考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷6（共247題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷6（共9套）（共247題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)ξ為f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，則為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令f(a)－f(0)=f’(ξ)a，即選C．2、下列說(shuō)法正確的是()．A、f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若B、f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若C、f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，若D、f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，若標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)時(shí)，f’(x)=0，其中k∈Z，則A不對(duì)；設(shè)B不對(duì)；設(shè)f(x)=x，C不對(duì)，選D．3、設(shè)，則當(dāng)x→0時(shí)，兩個(gè)無(wú)窮小的關(guān)系是()．A、高階無(wú)窮小B、低階無(wú)窮小C、同階非等價(jià)無(wú)窮小D、等價(jià)無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗詢(xún)蔁o(wú)窮小同階但非等價(jià)，選C．4、對(duì)二元函數(shù)z=f(x，y)，下列結(jié)論正確的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要條件是z=f(x，y)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)B、若z=f(x，y)可微，則z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C、若z=f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則z=f(x，y)一定可微D、若z=f(z，y)的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則z=f(z，y)一定不可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槿艉瘮?shù)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)一定可微，反之則不對(duì)，所以若函數(shù)f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)不一定不可微，選C．5、累次積分rf(rcosθ，rsin0)dr等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：積分所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域?yàn)镈：0≤x≤1，選D．6、設(shè)則()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r=－1D、r=1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橐欢ú皇钦?xiàng)或負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，故r≤0．若｜r｜＜1，則絕對(duì)收斂，矛盾；若｜r｜＞1，則存在充分大的N，當(dāng)n＞N時(shí)，{｜un｜}單調(diào)增加，v發(fā)散，矛盾，故｜r｜=1，再由r≤0得r=－1，選C．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=0處連續(xù)，所以9、設(shè)f(x)在x=1處一階連續(xù)可導(dǎo)，且f’(1)=－2，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)則∫(x)dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由11、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，且存在．證明：f(x)在[a，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)取ε0=1，根據(jù)極限的定義，存在X0＞0，當(dāng)x＞X1時(shí)，｜f(x)－A｜＜1，從而有｜f(x)｜≤｜A｜+1．又因?yàn)閒(x)在[a，X0]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質(zhì)，存在k＞0，當(dāng)x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M=max{｜A｜+1，k)，對(duì)一切的x∈[a，+∞)，有｜f(x)｜≤M．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)連續(xù)，φ(x)=∫0xf(xt)dt，且求φ’(1)，并討論φ’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時(shí)，φ(x)=∫01f(xt)dt=∫01f(u)du，φ’(x)=[xf(x)－∫0xf(u)du]．當(dāng)x=0時(shí)，φ(0)=∫01(0)dt=0，所以φ’(x)在x=0處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=0，且f’’(x)＞0．證明：對(duì)任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得兩式相減得f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ1)－f’(ξ1)]a．因?yàn)閒’’(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ2)－f’(ξ1)]a＞0，即f(a+b)＞f(a)+f(b)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在x=x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且證明：f’(x0)=M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)－f(x0)=f’(ξ)(x－x0)，其中ξ介于x0與x之間，則，即f’(x0)=M．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．證明：17、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)－F(a)=F’(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，且f(c)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令h(x)=exf(x)，因?yàn)閔(a)=h(c)=h(b)=0，所以由羅爾定理，ξ1存在(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)－3f’(η)+zf(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由羅爾定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)－f(η1)=0,f’(η2)－f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e－2x[f’’(x)－3f’(x)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f’’(η)－3f’(η)+2f(η)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)且｜f’(x)｜≤M．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)z=∫0x2+y2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=2ex2+y2+4x2ex2+y2，=2ex2+y2+4y2ex2+y2，則=4[1+(x2+y2)]ex2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、計(jì)算其中D為單位圓x2+y2=1所圍成的第一象限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：令所以原式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)=n(n=1)xn－2，顯然其收斂域?yàn)?－1，1)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．將曲線(xiàn)y=f(x)，x=1，x=a(a＞>1)及x軸所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為[a2f(a)－f(1)]．若求：25、f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，π∫1af2(x)dx=[a2f(a)－f(1)]，兩邊對(duì)a求導(dǎo)，得3f2(a)=2af(a)+a2f’(a)=>知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、f(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛忠驗(yàn)闉闃O大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、在t=0時(shí)，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g／L，用管子以2L／min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L／min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L／min的速度輸出．求在任意時(shí)刻t＞0，從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿(mǎn)足的微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在任意時(shí)刻t＞0，第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為m1(t)，m2(t)，在時(shí)間[t，t+dt]內(nèi)有且滿(mǎn)足初始條件m1(0)=150，解得在時(shí)間[t，t+dt]內(nèi)有且滿(mǎn)足初始條件m2(0)=150．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)函數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)a、b滿(mǎn)足()A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)f(0)=0，則f(x)在x=0可導(dǎo)的充要條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)f(x)滿(mǎn)足y’’+y’一esinx=0，且f’(x0)=0．則f(x)在()A、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加．B、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少．C、x0處取得極小值．D、x0處取極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)等于()A、0B、1C、D、一1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)為D上正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則等于()A、abπ．B、C、(a+b)π．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)7、設(shè)則f(x)的間斷點(diǎn)為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)f(x)連續(xù)，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：xf(x2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)f、φ具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、[(x+1)2+2y2]dxdy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=0收斂，在x=2處發(fā)散，則該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：[0，2)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e－x(C1cosx+C2sin2x)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求極限記此極限函數(shù)為f(x)，求函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)并指出其類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：為f(x)的可去間斷點(diǎn)，x=kπ(k=±1，±2…)為f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)y=y(x)由y=tan(x+y)所確定，試求y’，y’’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、做半徑為R的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高h(yuǎn)取何值，其體積最小，最小值是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：h=4R，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為e－x2，求∫xf’(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2x2e－x2—e－x2+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)=∫－1x(1－｜t｜)dt(x≥一1)，求曲線(xiàn)y=f(x)與x軸所圍圖形面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=f11’’e2xsinycosy+2ex(ysiny+xcosy)f12’’+4xyf22’’+f1’excosy知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、計(jì)算二重積分其中D是由直線(xiàn)y=2，y=x和雙曲線(xiàn)xy=1所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(x，y)在單位圓x2+y2≤1有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，f(0，0)=2001，試求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：2001知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)D是全平面，標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂域：[一2，2)和函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、試研究級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂，條件收斂，還是發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a＞1時(shí)絕對(duì)收斂；為0＜a≤1時(shí)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂區(qū)間為(一1，1)．和函數(shù)為2xarctanx—ln(1+x2)+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求下列微分方程通解：1)y’’+2y’一3y=e－3x2)y’’一3y’+2y=xex3)y’+y=x+cosx4)y’’+4y’+4y=eax(a為實(shí)數(shù))標(biāo)準(zhǔn)答案：1)y=C1ex+C2e－3x一xe－3x2)y=C1ex+C2e2x一(+x)ex3)y=C1cosx+C2sinx+x+sinx4)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)f(x)在x＞0上有定義，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)．f’(1)=2，試求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=2xlnx，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且則()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、以≤0，b＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樵?－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以a≥0，又因?yàn)樗詁＜0，選C．2、設(shè)f(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，且x＜0時(shí)有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，則當(dāng)x＞0時(shí)有()．A、f’’(x)＜0，f’(x)＜0B、f’’(x)＞0，f’(x)＞0C、f’’(x)＞0，f’(x)＜0D、f’’(x)＜0，f’(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，所以f(－x)=－f(x)，f’(－x)=f’(x)，f’’(－x)=f’’(x)，即f’(x)為偶函數(shù)，f’’(x)為奇函數(shù)，故由x＜0時(shí)，有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，得當(dāng)x＞0時(shí)有f’’(x)＜0，f’(x)＜0，選A．3、設(shè)f’(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+其中ξ介于a與x之間．而再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)閒’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點(diǎn)是唯一的，選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)≠0，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)函數(shù)y=y(x)由確定，則y=y(x)在x=ln2處的法線(xiàn)方程為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=ln2時(shí)，t=±1；當(dāng)t=±1時(shí)，y=0．(1)當(dāng)t=－1時(shí)，由∫0yeu2du+∫t21arcsinudu=0兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得－2tarcsint2=0，則(2)當(dāng)t=1時(shí)，由∫0yeu2du+∫t21arcsinudu=0兩邊對(duì)t求導(dǎo)得－2tarcsint2=0，則即法線(xiàn)方程為6、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由∫0xtf(2x－t)dt∫x2x(2x－u)f(u)(－du)=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2，等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=整理得2∫x2xfud(u)－xf(x)=取x=1得2∫12f(u)du－f(1)=8、設(shè)y(x)為微分方程y’’－4y’+4y=0滿(mǎn)足初始條件y(0)=1，y’(0)=2的特解，則∫01y(x)dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：y’’－4y’+4y=0的通解為y=(C1+C2x)e2x，由初始條件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，則y=e2x，于是三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1．證明：10、存在c∈(0，1)，使得f(c)=1－2c；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)－1+2x，φ(0)=－1，φ(1)=2，因?yàn)棣?0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1－2c．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求函數(shù)的反函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令所以函數(shù)為奇函數(shù)，于是即函數(shù)的反函數(shù)為x=shy．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫0xf(x－t)dt∫x0f(u)(－du)=∫0xf(u)du，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且又f(2)=f(x)dx，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(1)=－1，又所以f’(1)=0．由積分中值定理得由羅爾定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，則φ(1)=φ(x0)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f’’(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)0＜a＜b，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：首先證明=>φ(x)＜0(x＞a)，而b＞a，所以φ(b)＜0，即令f(x)=lnx，則存在ξ∈(a，b)，使得其中0＜a＜ξ＜b，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?x2ex)’=(x2+2x)ex，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：an+an+2=因?yàn)閠annx，tann+2x在上連續(xù)，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以即an＞an+2，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)且f’’(x)≥0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得其中ξ介于x與之間，因?yàn)閒’’(x)≥0，所以有兩邊積分得∫abf(x)dx≥(b－a)f令φ(x)=[f(x)+f(a)]－∫axf(t)dt，且φ(a)=0，其中a≤η≤x，因?yàn)閒’’(x)≥0，所以f’(x)單調(diào)不減，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)，由得φ(b)≥0，于是∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、令f(x)=x－[x]，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閇x+m]=[x]+m(其中m為整數(shù))，所以f(x)=x－[x]是以1為周期的函數(shù)，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表達(dá)式為對(duì)充分大的x，存在自然數(shù)n，使得n≤x＜n+1，則∫0nf(x)dx≤∫0xf(x)dx≤∫0n+1f(x)dx，而∫0nf(x)dx=n∫01f(x)dx=n∫01xdx=顯然當(dāng)x→+∞時(shí)，n→+∞，由夾逼定理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)討論f(x，y)在(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：0≤｜f(x，y)｜≤｜xy｜，因?yàn)?0－f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)處連續(xù)．由得f’x(0，0)=0，同理f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．即f(x，y)在(0，0)處可微．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知二元函數(shù)f(x，y)滿(mǎn)足且f(x，y)=g(u，v)，若=u2+v2，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以有(a+b)(v2－u2)+4(au2－bv2)=u2+v2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算(x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤4，x2+y2≥2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、交換積分次序并計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)24、求的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、證明：對(duì)任意常數(shù)λ＞0，收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槭諗浚R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(0)=0，f’(0)=00．由泰勒公式得其中ξ介于0與x之間．又f’’(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，從而可以找到一個(gè)原點(diǎn)在其內(nèi)部的閉區(qū)間，在此閉區(qū)間內(nèi)有｜f’’(x)｜≤M，其中M>0為f’’(x)在該閉區(qū)間上的界．所以對(duì)充分大的n，有因?yàn)榻^對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、用變量代換x=lnt將方程化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：的通解為y=C1cost+C2sint，故原方程的通解為y=C1cosex+C2sinex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、早晨開(kāi)始下雪整天不停，中午一掃雪車(chē)開(kāi)始掃雪，每小時(shí)掃雪體積為常數(shù)，到下午2點(diǎn)掃雪2km，到下午4點(diǎn)又掃雪1km，問(wèn)降雪是什么時(shí)候開(kāi)始的?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)單位面積在單位時(shí)間內(nèi)降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車(chē)前進(jìn)路程為S(t)，降雪開(kāi)始時(shí)間為T(mén)，則H(t)=a(t－T)，又b×H(t)×△s=c×△t，于是且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由v=>T2－26T+164=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)x=f(x，y)=，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、可微．B、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．C、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)△z=f(x，y)一f(0，0)，則可知△z=△z=0．這表明f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．因f(x，0)=0f(x，0)｜x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z一f’x(0，0)△x一f’y(0，0)△y=，當(dāng)(△x，△y)沿y=x趨于點(diǎn)(0．0)時(shí)2、設(shè)z=f(x，y)=則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)不存在，但連續(xù)．C、偏導(dǎo)數(shù)存在，可微．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義可知這說(shuō)明f’x(0，0)存在且為0，同理f’y(0，0)存在且為0．所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微分．故選C．3、設(shè)f(x，y)=｜x一y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)且φ(0，0)=0，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．B、不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在．C、可微．D、不可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：直接按可微性定義．f(x，y)在(x0，y0)可微，即f(x，y)在(x0，y0)滿(mǎn)足f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)=A△x+B△y+ο(ρ)(ρ=→0)，其中A，B是與△x，△y無(wú)關(guān)的常數(shù)．易知A=．特別是，若有f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)=ο(ρ)，則f(x，y)在(x0，y)可微(且=0)．這里，由于(△x，△y)=φ(0，0)=0，即f(△x，△y)=ο(ρ)(ρ→0)，故f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，選C．4、已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy為某二元函數(shù)f(x，y)的全微分，則常數(shù)A、a=一2，b=2．B、a=2，b=一2．C、a=一3，b=3．D、a=3，b=一3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：依題設(shè)由df(x，y)=f’x(x，y)dx+f’y(x，y)dy=(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy，可知f’x(x，y)=axy3一y2cosx，f’y(x，y)=1+bysinx+3x2y2，所以f"xy(x，y)=3axy2—2ycosx，f"yx(x，y)=bycosx+6xy2．由f"xy(x，y)和f"yx(x，y)的表達(dá)式可知它們都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)當(dāng)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的定理即得f"xy(x，y)≡f"yx(x，y)．從而a=2，b=一2．故應(yīng)選B．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)5、已知函數(shù)z=f(x，y)在(1，1)處可微，且f(1，1)=1，=3．設(shè)φ(x)=f[x，f(x，x)]，則φ3(x)｜=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：51知識(shí)點(diǎn)解析：．又=f’1+f’2．(f’1+f’2)，φ(1)=f(1，1)=1，所以=3．1．[2+3(2+3)]=51．6、設(shè)f(x)=D={(x，y)｜一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞，則f(y)f(x+y)dxdy=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于故在區(qū)域D1={(x，y)｜0≤y≤1，一y≤x≤1一y}(如圖4．2)上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)計(jì)算下列函數(shù)指定的偏導(dǎo)數(shù)：7、設(shè)u=f(2x—y)+g(x，xy)，其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求；標(biāo)準(zhǔn)答案：=2f’+g’1+yg’2，=一2f"+xg"12+g’2+xyg"22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt確定，其中φ可微，P連續(xù)，且φ’(u)≠1，求P(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：在u=φ(u)+∫yxP(t)dt兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)z3一2xz+y=0確定z=z(x，y)，求z的三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程兩邊分別對(duì)戈求偏導(dǎo)數(shù)得(3z2—2x)一2z=0，(*)即．將(*)式再對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、已知函數(shù)z=u(x，y)eax+by，其中u(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，g(y)可導(dǎo)，且F(x，y)=f[x+g(y)]，求證：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)函數(shù)f(x，y)=，且g有二階導(dǎo)數(shù)，求證：，且r＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知函數(shù)f(x，y，z)=x3y2z及方程x+y+z一3+e-3=e-(x+y+z)．(*)13、如果x=x(y，z)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿(mǎn)足x(1，1)=1，又u=f(x(y，z)，y，z)，求；標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，為f[x(y，z)，y，z]對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，故有=2x3yz．①因?yàn)轭}設(shè)方程(*)確定x為y，z的隱函數(shù)，所以在(*)兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)將z看成常量，從而有知識(shí)點(diǎn)解析：f是x，y，z的函數(shù)，而x和z又分別是y，z和x，y的函數(shù)，所以在(Ⅰ)中把x看成中間變量，在(Ⅱ)中把z看成中間變量．14、如果z=z(x，y)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿(mǎn)足z(1，1)=1，又w=f(x，y，z(x，y))，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：同(Ⅰ)一樣，求得在題設(shè)方程(*)中將x看成常量，對(duì)y求導(dǎo)，可得=一1，故有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)z=f(x，y，u)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u(x，y)由方程u5—5xy+5u=1確定．求．標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程u5一5xy+5u=1兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得5u4u’x一5y+5u’x=0，解得u’x=，故z’x=f’1+f’3ux=f’1+f’3．在上式對(duì)x求導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)注意其中的f’1，f’3仍是x，y，u的函數(shù)，而u又是x，y的函數(shù)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：z是x，y，u的函數(shù)，而u是由方程u5一5xy+5u=1所確定的x，y的隱函數(shù)，所以本題是隱函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題．16、設(shè)u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx確定了函數(shù)u=u(x)，其中f，φ都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且．標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知①其中上式中的表示由方程φ(x2，esinx，z)=0所確定的函數(shù)z=z(x)的導(dǎo)數(shù)．由φ(x2，esinx，z)=0兩端對(duì)x求導(dǎo)得φ’12x+φ’2esinxcosx+φ’3(2xφ’1+φ’2esinxcosx)．將dz代入①式即得(2xφ’1+φ’2eycosx)．知識(shí)點(diǎn)解析：將y=sinx代入φ(x2，ey，z)=0得φ(x2，esinx，z)=0，該式可確定z是x的函數(shù)，即z=z(x)，因此，u是x的一元函數(shù)，然后按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求解．17、設(shè)y=f(x，t)，且方程F(x，y，z)=0確定了函數(shù)t=t(x，y)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=f(x，t(x，y))兩端對(duì)x求導(dǎo)得①而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所確定，則知識(shí)點(diǎn)解析：由本題要求的知，y應(yīng)該是x的一元函數(shù)，分析清楚這一點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由題設(shè)知F(x，y，t)=0確定了t=t(x，y)，將t=t(x，y)代入y=f(x，t)得y=f(x，t(x，y))，這是關(guān)于x和y的方程，它可確定y是x的一元函數(shù)．另一種方法是利用一階全微分形式不變性求解．18、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(y)連續(xù)可導(dǎo)，且g(y)在y=1處取得極值g(1)=2．求復(fù)合函數(shù)z=f(xg(y)，x+y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1，1)處的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：計(jì)算可得=g(y)f’1(xg(y)，x+y)+f’2(xg(y)，x+y)，=g’(y)f’1(xg(y)，x+y)+g(y)[f"11(xg(y)，x+y)．xg’(y)+f"12(xg(y)，x+y)]+f"21(xg(y)，x+y)．xg’(y)+f"22(xg(y)，x+y)．將x=1與y=1代入并利用g(1)=2，g’(1)=0即得=g’(1)f’1(2，2)+g(1)[f"11(2，2)g’(1)+f"12(2，2)]+f"21(2，2)g’(1)+f"22(2，2)=2f"12(2，2)+f"22(2，2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(a，b)的某鄰域具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f’y(a，b)≠0，證明由方程f(x，y)=0在x=a的某鄰域所確定的隱函數(shù)y=φ(x)在x=a處取得極值b=φ(a)的必要條件是：f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，且當(dāng)r(a，b)＞0時(shí)，b=φ(a)是極大值；當(dāng)r(a，b)＜0時(shí)，b=φ(a)是極小值，其中r(a，b)=．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=φ(x)在x=a處取得極值的必要條件是φ’(a)=0．按隱函數(shù)求導(dǎo)法，φ’(x)滿(mǎn)足f’x(x，φ(x))+f’y(x，φ(x))φ’(x)=0．(*)因b=φ(a)，則有f(a，b)=0，φ’(a)==0，于是f’x(a，b)=0．將(*)式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f"xx(x，φ(x))+f"xy(x，φ(x))φ’(x)+[f’y(x，φ(x))]φ’(x)+f’y(x，φ(x))φ"(x)=0，上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得因此當(dāng)＞0時(shí)，φ"(a)＜0，故b=φ(a)是極大值；當(dāng)＜0時(shí)，φ"(a)＞0，故b=φ(a)是極小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求使得不等式≤ln(x2+y2)≤A(x2+y2)在區(qū)域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}內(nèi)成立的最小正數(shù)A與最大負(fù)數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)答案：在區(qū)域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}內(nèi)ln(x2+y2)≤A(x2+y2)≤A，因此使上式成立的常數(shù)A的最小值就是函數(shù)f(x，y)=在區(qū)域D上的最大值．令r=x2+y2則A的最小值就是函數(shù)F(r)=在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的最大值．計(jì)算可得這表明F(r)在(0，+∞)內(nèi)的最大值是F(e)=．在區(qū)域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}內(nèi)＜ln(x2+y2)→B≤xyln(x2+y2)，因此使上式成立的常數(shù)B的最大值就是函數(shù)g(x，y)=xyln(x2+y2)在區(qū)域D上的最小值．計(jì)算可得由此可知g(x，y)在D中有唯一駐點(diǎn)．因?yàn)樵趨^(qū)域D的邊界{(x，y)｜x=0，y≥0}與{(x，y)｜x≥0，y=0}上函數(shù)g(x，y)=0，而且當(dāng)x2+y2≥1時(shí)g(x，y)≥0，從而就是g(x，y)在D內(nèi)的最小值．即B的最大值是一．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、試求多項(xiàng)式p(x)=x2+ax+b，使積分∫-11p2(x)dx取最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是要確定a，b的值，使積分∫-11p2(x)dx取最小值，因此可把定積分看成a，b的二元函數(shù)求極值．記f(a，b)=∫-11p2(x)dx=∫-11(x2+ax+b2)dx所以點(diǎn)(0，一)是極小值點(diǎn)，由于駐點(diǎn)唯一，該點(diǎn)也就是最小值點(diǎn)，故p(x)=x2一．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x和y(單位：噸)時(shí)的總收益函數(shù)為R(x，y)=42x+27y一4x2—2xy—y2，總成本函數(shù)為C(x，y)=36+8x+12y(單位：萬(wàn)元)．除此之外，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸還需分別支付排污費(fèi)2萬(wàn)元，1萬(wàn)元．22、在不限制排污費(fèi)用支出的情況下，這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少?lài)崟r(shí)總利潤(rùn)最大?總利潤(rùn)是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題設(shè)知該廠(chǎng)生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的總利潤(rùn)函數(shù)L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)一2x一y=42x+27y一4x2—2xy—y2—36—8x一12y一2x—y=32x+14y一4x2—2xy—y2—36．求L(x，y)的駐點(diǎn)：令可解得唯一駐點(diǎn)(3，4)．因L(x，y)的駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題必有最大利潤(rùn)，故計(jì)算結(jié)果表明，在不限制排污費(fèi)用支出的情況下，當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x=3(噸)與y=4(噸)時(shí)總利潤(rùn)L(x，y)取得最大值且maxL=L(3，4)=40(萬(wàn)元)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、當(dāng)限制排污費(fèi)用支出總額為8萬(wàn)元的條件下，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大?最大總利潤(rùn)是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)限制排污費(fèi)用支出總額為8萬(wàn)元的條件時(shí)應(yīng)求總利潤(rùn)函數(shù)L(x，y)在約束條件2x+y=8即2x+y一8=0下的條件最大值．可用拉格朗日乘數(shù)法，為此引入拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y一8)，為求F(x，y，λ)的駐點(diǎn)，令由①，②兩式消去參數(shù)λ可得2x—y一2=0，與③聯(lián)立可得唯一駐點(diǎn)(2．5，3)．因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題必有最大利潤(rùn)，故計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)排污費(fèi)用限于8萬(wàn)元的條件下，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x=2．5(噸)與y=3(噸)時(shí)總利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)maxL=L(2．5，3)=37(萬(wàn)元)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投甲、乙兩種原料，x1和x2(單位：噸)分別是它們各自的投入量，則該產(chǎn)品的產(chǎn)出量為Q=2xαxβ(單位：噸)，其中常數(shù)α＞0，β＞0且α+β=1．如果兩種原料的價(jià)格分別為p1與p2(單位：萬(wàn)元／噸)．試問(wèn)，當(dāng)投入兩種原料的總費(fèi)用為P(單位：萬(wàn)元)時(shí)，兩種原料各投入多少可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知應(yīng)求函數(shù)Q=2x1αx2β在條件p1x1+p2x2=P之下的最大值點(diǎn)．用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x1，x2，λ)=2x1αx2β+λ(p1x1+p2x2一P)，為求F(x1，x2，λ)的駐點(diǎn)，解方程組因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題必有最大產(chǎn)出量，故計(jì)算結(jié)果表明，在兩種原料投入的總費(fèi)用為P(萬(wàn)元)時(shí)，這兩種原料的投入量分別為x1=(噸)時(shí)可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、已知三角形的周長(zhǎng)為2p，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一立體，求使立體體積最大的那個(gè)三角形．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，并設(shè)以AC邊為旋轉(zhuǎn)軸(見(jiàn)圖4．6)，AC上的高為h，則旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為V=πh2b．又設(shè)三角形的面積為S，于是有問(wèn)題化成求V(a，b，c)在條件a+b+c一2p=0下的最大值點(diǎn)，等價(jià)于求V0(a，b，c)=ln(p—a)(p一b)(p—c)=ln(p—a)+ln(p一b)+ln(p—c)一lnb在條件a+b+c一2p=0下的最大值點(diǎn)．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c一2p)，求解方程組比較①，③得a=c，再由④得b=2(p一a)．⑤比較①，②得b(p一b)=(p—a)p．⑥由⑤，⑥解出b=．由實(shí)際問(wèn)題知，最大體積一定存在，而以上解又是方程組的唯一解．因而也是條件最大值點(diǎn)．所以當(dāng)三角形的邊長(zhǎng)分別為的邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得立體體積最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、證明不等式：。標(biāo)準(zhǔn)答案：由以上分析知其中D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2，x≥0，y≥0}．知識(shí)點(diǎn)解析：由定積分與積分變量所選用的字母無(wú)關(guān)可知=dxdy．此二重積分的積分區(qū)域D為正方形，即D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．現(xiàn)將該積分區(qū)域D作放縮，取D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2，x≥0，y≥0}，顯然D1＞0，根據(jù)二重積分性質(zhì)，有再對(duì)不等式兩端作極坐標(biāo)變換，即可得到所要證明結(jié)果．考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)f（x）在（一∞，+∞）內(nèi)有定義，且則（）A、x=0必是g（x）的第一類(lèi)間斷點(diǎn)B、x=0必是g（x）的第二類(lèi)間斷點(diǎn)C、x=0必是g（x）的連續(xù)點(diǎn)D、g（x）在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橛謌（0）=0，所以當(dāng)a=0時(shí)，有此時(shí)g（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，當(dāng)a≠0時(shí)，≠g（0），即x=0是g（x）的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。因此，g（x）在x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選D。2、設(shè)其中a2+c2≠0，則必有（）A、b=4dB、b=—4dC、a=4cD、a=—4c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，由佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可知，tanx，ln（1—2x）均為x的一階無(wú)窮??；而1—cosx，1—e—x2均為x的二階無(wú)窮小，因此有故有=2，即a=—4c，故選D。3、設(shè)函數(shù)f（x）在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f（x）在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因如果此極限存在，則由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)f（x）在x=a處可導(dǎo)，即該極限存在是f（x）在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件。故選D。4、設(shè)f（x）=arctanx—（x≥1），則（）A、f（x）在[1，+∞）單調(diào)增加B、f（x）在[1，+∞）單調(diào)減少C、f（x）在[1，+∞）為常數(shù)D、f（x）在[1，+∞）為常數(shù)0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：按選項(xiàng)要求，先求f’（x）。又f（x）在[1，+∞）連續(xù)，則f（x）=常數(shù)=f（1）=。故選C。5、設(shè)函數(shù)f（x）在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，且則在x=a處（）A、f（x）的導(dǎo)數(shù)存在，且f’（a）≠0B、f（x）取得極大值C、f（x）取得極小值D、f（x）的導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用賦值法求解。取f（x）—f（a）=一（x—a）2，顯然滿(mǎn)足題設(shè)條件，而此時(shí)f（x）為一開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，必在其頂點(diǎn)x=a處取得極大值，故選B。6、使不等式＞lnx成立的x的范圍是（）A、（0，1）B、C、D、（π，+∞）標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：原問(wèn)題可化為求成立時(shí)x的取值范圍，由＞0，t∈（0，1）知，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞0。故應(yīng)選A。7、已知fx’（x0，y0）存在，則A、fx’（x0，y0）B、0C、2fx’（x0，y0）D、fx’（x0，y0）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意=fx’（x0，y0）+fx’（x0，y0）=2fx’（x0，y0），故選C。8、設(shè)I1=cos（x2+y2）dσ，I3=cos（x2+y2）2dσ，其中D={（x，y）|x2+y2≤1}，則（）A、I3＞I2＞I1B、I1＞I2＞I3C、I2＞I1＞I3D、I3＞I1＞I2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)域D={（x，y）|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有≥x2+y2≥（x2+y2）2≥0。已知函數(shù)cosx在上為單調(diào)減函數(shù)，于是≤cos（x2+y2）≤cos（x2+y2）2因此cos（x2+y2）dσ＜cos（x2+y2）2dσ故應(yīng)選A。9、設(shè)函數(shù)f（t）連續(xù)，則二重積分dθ∫2cosθ2f（r2）rdr=（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榍€(xiàn)r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=2x，即（x—1）2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得原式=∫02dxf（x2+y2）dy。10、an和bn符合下列哪一個(gè)條件可由an發(fā)散得出bn發(fā)散？（）A、an≤bnB、|an|≤bnC、an≤|bn|D、|an|≤|bn|標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：反證法。如果bn收斂，由|an|≤bn知，|an|收斂，從而an收斂與題設(shè)矛盾，故選B。11、微分方程xdy+2ydx=0滿(mǎn)足初始條件y|x=2=1的特解為（）A、xy2=4B、xy=4C、x2y=4D、一xy=4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原微分方程分離變量得兩端積分得ln|y|=一2ln|x|+lnC，x2y=C，將y|x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4。應(yīng)選C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)12、若f（x）=在（一∞，+∞）內(nèi)連續(xù)，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒（x）在（一∞，0）及（0，+∞）內(nèi)連續(xù)，所以需要確定數(shù)a，使f（x）在x=0處連續(xù)。當(dāng)時(shí)，f（x）在x=0處連續(xù)，因此a=0時(shí)，f（x）在（一∞，+∞）內(nèi)連續(xù)。13、設(shè)函數(shù)f（x）在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’（x）=ef（x），f（2）=1，則f"’（2）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2e3知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，f’（x）=ff（x），兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f"（x）=ef（x）f’（x）=e2f（x），f"’（x）=2e2f（x）f’（x）=2e3f（x）。又f（2）=1，故f"’（2）=2e3f（x）=2e3。14、設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）與y=x2—x在點(diǎn)（1，0）處有公共的切線(xiàn)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—2知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)已知條件有15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：17、設(shè)函數(shù)，則dz|（1，1）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（1+2ln2）dx+（—1—2ln2）dy知識(shí)點(diǎn)解析：18、設(shè)平面區(qū)域D由直線(xiàn)y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分xydσ=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題可以利用極坐標(biāo)變換，，0≤r≤2sinθ。因此19、無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在原級(jí)數(shù)中令=t，原級(jí)數(shù)可化為ntn，只需討論ntn的收斂半徑和收斂區(qū)間即可。對(duì)于級(jí)數(shù)ntn，由于因此，ntn的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（一1，1）。由于=t，t∈（0，1）所以x=，即原級(jí)數(shù)x2n的收斂區(qū)間為20、微分方程xy’+y=0滿(mǎn)足初始條件y（1）=2的特解為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為（xy）’=0，積分得xy=C，代入初始條件得C=2，故所求特解為xy=2，即21、設(shè)y=ex（asinx+bcosx）（a，b為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解，則該方程為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y"一2y’+2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個(gè)根是r1，r2=1±i，因此特征方程為（r—r1）（r—r2）=r2一（r1+r2）r+r1r2=r2一2r+2=0，故所求微分方程為y"一2y’+2y=0。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)22、求函數(shù)f（x）=的所有間斷點(diǎn)及其類(lèi)型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f（x）有可疑間斷點(diǎn)x=0，x=1，x=—1，且所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)，x=1為可去間斷點(diǎn)，x=—1為無(wú)窮間斷點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：由f（x）=—1+，由基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)公式可知，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ∈（a，b），使得f（b）一f（a）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）證明：若函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，在（0，δ）（δ＞0）內(nèi)可導(dǎo)，且f’（x）=A，則f+’（0）存在，且f+’（0）=A。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）作輔助函數(shù)φ（x）=f（x）—f（a）一，易驗(yàn)證φ（x）滿(mǎn)足：φ（a）=φ（b）；φ（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且根據(jù)羅爾定理，可得在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使φ’（ξ）=0，即所以f（b）—f（a）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）任取x0∈（0，δ），則函數(shù)f（x）滿(mǎn)足在閉區(qū)間[0，x0]上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間（0，x0）內(nèi)可導(dǎo)，因此由拉格朗日中值定理可得，存在，使得又由于f’（x）=A，對(duì)（*）式兩邊取x0→0+時(shí)的極限故f+’（0）存在，且f+’（0）=A。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲線(xiàn)y=f（x）與x軸所圍封閉圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閠|t|為奇函數(shù)，可知其原函數(shù)f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt為偶函數(shù)，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）與x軸有交點(diǎn)（—1，0），（1，0）。又由f’（x）=x|x|，可知x＜0時(shí)，f’（x）＜0，故f（x）單調(diào)減少，從而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；當(dāng)x＞0時(shí)，f’（x）=x|x|＞0，故x＞0時(shí)f（x）單調(diào)增加，且y=f（x）與x軸有唯一交點(diǎn)（1，0）。因此y=f（x）與x軸交點(diǎn)僅有兩個(gè)。所以封閉曲線(xiàn)所圍面積A=∫—11|f（x）|d=2∫—10|f（x）|dx。當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10一t2dt=（1+x3），故A=2∫—10（1+x3）dx=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)z=f（x+y，x—y，xy），其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f1"+f2"+yf3"，=f1’—f2’+xf3’，所以=（f1’+f2’+yf3’）dx+（f1’—f2’+xf3’）dy，=f11"．1+f12"．（—1）+f13"．x+f21"．1+f22"．（—1）+f23"．x+f3’+y[f31"．1+f32"．（—1）+f33"．x]=f3’+f11"—f22"+xyf33"+（x+y）f13"+（x—y）f23"。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、已知函數(shù)z=f（x，y）的全微分出=2xdx—2ydy，并且f（1，1）=2。求f（x，y）在橢圓域D={（x，y）|x2+≤1}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知=—2y，于是f（x，y）=x2+C（y），且C’（y）=—2y，因此有C（y）=—y2+C，由f（1，1）=2，得C=2，故f（x，y）=x2一y2+2。令=0得可能極值點(diǎn)為x=0，y=0。且△=B2—AC=4＞0，所以點(diǎn)（0，0）不是極值點(diǎn)，也不可能是最值點(diǎn)。下面討論其邊界曲線(xiàn)x2+=1上的情形，令拉格朗日函數(shù)為得可能極值點(diǎn)x=0，y=2，λ=4;x=0，y=—2，λ=4;x=1，y=0，λ=—1;x=—1，y=0，λ=—1。將其分別代入f（x，y）得，f（0，±2）=一2f（±1，0）=3，因此z=f（x，y）在區(qū)域D={（x，y）|x2+≤1}內(nèi)的最大值為3，最小值為—2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、計(jì)算二重積分x（y+1）dσ，其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線(xiàn)y=所圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：引入極坐標(biāo)（r，θ）滿(mǎn)足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)（r，θ）中積分區(qū)域D可表示為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)遞減，且（一1）nan發(fā)散，試問(wèn)級(jí)數(shù)是否收斂?并說(shuō)明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)遞減有下界，由單調(diào)有界原理知極限an存在，將極限記為a，則有an≥a，且a≥0。又因?yàn)椋ㄒ?）nan是發(fā)散的，根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法可知a＞0（否則級(jí)數(shù)（一1）nan是收斂的）。已知正項(xiàng)級(jí)數(shù){an}單調(diào)遞減，因此而收斂，因此根據(jù)比較判別法可知，級(jí)數(shù)也收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、微分方程y’’－4y＝x＋2的通解為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程y’’－4y＝0的特征方程為λ2－4＝0，特征值為－2，2，則方程y’’－4y＝0的通解為C1e－2x＋C2e2x，顯然方程y’’－4y＝x＋2有特解，選(D)．2、極坐標(biāo)下的累次積分dθ∫02cosθ(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：累次積分所對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域?yàn)镈：x2＋y2≤2x(y≥0)，則D＝{(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤)，選(D)．3、設(shè)f(x)連續(xù)，且＝－2，則()．A、f(x)在x＝0處不可導(dǎo)B、f(x)在x＝0處可導(dǎo)且f’(0)≠0C、f(c)在x＝0處取極小值D、f(x)在x＝0處取極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由＝－2得f(0)＝1，由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，＜0，即f(x)＜1＝f(0)，故x＝0為f(x)的極大點(diǎn)，選(D)．4、設(shè)f(x)＝，則f｛f[f(x)]｝等于()．A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f[f(x)]＝因?yàn)椋黤(x)｜≤1，所以f[f(x)]＝1，于是f{f[f(x)]}＝1，選(B)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)在x＝a處可導(dǎo)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：10f(a)f’(a)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x＝a處可導(dǎo)，所以f(x)在x＝a處連續(xù)，＝2f(a)×5f’(a)＝10f(a)f’(a)．7、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)z＝z(x，y)由z＋ez＝xy2確定，則dz＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：z＋ez＝xy2兩邊求微分得d(z＋ez)＝d(xy2)，即dz＋ezdz＝y(tǒng)2dx＋2xydy，解得dz＝．9、設(shè)函數(shù)φ(u)可導(dǎo)且φ(0)＝1，二元函數(shù)z＝φ(x＋y)exy滿(mǎn)足，則φ(u)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x＋y＝u，得＝φ’(u)exy＋yφ(u)exy，＝φ’(u)exy＋xφ(u)exy，＝2φ’(u)exy＋uφ(u)exy，由＝0得2φ’(u)＋uφ(u)＝0或φ’(u)＋φ(u)＝0，解得φ(u)＝，再由φ(0)＝1得C＝1，故φ(u)＝．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)曲線(xiàn)y＝xn在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)(ξn，0)，求ξn2n．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝x2在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)方程為y－1＝n(x－1)，令y＝0得ξn＝1－＝e－2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)y＝，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’＝．2sin(2x＋1)cos(2x＋1)．2sin(4x＋2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)＝0，令g(x)＝(1)求g’(x)；(2)討論g’(x)在x＝0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)椋絝’(0)＝g(0)，所以g(x)在x＝0處連續(xù)．當(dāng)x≠0時(shí)，；當(dāng)x＝0時(shí)，由所以g’(x)在x＝0處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、證明：1＋xln(x＋．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f’(x)＝ln(x＋)＝0，得x＝0，因?yàn)閒’’(x)＝＞0，所以x＝0為f(x)的最小值點(diǎn)，最小值為f(0)＝0，所以有1＋xlnx(x＋知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)＝dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可積，當(dāng)0≤x＜y≤1時(shí)，｜f(x)－f(y)｜≤｜arctanx－arctany｜又f(1)＝0，證明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜f(x)｜＝｜f(x)－f(1)｜＝｜arctanx－arctan1｜＝｜arctanx－｜得｜∫01f(x)dx｜≤∫01｜f(x)｜dx≤∫01｜arctanx－arctanx)dx＝－∫01＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)z＝y(tǒng)f(x2－y2)，其中f可導(dǎo)，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2xyf’(x2－y2)，＝f(x2－y2)－2y2f’(x2－y2)，則＝2yf’(x2－y2)＋(x2－y2)－2yf’(x2－y2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)變換可把方程＝0，求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u，v作為中間變量，則函數(shù)關(guān)系為z＝f(u，v)，，則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算(3xy＋y2)dσ，其中D由y＝x2，y＝4x2及y＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：(3xy＋y2)dσ＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)an＝2，an＋1＝(n＝1，2，…)．證明：(1)an存在；(2)級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)閍n＋1＝，所以單調(diào)減少，而an≥0，即是單調(diào)減少有下界的數(shù)列，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則an存在．(2)由(1)得0≤≤an－an＋1，對(duì)級(jí)數(shù)(an－an＋1)，Sn＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)＝2－an＋1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求微分方程xy’＋(1－x)y＝e2x(x＞0)滿(mǎn)足y(x)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求微分方程y’’＋y＝x2＋3＋cosx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋1＝0，特征值為λ1＝－i，λ2＝i，方程y’’＋y＝0的通解為y＝C1cosx＋C2sinx．對(duì)方程y’’＋y＝x2＋3，特解為y1＝x2＋1；對(duì)方程y’’＋y＝cosx，特解為xsinx，原方程的特解為x2＋1＋xsinx，則原方程的通解為y＝C1cosx＋C2sinx＋x2＋1＋xsinx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)un=(一1)nln(1+)，則下列結(jié)論成立的有()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)，un2=ln2un2發(fā)散，故選C．2、已知級(jí)數(shù)=()．A、3B、7C、8D、9標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故選C．3、若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(an+an+1一an+2)收斂于()．A、S+a1B、S+a2C、S+a1一a2D、S+a2一a1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：=S+(S—a1)一(S—a1—a2)=S+a2．4、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)也收斂．A、k＜0B、k=0C、0＜k＜1D、k＞1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、在(一1，1)內(nèi)，冪級(jí)數(shù)(一1)nnxn+1的和函數(shù)為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設(shè)an＞0，p＞1，且收斂，則p的取值范圍為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：p＞2．知識(shí)點(diǎn)解析：由于收斂，故p＞2．7、級(jí)數(shù)(a＞1)的收斂半徑R=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：+∞．知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗?，R=+∞．8、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一3，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗援?dāng)｜x+1｜＜2，即一3＜x＜1時(shí)，原冪級(jí)數(shù)收斂．當(dāng)x=一3時(shí)，原冪級(jí)數(shù)為發(fā)散．綜上所述，原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一3，1)．9、將函數(shù)f(x)=x4一2x3+3x2+1改寫(xiě)為(x一1)的冪函數(shù)f(x)=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：(x一1)4+2(x一1)3+3(x一1)2+4(x一1)+3．知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(x)=4x3一6x2+6x，f’(1)=4；f"(x)=12x2一12x+6，f"(1)=6；f"’(x)=24x一12，f"’(1)=12；f(4)(z)=24，f(4)(1)=24．所以，f(x)=f(1)+f’(1)(x—1)+(x—1)4=(x一1)4+2(x一1)3+3(x一1)2+4(x一1)+3．10、級(jí)數(shù)的和是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：cos1—sin1．知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)的和三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、討論級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所給級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)．若用交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法，則比較復(fù)雜．若改用等價(jià)無(wú)窮小及收斂級(jí)數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系則較為容易．12、證明級(jí)數(shù)收斂，且其和數(shù)小于1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分的中值定理，知，其中ξ∈(n，n+1)．于是，知識(shí)點(diǎn)解析：首先，判斷該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)．其次，利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，判別其收斂，且其和小于1．13、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、判別級(jí)數(shù)+…的收斂性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、討論級(jí)數(shù)(p＞0)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)比值判別法，因?yàn)橛山诲e(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法與取絕對(duì)值后的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法知：知識(shí)點(diǎn)解析：本題首先要討論常數(shù)a的取值情況．當(dāng)｜a｜=1時(shí)，還要進(jìn)一步討論p的取值情況．16、已知函數(shù)y=y(x)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)’=x+y，且y(0)=1．試討論級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥’=x+y，所以y"=1+y’．由y(0)=1，得y’(0)=1，y"(0)=2．根據(jù)麥克勞林公式，得知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥(x)是已知微分方程的一個(gè)特解，則由麥克勞林公式討論級(jí)數(shù)的斂散性．17、已知{an}是單調(diào)增加且有界的正數(shù)列，證明：級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：且其部分和數(shù)列有界，因此它收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿(mǎn)足0＜an＜收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：第一問(wèn)利用夾逼定理，第二問(wèn)利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式可得．19、證明：正項(xiàng)級(jí)數(shù)an與數(shù)列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同斂散的．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榧?jí)數(shù)an的前n項(xiàng)的部分和Sn為Sn=a1+a2+…+an≤(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)≤，由此可見(jiàn)，前n項(xiàng)的部分和Sn與單調(diào)增加數(shù)列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同時(shí)有界或同時(shí)無(wú)界．因此，正項(xiàng)級(jí)數(shù)an與數(shù)列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同斂散的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)偶函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f"(x)在點(diǎn)x=0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=1．試證：級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)=一f’(一x)，且f’(0)=0．根據(jù)二階臺(tái)勞公式展開(kāi)式，有由于f"(x)在點(diǎn)x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，知存在正數(shù)M＞0，使得在點(diǎn)x=0的一個(gè)鄰域知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)u=一1時(shí)，新級(jí)數(shù)為發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式知，新級(jí)數(shù)發(fā)散．當(dāng)u=1時(shí)，新級(jí)數(shù)為單調(diào)有界，則新級(jí)數(shù)收斂．于是，新級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一1，1]，從而原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐?＜≤1．解此不等式，即得原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閧x｜x≤一1，或x＞一}．知識(shí)點(diǎn)解析：求形如anxn冪級(jí)數(shù)的收斂域．22、求級(jí)數(shù)的和S．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知a0=3，a1=5，對(duì)任意的n＞1，有nan=an—1—(n一1)an—1．證明：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)anxn收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由此冪級(jí)數(shù)的構(gòu)成知，本題可以先求收斂域再求和函數(shù)；也可以先通過(guò)幾何級(jí)數(shù)求導(dǎo)和求積分得到和函數(shù)，再由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)得收斂半徑，然后討論端點(diǎn)處的收斂性，得冪級(jí)數(shù)的收斂域．25、設(shè)數(shù)列{an}=0滿(mǎn)足條件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，S(x)是冪級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)．(1)證明S"(x)一S(x)=0；(2)求S(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：故S"(x)一S(x)=0．(2)由(1)得關(guān)于S(x)的微分方程S"(z)一S(x)=0，對(duì)應(yīng)的特征方程為λ2一1=0解得特征根為λ1=一1，λ2=1，所以方程通解為S(x)=C1e—x+C2ex．由S(0)=a0=3，有C1+C2=3，S’(0)=a1=1，有一C1+C2=1，易知C1=1，C2=2．所以S(x)的表達(dá)式為S(x)=e—x+2ex．知識(shí)點(diǎn)解析：利用冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)求解．26、將函數(shù)f(x)=ln(4—3x—x2)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(4—3x—x2)=ln(4+x)+ln(1一x)，而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、將函數(shù)f(x)=展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=1一x+x16一x17…+x16n一x16n+1+…，x∈(一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)函數(shù)f(x)=的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)在x＝a處二階可導(dǎo)，則等于()．A、－f’’(a)B、f’’(a)C、2f’’(a)D、f’’(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線(xiàn)y＝f(x)的拐點(diǎn)D、f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線(xiàn)y＝f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由＞0，則存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x－2｜＜δ時(shí)，有＞0，即當(dāng)x∈(2－δ，2)時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x∈(2，2＋δ)時(shí)，f’(x)＞0，于是x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)，選(A)．3、若由曲線(xiàn)y＝，曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)以及x＝1，x＝3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線(xiàn)是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：曲線(xiàn)y＝2處的切線(xiàn)方程為y＝，由于切線(xiàn)位于曲線(xiàn)y＝2的上方，所以由曲線(xiàn)y＝2，切線(xiàn)及x＝1，x＝3圍成的面積為S＝S(t)＝∫13S’(t)＝t＝2．當(dāng)t∈(0，2)時(shí)，S’(t)＜0；當(dāng)t∈(2，3)時(shí)，S’(t)＞0，則當(dāng)t＝2時(shí)，S(t)取最小值，此時(shí)切線(xiàn)方程為y＝，選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)函數(shù)y＝f滿(mǎn)足f’(x)＝arctan＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(xin2)＝＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin2＋C知識(shí)點(diǎn)解析：7、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)u＝u(x，y)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且，若u(x，3x)＝x，u’x(x，3x)＝x3，則u’’xy(x，3x)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：u(x，3x)＝x兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得u’x(x，3x)＋3u’y(x，3x)＝1，再對(duì)x求導(dǎo)，得u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＋9u’’yy(x，3x)＝0．由，得10u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＝0，u’x＝x3兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得u’’xx(x，3x)＋3u’’xy(x，3x)＝3x2，解得u’’xy(x，3x)＝．9、微分方程xy’＝＋y(x＞0)的通解為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：lnx＋C知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)f(x)在[a,＋∞)上連續(xù)，f(x)＜0，而f(x)存在且大于零．證明：f(x)在(a，＋∞)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝k＞0，取ε0＝＞，因?yàn)閒(x)＝k＞0，所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時(shí)，有｜f(x)－k｜≤，