2.3.1雙曲線及其標準方程

2.3.1雙曲線及其標準方程【教學目標】

知識與技能：了解雙曲線的定義，幾何圖形，標準方程，熟練掌握用待定系數法求雙曲線的標準方程．利用雙曲線的有關知識解決與雙曲線有關的簡單實際應用問題。

過程與方法：類比橢圓的定義，標準方程，得到雙曲線的定義，標準方程，并注意兩者的比較。情感態(tài)度與價值觀：體會運動變化的觀點，數形結合的思想方法，激發(fā)學生將所學知識應用于實際的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學習興趣。【重點與難點】

重點：雙曲線的定義，標準方程；難點：雙曲線標準方程的推導迪拜雙曲線建筑生活中的雙曲線雙曲線型自然通風冷卻塔生活中的雙曲線可口可樂的下半部玉枕的形狀1.橢圓的定義和等于常數2a(2a>|F1F2|>0)的點的軌跡.平面內與兩定點F1、F2的距離的2.引入問題：差等于常數的點的軌跡是什么呢？平面內與兩定點F1、F2的距離的復習思考：平面內與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差為非零常數的點的軌跡是什么？①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的絕對值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a注：當|MF1|-|MF2|=2a時，點M的軌跡為近F2的一支.當|MF1|-|MF2|=-2a時，點M的軌跡為近F1的一支.①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.oF2F1M

平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數的點的軌跡叫做雙曲線.的絕對值（小于︱F1F2︱）注意雙曲線定義:||MF1|-|MF2||

=2a若沒有這個條件，軌跡為雙曲線的一支（1）2a<2c；oF2F1M

平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.（2）2a>0；雙曲線定義思考：（1）若2a=2c,則軌跡是什么？（2）若2a>2c,則軌跡是什么？說明（3）若2a=0,則軌跡是什么？(1)F1F2延長線和反向延長線(兩條射線)(2)軌跡不存在(3)線段F1F2的垂直平分線F2F1MxOy求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程1.建系.以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系2.設點．設M（x,y）,則F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化簡此即為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程F2F1MxOyOMF2F1xy若建系時,焦點在y軸上呢?c2=a2＋b2問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？練習：寫出以下雙曲線的焦點坐標F(±5,0)F(0,±5)F(±c,0)F(0,±c)看前的系數，哪一個為正，則在哪一個軸上答案：練習

1.判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出及其焦點坐標.2.是否表示雙曲線？

表示焦點在軸上的雙曲線；表示焦點在軸上的雙曲線。分析:定義

方程

焦點a.b.c的關系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有何區(qū)別與聯(lián)系?例1已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.∵

2a=6,

c=5∴

a=3,c=5∴

b2=52-32=16所以所求雙曲線的標準方程為：根據雙曲線的焦點在x軸上，設它的標準方程為：解:例題：歸納：焦點定位，a、b、c三者之二定形練習1:求適合下列條件的雙曲線的標準方程。1、焦點在y軸上2、焦點為且3、經過點若去掉焦點在y軸上的條件呢?4、已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標分別為的標準方程練習:如果方程表示雙曲線， 求m的取值范圍.分析:方程表示雙曲線時，則m的取值范圍_________________.變式:

使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.

例2.已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系xOy,設爆炸點P的坐標為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為

1.

如圖,設點Ａ，Ｂ的坐標分別為(-5,0)，(5,0)．直線AM，BM相交于點Ｍ，且它們的斜率之積是，求點Ｍ的軌跡方程．xyOABM解：設點Ｍ的坐標為(x,y),因為點Ａ的坐標為(-5,0),所以，直線AM的斜率同理，直線BM的斜率由已知有化簡,得點M的軌跡方程為課堂練習2.已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解：設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A

和B，根據兩圓外切的條件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|這表明動點M與兩定點C2、C1的距離的差是常數2．根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a=1，c=3，則b2=8，設點M的坐標為(x，y)，其軌跡方程為：3

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的兩個頂點，且求頂點A的軌跡方程。解：在△ABC中，|BC|=10，故頂點A的軌跡是以B、C為焦點，的雙曲線的左支又因c=5，a=3，則b=4則頂點A的軌跡方程為定義圖象方程焦點a.b.c的關系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)雙曲線定義及標準方程小結作業(yè)導學測評（七）4、雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高55m.選擇適當的坐標系，求出此雙曲線