吉林省吉林市第五十五中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末考試試題

PAGEPAGE7吉林省吉林市第五十五中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末考試試題一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1．i是虛數(shù)單位，復數(shù)eq\f(7－i,3＋i)＝()A．2＋i B．2－iC．－2＋i D．－2－i答案：B2．已知平面對量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3bA．(－5，－10) B．(－4，－8)C．(－3，－6) D．(－2，－4)答案：B.3.已知一組數(shù)據(jù)為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是()A.47B.49C.7D.15答案:D4.如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等邊三角形答案：C.5.甲、乙兩名學生通過某種聽力測試的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，兩人同時參與測試，其中有且只有一人能通過的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.1答案：C6.某高校在2024年新增設的“人工智能”專業(yè)，共招收了兩個班，其中甲班30人，乙班40人，在2025屆高考中，甲班學生的平均分為665分，方差為131，乙班學生平均分為658分，方差為208.則該專業(yè)全部學生在2024年高考中的平均分和方差分別為()A.661.5,169.5 B.661,187C.661,175 D.660,180答案B7．兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站北偏東40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案：B.8.袋子中有四個小球，分別寫有“和、平、世、界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0,1,2,3代表“和、平、世、界”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下24個隨機數(shù)組：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,24)答案A9.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,則下面命題i正確的為()A.α∥β?l⊥mB.α⊥β?l∥mC.l∥m?α⊥βD.l⊥m?m與α不相交答案：D10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個說法中不正確的是()A.若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC肯定是等邊三角形B.若acosA＝bcosB，則△ABC肯定是等腰三角形C.若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC肯定是等腰三角形D.若a2＋b2－c2>0，則△ABC不肯定是銳角三角形答案B二、選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．11．下列說法中正確的是()A．若事務A與事務B互斥，則P(A)＋P(B)＝1B．若事務A與事務B滿意P(A)＋P(B)＝1，則事務A與事務B為對立事務C．“事務A與事務B互斥”是“事務A與事務B對立”的必要不充分條件D．某人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事務“至少有一次中靶”與事務“至多有一次中靶”互為對立事務【答案】C12．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，則下列結論中正確的是()A．a(chǎn)為單位向量 B．a(chǎn)⊥bC．b∥eq\o(BC,\s\up6(→)) D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))【答案】ACD三、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分，請把答案填寫在題中橫線上)13．假如數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)是eq\x\to(x)，方差是s2，則3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均數(shù)為______方差分別是_______答案：3eq\x\to(x)＋2和9s214．體積為8的正方體的頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________.答案：12π15．若復數(shù)z滿意(3－4i)z＝4＋3i，則|z|＝________.答案：116.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M為腰BC的中點，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝________.答案217．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b答案：718．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，則sinB＝_______，c＝________.答案：eq\f(\r(21),7)3四、解答題(本大題共5小題，共60分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)19.(12分)已知一組數(shù)據(jù)：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填寫下面的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[121,123)[123,125)[125,127)[127,129)[129,131]合計(2)作出頻率分布直方圖；(3)依據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).答案：解(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[121,123)20.10[123,125)30.15[125,127)80.40[127,129)40.20[129,131]30.15合計201.00(2)頻率分布直方圖如下：(3)在[125,127)中的數(shù)據(jù)最多，取這個區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)126，事實上，眾數(shù)的精確值為125.圖中虛線對應的數(shù)據(jù)是125＋2×eq\f(5,8)＝126.25，事實上中位數(shù)為125.5.運用“組中值”求平均數(shù)：eq\x\to(x)＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均數(shù)的精確值為eq\x\to(x)＝125.75.20.(12分)如圖所示，平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，H，M分別是AD，DC的中點，F(xiàn)為BC上一點，且BF＝eq\f(1,3)BC.(1)以a，b為基底表示向量eq\o(AM,\s\up7(―→))與eq\o(HF,\s\up7(―→))；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求eq\o(AM,\s\up7(―→))·eq\o(HF,\s\up7(―→)).答案：解：(1)由已知得eq\o(AM,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(DM,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)a＋b.連接AF(圖略)，∵eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BF,\s\up7(―→))＝a＋eq\f(1,3)b，∴eq\o(HF,\s\up7(―→))＝eq\o(HA,\s\up7(―→))＋eq\o(AF,\s\up7(―→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝a－eq\f(1,6)b.(2)由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6，從而eq\o(AM,\s\up7(―→))·eq\o(HF,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(11,12)a·b－eq\f(1,6)|b|2＝eq\f(1,2)×32＋eq\f(11,12)×(－6)－eq\f(1,6)×42＝－eq\f(11,3).21.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=3,cosA=QUOTE,B=A+QUOTE.(1)求b的值;(2)求△ABC的面積.【答案】(1)在△ABC中,由題意知,sinA=QUOTE=QUOTE,又因為B=A+QUOTE,所以sinB=sinQUOTE=cosA=QUOTE,由正弦定理,得b=QUOTE=QUOTE=3QUOTE.(2)由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE?c2-4QUOTEc+9=0?c=QUOTE或3QUOTE,又因為B=A+QUOTE為鈍角,所以b>c,即c=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE.22.(12分)為了了解某市工廠開展群眾體育活動的狀況，擬采納分層隨機抽樣的方法從A，B，C三個區(qū)抽取7個工廠進行調(diào)查.已知A，B，C區(qū)分別有18,27,18個工廠.(1)求從A，B，C區(qū)分別抽取的工廠個數(shù)；(2)若從抽得的7個工廠中隨機地抽取2個進行調(diào)查結果對比，求這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率.答案：解(1)工廠總數(shù)為18＋27＋18＝63，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為eq\f(7,63)＝eq\f(1,9)，所以從A，B，C三個區(qū)分別抽取的工廠個數(shù)為2,3,2.(2)設A1，A2為在A區(qū)中抽得的2個工廠，B1，B2，B3為在B區(qū)中抽得的3個工廠，C1，C2為在C區(qū)中抽得的2個工廠，在這7個工廠中隨機抽取2個，全部可能的結果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21種.隨機抽取的2個工廠至少有1個來自A區(qū)(記為事務X)的結果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11種，所以這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率為P(X)＝eq\f(11,21).23.(12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=QUOTE.M,N分別為BC和CC1的中點,P為側棱BB1上的動點.(1)求證:平面APM⊥平面BB1C(2)若P為線段BB1的中點,求證:A1N∥平面APM.【答案】(1)由已知,M為BC中點,且AB=AC,所以AM⊥BC.又因為BB1∥AA1,且AA1⊥底面ABC,所以BB1⊥底面ABC.因為AM?底面ABC,所以BB1⊥AM,又BB1∩BC=B,所以AM⊥平面BB1C又因為