第01講 函數(shù)的概念及其表示（十六大題型）（講義）（原卷版）

第01講函數(shù)的概念及其表示目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識點(diǎn)1：函數(shù)的概念 4知識點(diǎn)2：函數(shù)的三要素 4知識點(diǎn)3：函數(shù)的表示法 5知識點(diǎn)4：分段函數(shù) 5解題方法總結(jié) 5題型一：函數(shù)的概念 6題型二：同一函數(shù)的判斷 7題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域 8題型四：抽象函數(shù)定義域 8題型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用 9題型六：待定系數(shù)法求解析式 10題型七：換元法求解析式 10題型八：方程組消元法求解析式 11題型九：賦值法求解析式 11題型十：求值域的7個基本方法 12題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域 15題型十二：值域與求參問題 15題型十三：判別式法求值域 16題型十四：三角換元法求值域 16題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題 17題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式 1704真題練習(xí)·命題洞見 1805課本典例·高考素材 1806易錯分析·答題模板 20易錯點(diǎn)：錯求抽象函數(shù)的定義域 20答題模板：求抽象函數(shù)的定義域 20

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域．（2）在實(shí)際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)．（3）了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用．2024年上海卷第2題，5分2024年I卷第8題，5分2023年北京卷第15題，5分2022年浙江卷第14題，5分2021年浙江卷第12題，5分高考對函數(shù)的概念及其表示的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質(zhì)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、掌握函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素2、會求常見函數(shù)的定義域和值域3、掌握求函數(shù)解析式的方法

知識點(diǎn)1：函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．【診斷自測】下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

知識點(diǎn)2：函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)．【診斷自測】下列四組函數(shù)：①；②；③；④；其中表示同一函數(shù)的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．③④知識點(diǎn)3：函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．【診斷自測】已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．知識點(diǎn)4：分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【診斷自測】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2解題方法總結(jié)1、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應(yīng)法則∫下，括號內(nèi)式子的范圍相同；（7）對于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域．2、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時，值域?yàn)?；?dāng)時，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．題型一：函數(shù)的概念【典例1-1】下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】已知是定義在有限實(shí)數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則的值不可能是（

）A．0 B． C． D．【方法技巧】利用函數(shù)概念判斷：（1）A，B是非空的實(shí)數(shù)集；（2）數(shù)集A中的任何一個元素在數(shù)集B中只有一個元素與之對應(yīng)，即“多對一”，不能“一對多”，而數(shù)集B中有可能存在與數(shù)集A中元素不對應(yīng)的元素.【變式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項中，的定義域不可能是（

）A． B．C． D．R【變式1-2】將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到曲線，已知曲線始終保持為函數(shù)圖象，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【變式1-3】存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足對任意，使得下列等式成立的是（

）A． B．C． D．題型二：同一函數(shù)的判斷【典例2-1】下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例2-2】（多選題）下列各項不能表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【方法技巧】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．【變式2-1】（多選題）下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【變式2-2】以下四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【變式2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數(shù)，．（

）A．若，則B．若，則C．對于，若，則D．對于，若，則題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋镜淅?-2】已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?A． B． C． D．【方法技巧】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．【變式3-1】函數(shù)的定義域是.【變式3-2】（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域是.【變式3-3】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域是題型四：抽象函數(shù)定義域【典例4-1】已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【典例4-2】已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【方法技巧】1、抽象函數(shù)的定義域求法：（1）若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域．（2）已知的定義域，求的定義域，則用換元法求解.2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再取交集．【變式4-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋咀兪?-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域.【變式4-3】（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋}型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用【典例5-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【典例5-2】若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式5-2】若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式5-3】當(dāng)時，函數(shù)和有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型六：待定系數(shù)法求解析式【典例6-1】一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則.【典例6-2】已知二次函數(shù)滿足，，則不等式的解集為．【方法技巧】當(dāng)已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解．【變式6-1】已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則的解析式為.【變式6-2】已知二次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，且滿足，則的解析式為.題型七：換元法求解析式【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，則函數(shù)f(x)＝．【典例7-2】已知，則（

）A． B．C． D．【方法技巧】當(dāng)已知表達(dá)式為時，可考慮配湊法或換元法．【變式7-1】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且有唯一解或無解，且對任意，均有，請寫出一個符合條件的.【變式7-2】若是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)都有，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A．4 B．C． D．【變式7-3】（2024·高三·江西·期中）設(shè)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為.【變式7-4】設(shè)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)，且滿足，若對于任意非零實(shí)數(shù)都有，則.題型八：方程組消元法求解析式【典例8-1】已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則=（

）A． B．C． D．【典例8-2】已知，那么．【方法技巧】若已知成對出現(xiàn)，或，等類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個方程，消元的方法求出．【變式8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若，函數(shù)滿足，則．【變式8-2】已知滿足，則．【變式8-3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)滿足，則.題型九：賦值法求解析式【典例9-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，請寫出滿足條件的一個（答案不唯一）．【典例9-2】已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的一個解析式為.【方法技巧】若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用賦值法【變式9-1】已知函數(shù)滿足，則的解析式可以是（寫出滿足條件的一個解析式即可）．【變式9-2】（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）寫出滿足的函數(shù)的解析式．【變式9-3】對，函數(shù)都滿足：①；②；③；則．【變式9-4】設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足：，且當(dāng)時時，，則．題型十：求值域的7個基本方法【典例10-1】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；【典例10-2】求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【方法技巧】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析．（7）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時可利用單調(diào)性法．【變式10-1】求下列函數(shù)的值域．（1）求函數(shù)的值域．（2）求函數(shù)的值域．（3）求函數(shù)，的值域．【變式10-2】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3).【變式10-3】求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域【典例11-1】函數(shù)的值域?yàn)椤镜淅?1-2】函數(shù)的值域?yàn)?【方法技巧】根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何圖形模型．【變式11-1】函數(shù)的值域是．【變式11-2】函數(shù)的值域是．【變式11-3】函數(shù)的值域?yàn)?【變式11-4】函數(shù)的值域?yàn)?題型十二：值域與求參問題【典例12-1】若函數(shù)的值域?yàn)?，則的值為.【典例12-2】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】值域與求參問題通常采用分類討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸等方法解決.【變式12-1】已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式12-2】定義若函數(shù)，則的最大值為；若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為．【變式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．題型十三：判別式法求值域【典例13-1】函數(shù)，的值域?yàn)椋镜淅?3-2】函數(shù)的值域是．【方法技巧】判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．【變式13-1】已知，且，則的取值范圍是.【變式13-2】已知，函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為.【變式13-3】函數(shù)的值域是.題型十四：三角換元法求值域【典例14-1】求函數(shù)的值域.【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【方法技巧】充分利用三角函數(shù)的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．【變式14-1】（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測）函數(shù)的值域?yàn)?題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題【典例15-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．1【典例15-2】已知函數(shù)，若，則（

）A．0 B．2 C． D．2或3【方法技巧】根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先明確自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選擇相應(yīng)的解析式代入解決.【變式15-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則的值為（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或【變式15-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6【變式15-3】（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式【典例16-1】已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例16-2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【方法技巧】已知函數(shù)值或函數(shù)的范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但是一定要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段自變量的范圍.【變式16-1】（2024·湖北·一模）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．【變式16-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已