．如果最壞的可能，即其余20分題道新題）某人全不會做，而且模擬考試中道失分的題又全出現(xiàn)在正式考試試題之中，并且該生在模擬考試后也沒能復(fù)習(xí)糾錯，仍按錯誤答案在正規(guī)考試中失分，知識該生只能從道題中取得及格分．【解答】解：設(shè)在模擬考試中至少要得分由題意列式解得．即某人欲在正式考試中確保及格，則他在模擬考試中至少要得80分．故選：．【點評】要做好本題一定理清思路，做錯題的臨界值要考慮最壞可能（其余20分新題某人全不會做，而且模擬考試中失分的題又全出現(xiàn)在正式考試試題之中），只要找準了這個地方，本題也即可解決．二、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）11．（4分）計算：73.4．【分析】按照有理數(shù)混合運算的順序，先乘除后加減，計算過程中注意正負符號的變化．【解答】解：原式，，，．【點評】本題考查的是有理數(shù)的運算能力，注意符號的變化．12．（4分）若，則化簡的結(jié)果是．【分析】由，即可判斷出，，繼而去絕對值即可得出結(jié)果．【解答】解：，，．故答案為：．【點評】本題考查了絕對值的知識，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，注意細心運算．13．（4分）某市舉行環(huán)城自行車比賽，跑的路線一圈是6千米，甲車速是乙車速的，在出發(fā)后1小時10分鐘時，甲，乙二人恰在行進中第二次相遇，則乙車比甲車每分鐘多走千米．【分析】首先解設(shè)出乙的速度，進而表示出甲的速度，再利用甲，乙二人恰在行進中第二次相遇，得出乙追過甲兩圈，進而列出等式方程求出即可．【解答】解：設(shè)乙速度為千米小時，則甲的速度是千米小時，甲、乙二人在進行中第二次相遇，乙追過甲兩圈．所以：，解得：（千米小時），即乙車的速度為36千米小時，甲車的速度為：千米小時，乙車比甲車每分鐘多走千米．故答案為：．【點評】此題主要考查了應(yīng)用類問題，根據(jù)已知得出乙追過甲兩圈得出等式方程是解題關(guān)鍵．14．（4分）如圖，兩條線段、將大長方形分成四個小長方形，其中面積是8，的面積是6，的面積是5．則陰影三角形的面積是．【分析】先用、、、表示4條邊長，根據(jù)矩形面積公式，可得①，②，③，②③結(jié)合可求④，把④代入①，可求，而陰影面積等于，即可求．【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意得①，②，③，②③結(jié)合可求④，把④代入①，得，解得，又．故答案為：．【點評】本題考查了三角形面積、矩形面積、解方程的有關(guān)知識．注意等量代換是解此題的關(guān)鍵．15．（4分）若，則的負倒數(shù)是．【分析】，，，，，，，由此求得的值，即可求出負倒數(shù)．【解答】解：，的負倒數(shù)是．【點評】此題考查有理數(shù)的加減混合運算，認真審題，找出規(guī)律，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．16．（4分）一次數(shù)學(xué)小測驗共有十道選擇題，每題答對得3分，答錯或不答均扣1分，則這次小測驗的成績至多有11種可能的分數(shù)．【分析】可先設(shè)答對的有題，答錯的就有題，從而可知測驗的成績，并根據(jù)題意可知的取值范圍是，一共11個數(shù)，因此有11種情況．【解答】解：設(shè)答對的有題，答錯的就有題，測驗的成績，且可知的取值范圍是，一共11個數(shù)，故有11種情況．故答案是11．【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，對于一個自變量取的值只有唯一一個應(yīng)變量對應(yīng)．17．（4分）已知、均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個正整數(shù)，，使得，，則的值為．【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，根據(jù)，即可得到，只能一個為1，另一個為．再根據(jù)，而又是質(zhì)數(shù)，即可求得，的值，從而求解．【解答】解：是質(zhì)數(shù)，，所以，只能一個為1，另一個為．此時，而又是質(zhì)數(shù)，只能，．即，一個是1，另一個是2．故答案是：．【點評】本題主要考查了質(zhì)數(shù)的定義，正確確定，的值是解題關(guān)鍵．18．（4分）如圖，已知中，，，在上取點，使得，量得，則的面積是．【分析】利用已知中，，，求得．可得為等腰直角三角形，四個等腰直角可以拼成以為邊的一個正方形，再利用與是等高，即可求出即的面積．【解答】解：，，．即為等腰直角三角形，四個等腰直角可以拼成以為邊的一個正方形，的面積，而與是等高，但底，的面積為面積的，即的面積為平方厘米．故填：．【點評】此題考查學(xué)生對等腰直角三角形和三角形面積的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是理解四個等腰直角可以拼成以為邊的一個正方形．19．（4分）若，則的末四位數(shù)字的和是24．【分析】直接將原式變形，進而得出原式，進而得出答案．【解答】解：的末位四位數(shù)字之和為．故答案為：24．【點評】此題主要考查了位數(shù)特征，正確得出數(shù)字變化規(guī)律再將原式變形是解題關(guān)鍵．20．（4分）用分別寫有數(shù)字的四張卡片，可以排出不同的四位數(shù)，如1234，1342，4231，等等共24個，則其中可被22整除的四位數(shù)的和等于10912．【分析】由于能被22整除的四位數(shù)必須是偶數(shù)，所以末位數(shù)字是1，3的不能被22整除，又奇位數(shù)字和減去偶位數(shù)字和之差是11倍數(shù)者，原數(shù)為11的倍數(shù)，由此即可判斷可被22整除的四位數(shù)的個數(shù)，然后求和即可求解．【解答】解：在由1，2，3，4組成的24個四位數(shù)中，末位數(shù)字是1，3的不能被22整除，這樣的數(shù)共12個，而其余12個末位數(shù)字是偶數(shù)，有可能被22整除，它們是：1234，1324，1432，1342，2134，2314，3124，3412，3142，3214，4132，4312．由奇位數(shù)字和減去偶位數(shù)字和之差是11倍數(shù)者，原數(shù)為11的倍數(shù)，可知其中被11整除的只有1342，2134，3124，4312．即這四個數(shù)被22整除，它們的和是：．故答案為：10912．【點評】此題主要考查了整數(shù)的整除性問題，解題時分別利用了被2整除，被11整除的整數(shù)的特點，其中11整除的整數(shù)的特點是解題的關(guān)鍵，平時應(yīng)用比較少