新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)02 平面向量（易錯題+三大題型）（原卷版）

秘籍02平面向量目錄【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測【應(yīng)試秘籍】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點：投影向量、投影向量的模與向量的投影【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】奔馳定理【題型二】極化恒等式【題型三】等和線概率預(yù)測☆☆☆☆題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測投影向量的概念平面向量是近幾年小題的熱點必考題型，主要考察學(xué)生對于向量的轉(zhuǎn)化也就是基底思想的熟練程度，包含了對于復(fù)雜知識的簡單化也就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想的掌握。近幾年的向量也出現(xiàn)過單選的壓軸題，考察的大多為向量的三大定理之一。還有新教材新加的投影向量也是今年的熱門知識點。注意題目的問法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之間的區(qū)別。易錯點：投影向量、投影向量的模與向量的投影1.同方向單位向量：SKIPIF1<0的同方向單位向量為SKIPIF1<0，指的是方向和SKIPIF1<0相同，模長為1的向量。2.向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影：設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夾角，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影.3.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)SKIPIF1<0為銳角時投影為正值；當(dāng)SKIPIF1<0為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)SKIPIF1<0為直角時投影為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時投影為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時投影為SKIPIF1<0.4.向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量：設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夾角，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量.5.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的長度與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上投影SKIPIF1<0的乘積.易錯提醒：1.投影和投影向量的模都是數(shù)量，區(qū)別在于投影有正負(fù)，投影向量的模永遠(yuǎn)是正值。2.投影向量結(jié)果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向單位向量（方向）。例（多選）（2023·海南·模擬預(yù)測）已知向量SKIPIF1<0，則（

）A．若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上投影向量的模為1D．SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0變式1：（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式2：（多選）（2024·廣東廣州·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，向量SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量相等 D．SKIPIF1<0變式3：（2024·青?！ひ荒＃┮阎蛄縎KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為．【題型一】奔馳定理SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.重要結(jié)論：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.結(jié)論1：對于SKIPIF1<0內(nèi)的任意一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0.即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.結(jié)論2：對于SKIPIF1<0平面內(nèi)的任意一點SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外部，并且在SKIPIF1<0的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時，則有SKIPIF1<0.結(jié)論3：對于SKIPIF1<0內(nèi)的任意一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面積之比為SKIPIF1<0.即若三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對于SKIPIF1<0所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0.奔馳定理與三角形四心的關(guān)系：一、三角形的“重心”1、重心的定義：中線的交點，重心將中線長度分成2:1三角形中線向量式：AM2、重心的性質(zhì)：（1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。（2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。所以二、三角形的“垂心”垂心的定義：高的交點。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。奔馳定理推論：S?BOC:tanA?OA+tanB?三、三角形的“內(nèi)心”1、內(nèi)心的定義：角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)。2、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，四、三角形的“外心”1、外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相等2、常用外心向量式：O是?ABC的外心，1、OA2、OA3、若OA+OB?AB=【例1】（2021·四川涼山·三模）如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)任意一點，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.總有優(yōu)美等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下命題：①若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，則有SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.則正確的命題有.【例2】（多選）（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.以下命題正確的有（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【例3】（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則點P的軌跡一定經(jīng)過SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【變式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（22-23高三上·江西·階段練習(xí)）奔馳定理：已知點O是SKIPIF1<0內(nèi)的一點，若SKIPIF1<0的面積分別記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式3】（2022·安徽·三模）平面上有SKIPIF1<0及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有關(guān)系式SKIPIF1<0．因圖形和奔馳車的SKIPIF1<0很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足SKIPIF1<0，則O為SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【題型二】極化恒等式基礎(chǔ)知識：SKIPIF1<0簡化：在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0.【例1】已知△SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一點，則SKIPIF1<0的最小值是（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例2】在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是________.【例3】已知球SKIPIF1<0的半徑為1，SKIPIF1<0是球面上的兩點，且SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0是球面上任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如圖，已知正方形SKIPIF1<0的邊長為4，若動點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的半圓上（正方形SKIPIF1<0內(nèi)部，含邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024·江西·一模）如圖，正六邊形的邊長為SKIPIF1<0，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸的交點都在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的直徑，點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上任意一點；則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．12 C．16 D．18【題型三】等和線向量基本定理：SKIPIF1<0等和線原理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例1】如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上一點，且滿足：SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0在過點SKIPIF1<0的直線上，若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．3D．SKIPIF1<0【例2】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內(nèi)共線的三個不同的點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線外任意-點，且滿足SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的延長線上，則（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例3】如圖，∠BAC=2π3，圓M與AB、AC分別相切于點D、E，AD=1，點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，且AP=xA．1,4+23B．4?23,4+23【變式1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1