高中人教A數(shù)學(xué)選修2-3學(xué)案 第3章

SANZHANG

第三章統(tǒng)計(jì)案例

,你坐過火車、乘過飛機(jī)嗎？暈車、暈機(jī)與性別有無關(guān)系？肺癌是人類的一大殺手,

吸煙與患肺癌的關(guān)聯(lián)性究竟有多大？你了解過你們班同學(xué)的身高與體重嗎，身高與體重是否

線性相關(guān)？你統(tǒng)計(jì)過你們班同學(xué)的考試成績(jī)嗎，物理成績(jī)的高低與數(shù)學(xué)成績(jī)關(guān)聯(lián)度有多

大？……這些都是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的內(nèi)容.

本章我們將要學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)和回歸分析的基本思想、方法.學(xué)習(xí)本章要注意學(xué)習(xí)收集、

整理、分析數(shù)據(jù)的方法，體會(huì)統(tǒng)計(jì)分析的基本思想、建模思想和現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)

用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維和確定性思維的差異.

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

自主預(yù)習(xí)?探新知

情景引入

2019年6月17日四川宜賓發(fā)生6.1級(jí)地震，此后40分鐘內(nèi)連發(fā)四次余震，最高震級(jí)

5.1級(jí)，此次地震余震頻繁而且震級(jí)還高，你知道地震的震級(jí)與地震次數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？

新知導(dǎo)學(xué)

一、回歸直線方程

1.回歸分析是處理兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法.若兩個(gè)變量之間具有

線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應(yīng)的回歸分析為線性回歸分析.

n__

A-,—

2.回歸直線方程為y=bx+a,其中方=L=^-----=——.a=—y—x

X?曰0二七1

—(工J2)_稱為樣本點(diǎn)的中心?

3.線性相關(guān)關(guān)系強(qiáng)與弱的判斷：用相關(guān)系數(shù)工來描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.

對(duì)于變量x、y隨機(jī)抽取到的"對(duì)數(shù)據(jù)(xi，%)、(物”)、…、(X”，力),其相關(guān)系數(shù)r=

n__n__

y(x/-x)8-y)》沙一〃xy

1=1i=【

A/Z(Xi-X)2s(y,-y)2A(Xxr-nx伙玄彳一”>,2)

\/I=Ii=i\/rij=i

當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)：當(dāng)K0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，的絕對(duì)侑

越接近1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越」1_;/?的絕對(duì)值接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之

間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)歷大于0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)

系.

二、線性回歸分析

1.隨機(jī)誤差

(1)隨機(jī)誤差的概念：當(dāng)樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上時(shí)，不

能用一次函數(shù))，=法+。來描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，而是用線性回歸模型y=fer+“+e

來表示，這里x稱為解釋變量,v稱為預(yù)報(bào)變量,e稱為隨機(jī)誤差,E(e)=0,

D(e)=<r.

(2)隨機(jī)誤差及其產(chǎn)生的原因

從散點(diǎn)圖中我們可以看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線附近，而不是在一條直線上，所以

不能用一次函數(shù)y=bx+a來描述它們之間的關(guān)系，我們用下面的線性回歸模型來表示：y

^bx+a+e,其中隊(duì)b為模型的未知數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差.產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有以

下3個(gè)方面：

①用線性回歸模型近似真實(shí)模型(真實(shí)模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實(shí)模型

是什么）所引起的誤差.可能存在非線性的函數(shù)能更好地描述y與x之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在

卻用線性函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果會(huì)產(chǎn)生誤差.這種由模型近似所引起的誤差包含在e

中.

②忽略了某些因素的影響.影響變量y的因素不只變量x,可能還包括其他許多因素（例

如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會(huì)受遺傳基因、飲食習(xí)慣、

生長(zhǎng)環(huán)境等其他因素的影響），它們的影響都體現(xiàn)在e中.

③觀測(cè)誤差.由于測(cè)量工具等原因，導(dǎo)致y的觀測(cè)值產(chǎn)生誤差（比如一個(gè)人的體重是確

定的數(shù)，但由于測(cè)量工具的影響和測(cè)量人技術(shù)的影響可能會(huì)得到不同的觀測(cè)值，與真實(shí)值之

間存在誤差），這樣的誤差也包含在e中.

2.殘差

對(duì)于樣本點(diǎn)（X1，＞|）、（X2，次）、…、（Xn,yn）,其回歸方程為用），作為回歸模型

[y=bx+a+eA2A

|一、八，、,中6x+a的估計(jì)值，隨機(jī)誤差ei=VLbxi-a的估計(jì)值e：=y,—fer,一a

[E（e）=O,D（e）=（r

_（i=l,2,…，〃），稱為相應(yīng)于點(diǎn)（孫％）的殘差.

3.殘差圖

以為縱坐標(biāo)，一樣本編號(hào)一（或身高數(shù)據(jù),或體重的估計(jì)值等）為橫坐標(biāo)作出的

圖形，稱為殘差圖.

4.在線性回歸模型中，」表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的一貢獻(xiàn)率一#2越接近于1,

表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，改越小，說明隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)變量的

效應(yīng)越大.

nA

IT

相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式是/?2=1—什——.

Ji（＞'/-y）2

R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果（即回歸效果）越_好_.

在含有一個(gè)解釋變量的線性模型中，一恰好等于一相關(guān)系數(shù)匚的平方.

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.在對(duì)兩個(gè)變量X,y進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，有下列步驟:

①對(duì)所求出的回歸直線方程作出解釋；

②收集數(shù)據(jù)（為，％）,i—\,2,???,n；

③求線性回歸方程；

④求相關(guān)系數(shù)；

⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.

如果根據(jù)可行性要求能夠作出變量X,y具有線性相關(guān)的結(jié)論，則在下列操作順序中正

確的是（D）

A.①②⑤③④B.③②④⑤①

C.②④③①⑤D.②⑤④③①

［解析］對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析時(shí)，

首先收集數(shù)據(jù)8,?）,i=l,2,…，”；根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.

觀察散點(diǎn)圖的形狀，判斷線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，

求相關(guān)系數(shù)，寫出線性回歸方程，

最后依據(jù)所求出的回歸直線方程作出解釋；

故正確順序是②⑤④③①，

故選D.

2.（2020?南充模擬）已知變量x與變量y之間具有相關(guān)關(guān)系，并測(cè)得如下一組數(shù)據(jù)：

X651012

y6532

則變量尤與），之間的線性回歸直線方程可能為（B）

AA

A.>=0.7》一2.3B.y=-0.7x+10.3

AA

C.y=-10.3x+0.7D.y=10.3x~0.7

［解析1根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；

—133

x=4（6+5+10+12）=彳，

—1

y=*+5+3+2）=4,

且變量y隨變量x的增大而減小，是負(fù)相關(guān)，

所以，驗(yàn)證x=乎時(shí)，y=-0.7X^+10.3^4,

A

即回歸直線y=-0.7x+10.3過樣本中心點(diǎn)（x,y）.

故選B.

3.（2020?武漢高二檢測(cè)）在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了

一組樣本數(shù)據(jù):

年齡2327394145495053565860

脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.631.433.535.2

A

通過計(jì)算得到回歸方程為y=0.577x—0.448,利用這個(gè)方程，我們得到年齡37歲時(shí)體內(nèi)

脂肪含量為20.90%,那么數(shù)據(jù)20.90%的意義是（D）

A.某人年齡37歲，他體內(nèi)脂肪含量為20.90%

B.某人年齡37歲，他體內(nèi)脂肪含量為20.90%的概率最大

C.某人年齡37歲，他體內(nèi)脂肪含量的期望值為20.90%

D.20.90%是對(duì)年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量所作出的估計(jì)

A

［解析］利用回歸方程），=0.577x—0.448,

可得x=37時(shí)，￡=20.901,

即到年齡37歲時(shí)體內(nèi)脂肪含量約為20.90%,

故20.90%是對(duì)年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量所作出的估計(jì)，

故選D.

4.為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100

次和150次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為6和自已知兩個(gè)人在試驗(yàn)

中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s,對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t,那么下

列說法正確的是（A）

A./i和b有交點(diǎn)（s,f）

B.與/2相交，但交點(diǎn)不一定是（s,f）

C./|與/2必定平行

D.與/2必定重合

I解析］由題意知（S,。是甲、乙兩位同學(xué)所做試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的中心，而線性回歸直線恒

過樣本點(diǎn)的中心，故選A.

5.（202。全國(guó)卷I）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率＞■和溫度x（單

位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散

點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫

度x的回歸方程類型的是（D）

A.y—a+bxB.y—a+bx2

C.y=a+be'D.y=a-Yb\nx

［解析］由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作

為發(fā)芽率），和溫度x的回歸方程類型的是y=a+b］nx.

故選D.

互動(dòng)探究?攻重難

V

V

互動(dòng)探究解疑

命題方向?

變量間的相關(guān)性檢測(cè)

典例1關(guān)于兩個(gè)變量X和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示:

X21232527293235

y711212466115325

試判斷y與x是否線性相關(guān).

［解析］7=1(21+23+25+27+29+32+35)^27.4,

—1

y=亍(7+11+21+24+66+115+325)^81.3,

7

2>?=212+232+252+272+292+322+352=5414,

/=1

7

f=21X7+23X11+25X21+27X24+29X66+32X115+35X325=18542.

X=1

7

Z^=72+ll2+212+242+662+1152+3252=124393,

1=1

7____

刀渺一7xy

7_7_

(端—7x2)(9-7y2)

i=\i=\

________18542-7X27.4X81.3________

4(5414—7X27.42)X(124393-7X81.32)

2948.66

=0.8639.

3520.92

由于r=0.8639>0.75,??.x與y具有線性相關(guān)關(guān)系.

『規(guī)律總結(jié)』變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，可通過散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)作出判斷，散

點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，用相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度.

II跟蹤練習(xí)1■

現(xiàn)隨機(jī)抽取了我校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(X)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)成

績(jī)。)，數(shù)據(jù)如下表：

學(xué)生號(hào)1234567891()

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

請(qǐng)問：這10個(gè)學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是否具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系？

_1

【解析］x-JQ(120+108H---F99+108)=107.8,

7=-^(84+644---:57+71)=68,

10

1>7=1202+1082H----F992+1082=116584,

1=1

10

Xy?=842+642H----F572+712=47384,

/=1

10

120X84+108X64H----H08X71=73796,

i-i

所以，相關(guān)系數(shù)為

__________73796—10X107.8X68________

16584-10X107.82)(47384-10X68?)

?0.7506,

由0.7506>0.75知，兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)有顯著的線性相關(guān)關(guān)系.

命題方向?

求線性回歸方程

典例2某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫?

學(xué)生學(xué)科成績(jī)ABCDE

數(shù)學(xué)成績(jī)(X)8876736663

物理成績(jī)。)7865716461

(1)畫出散點(diǎn)圖;

(2)求物理成績(jī))，對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性回歸方程；

(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96,預(yù)測(cè)他的物理成績(jī).

［解析］(1)散點(diǎn)圖如圖.

90-

80-?

70-?

60—?—?—?—?—?_?

60657075808590x

——I

⑵x=gX(88+76+73+66+63)=73.2,

—1

y=§X(78+65+71+64+61)=67.8.

5

￡@?=88X78+76X65+73X71+66X64+63X61

i=l

=25054.

5

￡X?=882+762+732+662+632=27174,

i=\

5_____

8yL5x?y

f=l

所以方=-------------=*0.625,

玉-5工2

1=1

含=y一8工n67.8—0.625X73.2=22.05,

所以y對(duì)x的回歸直線方程是$=0.625x+22.05.

(3)當(dāng)x=96時(shí)，2=0.625X96+22.05482,即可以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82.

『規(guī)律總結(jié)』1.散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確

的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，從圖中看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，再進(jìn)行相關(guān)的回歸

分析.

2.求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方

程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義.

II跟蹤練習(xí)2.■

(2020.湖南郴州質(zhì)檢)為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到北方某城市

2016年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

車流量X/萬輛1234567

PM2.5的濃度

28303541495662

M微克/立方米)

(1)由散點(diǎn)圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求了關(guān)于x的線性回歸方程：

⑵①利用⑴所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該市車流量為8萬輛時(shí)PM2.5的濃度;

②規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在(0,50］內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5

的濃度平均值在(50,100］內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良.為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或良，則應(yīng)控

制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)？(結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù).)

n____

ZAO'I-?Xy

八八八AA_A_

參考公式：回歸直線的方程是其中〃=,a=y~bx.

》,一〃x2

i=?

一1

［解析］⑴由數(shù)據(jù)可得x=,(1+2+3+4+5+6+7)=4,

-177A

y=,(28+30+35+41+49+56+62)=43,1372,140,b=

i=li=\

〉》一7xy

/=I1372-1204A_A_

=~-=6,u=y—bx=43-6X4=19,故y關(guān)于x的線性回歸方

7_140—112

-7x2

i=l

程為y=6x+19.

(2)①當(dāng)車流量為8萬輛，即x=8時(shí)，f=6X8+19=67.故當(dāng)車流量為8萬輛時(shí)，PM2.5

的濃度約為67微克/立方米.

②根據(jù)題意得6x+19W100,即XW13.5,故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或良，應(yīng)控制

當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi).

命題方向?

線性回歸分析

典例3某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與訓(xùn)練成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下:

次數(shù)(X)3033353739444650

成績(jī)。)3034373942464851

(1)作出散點(diǎn)圖;

(2)求出回歸方程；

(3)作出殘差圖；

(4)計(jì)算R2,并說明運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練次數(shù)對(duì)成績(jī)的影響占百分之幾.

I解析［(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y的散點(diǎn)圖，如圖所示.由散點(diǎn)圖可知，它

們之間具有相關(guān)關(guān)系.

60

50J

4。.1

3()?*

20

10

TJl-102030405060x

__88

(2)X=39.25,y=40.875,)=12656,力渺=13180,

/=!/=!

8__

X(加一次)8-y)

Ai=l

所以6=---;-------------、1.04]5,

E(為一x)2

i=\

A____A

a=~~bx=-0.003875,

A

.,.回歸直線方程為y=1.0415x-0.003875.

(3)殘差分析：下面的表格列出了運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)和成績(jī)的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)

據(jù).

AA

Xy

3030-1.2411

3334-0.3656

35370.5514

37390.4684

39421.3854

44460.1779

46480.0949

5051-1.0711

作殘差圖如圖所示.

由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選擇的模型比較合適.

(4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2比0.9855,說明了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引

起的.

『規(guī)律總結(jié)』1.解答本類題目應(yīng)先通過散點(diǎn)圖來分析兩個(gè)變量間的關(guān)系是否線性相

關(guān)，再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或R2來分析函數(shù)模型的擬合效

果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析.

2.“咫、殘差圖”在回歸分析中的作用：

nA

ZGif/

i=\

(1)R2是用來刻畫回歸效果的，由R2=l------------------可知/?2越大，意味著殘差平方和

n-

￡yy

/-i

越小，也就是說模型的擬合效果就越好.

(2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的，判斷依據(jù)是：殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀

區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高.

II跟蹤練習(xí)3一■

為研究質(zhì)量x(單位：克)對(duì)彈簧長(zhǎng)度)，(單位：厘米)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行

測(cè)量，數(shù)據(jù)如表所示：

X51015202530

y7.258.128.959.9010.911.8

(1)作出散點(diǎn)圖，并求線性回歸方程;

(2)求出R?；

(3)進(jìn)行殘差分析.

I解析I(1)散點(diǎn)圖如圖所示.

——1

因?yàn)閄=不乂(5+10+15+20+25+30)=17.5,

7=、X(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8戶9.487,

66

??=2275,1076.2

/=1

AA

計(jì)算得，40.183,a七6.285,

所求線性回歸方程為y=0.183x+6.285.

（2）列表如下:

A

yi-yi0.050.005-0.08-0.0450.040.025

yi-y-2.24-1.37-0.540.411.412.31

6A6―

所以Z8一對(duì)2*0.01318,Z(y,—y)2=14.6784.

/=1f=l

所以，必=1—：）：）祟上0.9991,

14.0/O4

回歸模型的擬合效果較好.

（3）由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)

的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可

以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸

模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與重量成線性關(guān)系.

命題方向?

非線性回歸問題

典例4有一測(cè)量水流的實(shí)驗(yàn)裝置——量水堰，測(cè)得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：

i1234567

水高Zz（厘米）0.71.12.54.98.110.213.5

流量。（升/分）0.0820.251.811.237.866.5134

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立。與〃之間的回歸方程.

［思路分析］作散點(diǎn)圖，觀察確定y與x的近似函數(shù)關(guān)系，作變量替換，列出新的對(duì)應(yīng)

值表求出對(duì)應(yīng)的線性回歸方程，再作變量替換得回歸方程.

［解析1根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布

在某一條嘉函數(shù)型曲線。=a/（a、夕是待定的正常數(shù)）①的周圍.為此將Q=a/兩邊取對(duì)數(shù),

得到lgQ=/flg/z+lga②，令lgQ=y,lg〃=x,于是②式可化為y=/r+lga.這樣y就是x的線

性函數(shù)了.可以利用線性回歸模型來建立y和x之間的線性回歸方程y=bx+“3=〃，lga=

〃）了.

ihiQiXi=lghixi孫?

10.70.082-0.1549-1.08620.0240.1683

21.10.250.0414一0.60210.0017-0.0249

32.51.80.39790.25530.15830.1016

44.911.20.69021.04920.47640.7242

58.137.80.90851.57400.82541.4300

610.266.51.00861.82281.01731.8385

713.51341.13032.12711.27762.4043

7777

L2為=4.022ZM=5.1401Z%?=3.7807X和尸6.642

尸i/=]廠i

先作出上面數(shù)據(jù)表，由表得到￡比2.5097,lga~-0.7077,則。p0.1960.于是所得的

回歸方程為。=0.193廬5097.

『規(guī)律總結(jié)』1.在建立經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，選擇合適的函數(shù)類型是十分重要的.通常是根據(jù)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，從中觀察其變化規(guī)律，并與已知函數(shù)的圖象對(duì)比，看接近于什么函

數(shù)，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來決定選取公式的類型，所選的類型是否符合實(shí)際，還需要通過實(shí)踐來檢

驗(yàn).有時(shí)候還需要選擇不同的模擬函數(shù)作比較.

2.如果觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布不呈條狀分布，而是與某種曲線相近，這時(shí)可選擇

這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)作為擬合函數(shù)，作恰當(dāng)變換，轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，用線性回歸模型求解.

例如：

h1

①反比例函數(shù)可作變換t=~,得

②寐函數(shù)型>=加">0)可作變換Y=lny,m=}na,t—\nx,則有

Y=m+bt.

③指數(shù)型函數(shù)y=k？v(a>0且“Wl,k>0)可作變換Y=\ny,m=\nk,則有：Y=m+(b\na)x

II跟蹤練習(xí)4_?

為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x的變化繁殖個(gè)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下：

時(shí)間x/天123456

繁殖個(gè)數(shù)y612254995190

(1)將天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)描述解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系；

(3)計(jì)算殘差、相關(guān)指數(shù)

|解析|(1)由表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖如下圖所示.

“個(gè)

200

80

60

40

20

00

80

60

40

20

--■--

23456

(2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y=ciec加的圖象的周圍，其中。和。2是待

定系數(shù).于是令z=lny,則z=〃x+a(n=lna,b-c2),因此變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直

線z=%x+〃的周圍，因此可以用線性回歸模型來擬合z與x的關(guān)系，則變換后的樣本數(shù)據(jù)

如下表：

X123456

Z1.792.483.223.894.555.25

由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程？=0.69x+1.115.

因此細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于時(shí)間的回歸方程為￡=e°69/LU5.

(3)列出殘差表：

編號(hào)i123456

A6.0812.1224.1796.06191.52

V/48.18

%612254995190

A

ei-0.08-0.120.830.82-1.06-1.52

6A6八

E〃=￡Gf）2=4.8161,

/=1/=1

6_

X（M-y）2=24630.1,

i=l

乃=I__48161_9998

K1241630.1

故解釋變量天數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)變量繁殖個(gè)數(shù)解釋了99.98%,說明該回歸模型擬合效果非常好.

學(xué)科核心素養(yǎng)

利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)變量的估計(jì)(規(guī)律方法)

利用線性回歸方程可以進(jìn)行預(yù)報(bào)，線性回歸方程將部分觀測(cè)值所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸,

是我們對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制的依據(jù).

典例5(2020?福州模擬)對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,測(cè)得一組數(shù)據(jù)如

下表:

X24568

y2040607980

AA

根據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為y=10.5x+〃，據(jù)此模型來預(yù)測(cè)當(dāng)x

=20時(shí)，y的估計(jì)值為(C)

A.210B.210.5

C.211.5D.212.5

————AAA

［解析］由已知得x=5,y=54,則(5,54)滿足回歸直線方程)=10.5］+“，解得4=1.5.

因此f=10.5x+1.5,當(dāng)x=20時(shí)，￡=10.5X20+1.5=211.5.故選C.

『規(guī)律總結(jié)』已知變量的某個(gè)值去預(yù)測(cè)相應(yīng)預(yù)報(bào)變量的某個(gè)值時(shí)，先求出其所滿足的

回歸直線方程￡=>+2把已知x取某一個(gè)值代入回歸方程￡=晨+1中，從而可求出y的估

計(jì)值.

II跟蹤練習(xí)工■

某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了4次試驗(yàn)，得到

數(shù)據(jù)如下：

零件的個(gè)數(shù)M個(gè))2345

加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5

(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

y

5----：一…?；

4---;--J--W---；--?

2--W..I..i---i--1

1……-i……-i……-i……\……i

-01~~2~~3~45x

AAA

(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+〃；

(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要的時(shí)間.

Z（為一x）8-y）Xx-yi-nxy

Ai=\i=l

b-=

參考公式：＜i（xi~~）2f^-nT2

i=li=\

A—人—

、a=y-bx

［解析］(1)散點(diǎn)圖如圖所示:

y

012345%

(2)由題中表格數(shù)據(jù)得x=3.5,y=3.5,

4__4_

X（羽一x）8-y）=3.5,X（為一工y=5.

/=1i=\

4__

z（X/—x）（yi-y）

由公式計(jì)算得,=二------------A——A—

=0.7,a=y-bx,

4_

Z(Xi-X尸

所以所求線性回歸方程為f=6x+1=0.7x+1.05.

AAA

⑶當(dāng)x=10時(shí)，y=6x+a=0.7X10+1.05=8.05,

所以預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí).

V

V

易混易錯(cuò)警示

求回歸方程

典例6在一化學(xué)反應(yīng)過程中，某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑

的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了如表所示的8組數(shù)據(jù)，則y與x的回歸方程是f=e°-⑻2L°=85.

催化劑是x(g)1518212427303336

化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度Mg/min)6830277020565350

——88

［錯(cuò)解］由表中數(shù)據(jù)可得x=25.5,>=95.125,??=5580,￡卬，,=24297,

i=li=\

8__

2>加一8xy

A1=1八__A__八

所以6=----------------------七12.94,a=~~b~=-234.845.所以回歸方程式為y=一

8_

8X2

i=l

234.845+12.94元

［辨析］錯(cuò)誤原因：未畫散點(diǎn)圖來確定回歸類型，題中要求回歸方程但不一定是回歸直

線方程，錯(cuò)解中盲目地求成了回歸直線方程.

防范措施：回歸分析時(shí)，必須先畫散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量是否有關(guān)系，有什么樣的關(guān)系，

然后確定是哪種回歸模型才能進(jìn)一步求解.

I正解］根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示.

化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度

400

350?

300

250

200?

150

100

50,

0I??*'_1_1~―-

121518212427303336催化劑量/&

根據(jù)樣本點(diǎn)的分布情況，可選用指數(shù)型函數(shù)模型、=。但。21=（口，C2為待定的參數(shù)），令

z=\ny,則z=C2x+lnc”即變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=fer+〃（〃=ln臼，/?=◎）的周圍，

由y與X的數(shù)據(jù)表得Z與X的數(shù)據(jù)表如下：

化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度的對(duì)數(shù)

8

6,??

4,?

2,?'"

_,_,_,_,_,-----.

10152025303540催化劑敏/g

X1518212427303336

Z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858

作出Z與X的散點(diǎn)圖，如圖所示，由圖可以看出變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，

所以可用線性回歸方程來擬合.

由表中數(shù)據(jù)可得6^0.1812,-0.8485,故2=0.1812%—0.8485,所以￡=一⑻浜-。的

5,因此該化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度與催化劑的量的非線性回歸方程為f=e。?⑻2「。.8485.

課堂達(dá)標(biāo)?固基礎(chǔ)

1.關(guān)于回歸分析，下列說法錯(cuò)誤的是（D）

A.回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法

B.散點(diǎn)圖中，解釋變量在x軸，預(yù)報(bào)變量在），軸

C.回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差

D.散點(diǎn)圖能明確反映變量間的關(guān)系

［解析】用散點(diǎn)圖反映兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，存在誤差.

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型,

計(jì)算可得它們的相關(guān)指數(shù)K分別如下表：

甲乙丙T

R20.980.780.500.85

哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好（A）

A.甲B.乙

C.丙D.丁

［解析］相關(guān)指數(shù)收越大，表示回歸模型的效果越好.

3.設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組

樣本數(shù)據(jù)（為，…，n）,用最小二乘法建立的回歸方程為￡=0.85x—85.71,則下列

結(jié)論中不正確的是（D）

A.），與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（二，7）

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

［解析］A,B,C均正確，是回歸方程的性質(zhì)，D項(xiàng)是錯(cuò)誤的，線性回歸方程只能預(yù)測(cè)

學(xué)生的體重，選項(xiàng)D應(yīng)改為“若該大學(xué)生某女生身高為170cm,則估計(jì)其體重大約為58.79

kg”.

4.某單位為了了解用電量y度與氣溫x"C之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與

當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：

氣溫（℃）181310-1

用電量（度）24343864

由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程￡=隊(duì)+〃中匕=-2,預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為一4℃時(shí)，用電