淮北市重點(diǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．2．中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種3．函數(shù)f(x)=2x-3A．[32C．[324．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，則?R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）5．函數(shù)且的圖象是（）A． B．C． D．6．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－7．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C．2 D．-28．觀察下列各式：，，，，，，，，根據(jù)以上規(guī)律，則（）A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．10．如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍為_(kāi)_______.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，則r的取值范圍是________．15．若，則的最小值是______.16．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)構(gòu)成曲線，證明：過(guò)原點(diǎn)的任意直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線的極坐標(biāo)方程為，射線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出曲線的極坐標(biāo)方程，并指出是何種曲線；（Ⅱ）若射線與曲線交于兩點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)的最大值為2.（Ⅰ）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）中,,角所對(duì)的邊分別是，且，求的面積．20．（12分）如圖在四邊形中，，，為中點(diǎn)，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求證:（2）求證:.22．（10分）已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開(kāi)圖（如圖二）中，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：（1）證明：平面平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

首先求得時(shí)，的取值范圍.然后求得時(shí)，的單調(diào)性和零點(diǎn)，令，根據(jù)“時(shí)，的取值范圍”得到，利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí)，.”，所以令，得，因?yàn)?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2．C【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個(gè)位置，有種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b，則函數(shù)fgx4．D【解析】

求函數(shù)的值域得集合，求定義域得集合，根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴?R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.5．B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，排除C，D.又，，在必有零點(diǎn)，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.6．C【解析】

直線過(guò)定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對(duì)稱性可知k=±．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．7．B【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念，屬于基礎(chǔ)題．8．B【解析】

每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算．【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，，，，，，，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng)．9．D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過(guò)點(diǎn)，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.10．D【解析】

先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質(zhì)可得，又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，求得，再求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】，故其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.其位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，屬綜合基礎(chǔ)題.12．B【解析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為常數(shù)，故需滿足，且，解得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為常數(shù)，需滿足，且，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.14．【解析】

設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個(gè)圓的方程，列出方程組，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足題意，點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q（y0，x0），則，故只需圓x2＋（y－1）2＝r2與圓（x－1）2＋（y－2）2＝1有交點(diǎn)即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查圓與圓的位置關(guān)系，其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題，兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的判定方式.15．8【解析】

根據(jù)，利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立.時(shí)，取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.16．0.4【解析】

因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，所.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進(jìn)而可得，即曲線的方程為，進(jìn)而只需證明對(duì)任意，方程有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)，分、和三種情況，分別證明函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，則.令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，時(shí)，；時(shí)，，即時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，取最小值，.（2）證明：由，令，由，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的極值點(diǎn)，則，，，曲線的方程為.故只需證明對(duì)任意，方程有唯一解.令，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.，，，存在滿足時(shí)，使得.又單調(diào)遞增，所以為唯一解.②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，滿足，則恒成立，在上單調(diào)遞增.，，存在使得，又在上單調(diào)遞增，為唯一解.③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，滿足，此時(shí)有兩個(gè)不同的解，不妨設(shè)，，，列表如下：00↗極大值↘極小值↗由表可知，當(dāng)時(shí)，的極大值為.，，，，，..下面來(lái)證明，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，，時(shí)，，，故成立.，存在，使得.又在單調(diào)遞增，為唯一解.所以，對(duì)任意，方程有唯一解，即過(guò)原點(diǎn)任意的直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于難題.18．（Ⅰ），曲線是以為圓心，為半徑的圓；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程，由此能求出曲線的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）令，，則，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍；【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)）化為普通方程為，整理得曲線是以為圓心，為半徑的圓.（Ⅱ）令，，，，面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

(1)由題意，f(x)的最大值為所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得x滿足即所以f(x)在［0,π］上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得化簡(jiǎn)得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故20．（1）1；（2）【解析】

（1），在和中分別運(yùn)用余弦定理可表示出，運(yùn)用算兩次的思想即可求得，進(jìn)而求出；（2）在中，根據(jù)余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性，求出的面積的最大值．【詳解】（1）由題設(shè)，則在和中由余弦定理得：，即解得，∴（2）在中由余弦定理得，即，∴所以面積的最大值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）先根