2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化二輪訓(xùn)練：函數(shù)

高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化專題訓(xùn)練(一)

函數(shù)

已知了⑺為R上的奇函數(shù)，且/(x)+/(2—幻=0,當(dāng)—1。＜0時(shí)，/(尤)=2，，則/'(log220)=,

4

【答案】—《##—0.8

【解析】

【分析】首先推斷函數(shù)的周期，再利用對數(shù)運(yùn)算，以及周期公式，化簡/(log220),最終代入求值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以/(—1)=-4X),

所以/(x)+/(2—*)=。,即/(2—x)=—〃x)=/(—%),

所以函數(shù)/'(x)是周期T=2的函數(shù)，

4

所以“Iog220)=—亍

4

故答案為：-二

設(shè)函數(shù)f(x)=—f+2x+8,g(x)=logax(0<a<l),則函數(shù)y=g(『(x))的減區(qū)間為

A.(—8,1)B.(-2,1)C.(1,+8)D.(1,4)

【答W】B

/(.r)>0

n-2cx<

設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,/(X+1)為奇函數(shù)，y(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，f(x)^a-2x+b.若

/(0)+/(3)=6,則/(log?96)的值是()

A.-12B.-2C.2D.12

【答案】B

【解析】

【分析】由已知對稱性得函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，關(guān)于直線x=2對稱，由此可得了(X)周期函數(shù),

周期為4,然后利用周期性和對稱性結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則求值.

【詳解】/(x+1)為奇函數(shù)，即其圖象關(guān)于(0,0)點(diǎn)對稱，所以/(元)的圖象關(guān)于(L0)點(diǎn)對稱，

/(x+2)為偶函數(shù)，即其圖象關(guān)于了軸對稱，因此/(盼的圖象關(guān)于直線彳=2對稱，

所以/⑴=。，/(0)=-/(2),/⑶=/(1),

所以/(l)=2a+b=0,/(0)+/(3)=—/(2)=—(4。+加=6,由此解得a=—3,b=6,

所以xe[l,2]時(shí)，/(x)=—32+6,

由對稱性得/(%+2)=f(2-x)=-f(l-(l-x))=-f(x),

所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),周期函數(shù)，周期為4,

6<log296<7,

2562Q

/(log96)=/(log96-4)=/(4-log,96+4)=/(log--)=/(log-)=-3x-+6=-2,

2229o233

故選：B.

二項(xiàng)式定理

在(1一56的二項(xiàng)綻開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為

A.-365B.-364C.364D.365

【芥案】D

IHi]心I一口―數(shù)為1,60,240,64.

已知函數(shù)，(%)=(1-2%)6=%+q-+%r2T----16a￡尺，=0,2,3,???,6)的定義域?yàn)閰^(qū).()

A.%+%+“2+.,,+。6=-]

B.%+%+%=—364

C.q+2%+3%+…+64=12

D./(5)被8整除余數(shù)為7

【答案】BC

【解析】

【分析】利用賦值x=l或x=—1,推斷AB；對函數(shù)兩邊求導(dǎo)，再賦值x=l,推斷C；/（5）=96=（8+1）6,

綻開后可推斷余數(shù)，推斷D.

6

【詳解】A.當(dāng)x=l時(shí)，a0+ax+a2+...+a6=（l-2）=1,①故A錯(cuò)誤；

B.當(dāng)x=—1時(shí)，—q+a,+…+4=（1+2）=3，,②，

1_

①一②=2（4+/+%）=1—3,,解得：ax+a3+a5=—-—=—364,故B正確；

C.r（x）=-12。一2%丫=〃]+2〃2%+3〃3/+..?+6〃6%5,令x=i得

4+2/+3/+…+64=—12（1—2）=12,故C正確；

D./（5）=96=（8+l）6=86+C^85+或0+…+或-8+1,所以/（5）被8整除余數(shù)為1,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

已知〃為正偶數(shù)，在16+的綻開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

（1）求綻開式中的一次項(xiàng)；

（2）求綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

35

【答案】（1）T=—X

58

57

（2）4=7/，7；=7戶

【解析】

【分析】（1）由第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可求得〃=8,再依據(jù)二項(xiàng)式的綻開公式求一次項(xiàng)即可；

a>a,

⑵令％為綻開式中系數(shù)，依據(jù)1r可得r=2或r=3,代入二項(xiàng)式的綻開式中，即可求得答案.

（ar>ar+i

【小問1詳解】

解：因九為正偶數(shù)，在綻開式中的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則1+1=5,"=8.

3r（1V35

令4—7=1,得廠=4,所以綻開式中的一次項(xiàng)為*=寧右

【小問2詳解】

<1Y

解：令%=G-(r=0,L2,…,8)，當(dāng)時(shí),

r9-rr<3

=>\=>r=2^r=3.

r>2

、8一廠r+1

門、25小、34_97

T=Cl-X2=7/,n=c；-X4=7/.

所以系數(shù)最大的項(xiàng)為:3

比大小

設(shè)〃=^/Tb,8=9siir^,c=yf3,貝！J

A.b<a<cB.b<.c<ZaC.c<a<bD.c<~b<.a

【答案】B

[fc?Hi]a>l?c>1?b-9sin—<9—<IIla4'=10\c45=39=94*3<IO5.HPb<c<a.

1010

8.已知〃=sin。1,b=lnl1,c=e"-1’貝!1

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<a<c

【答案】0

【解析】a=smOIvO.l且b=lnl1<n-l=0.1,1,???c最大

構(gòu)造/(工)=sinx-ln(l+x),.vw(O、l),

I_2+2x-/(l+x)-2_M2-x-x2)

/.f\x)=cosx--------->

1+%1+x2(1+x)2(1+x)

_—>0/(x)在(0.1)上/,/./(0.1)>/(0)=0=>sinO.I>InI.I

2(1+x)

即,:.c>a>h，選D

1189in

已知。=777,人_0―m6,c=ln——,則a,b,c的大小關(guān)系是()

1110—C100

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

8.B

【解析】先證明"Nln(x+1巨1再取尸0.11可得6>c>4.故選：B.

x+1

2024高考三類“比大小”問題的出題背景及應(yīng)用舉例

第1類出題背景1

證明當(dāng)1>0時(shí)，

-1r-+T—H<ln(1+x)<.x.

證設(shè)/(丁)=M(1+工)，顯然〃彳)在區(qū)間［0,1］上滿足拉格朗日中值定

理的條件，根據(jù)定理，應(yīng)有

-f(O)-0),0<￡<工.

由于/(0)=0/(z)=d7,因此上式即為

ln(l+.r)=

又由0<￡<o'，有

即

?<ln(1+a-)<j-(x>0).

變形得：

X

e1+x<l+x<ex(x>Q)

注：該不等式也可運(yùn)用“移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)”的中學(xué)方法證明。

第2類出題背景2

若a>l,bwc,bc<a1

bgQlog.C<(bg〃、bg〃C)2=(丁)2<(?)2:1

【運(yùn)用案例11

(2024?新高考I卷T7)設(shè)4=0.1?°,為=3,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

7——<ln(l+.r)<j-(x>0).

1+H

人1，口1.101口

令％=一，得：一<ln一<-,可得：c<b

91099

X

e}+x<1+x<(%>0)

-10-1-11-

a<b

令X=一，得:"°<豆<巴而<5<而/肌可得：

9

設(shè)a=0.1e°」，c=-ln(l-0.1)

【運(yùn)用案例2】

3

,8h=7

（南京市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知a=log7-,Q[7,C=log6￡,則

?58In—T5

55

。，瓦c的大小關(guān)系為（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

ln§3

b=^7

In—

55

備<ln(—

3383

令了=—,得:—<ln—<—,所以，b<a

5855

由"若a>l,b力c,bc<a2

log〃Hlog"c）2=（*"）2＜（容1）2=1”得：

logflZ?-logac<(

2

a,8,6.

-=log.-.log.-<l"C

故：b<a<c

【運(yùn)用案例3】

(2024?全國甲(文)T12)已知9機(jī)=10,a=l(F—111=8"一9,貝I()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

m=log910

a_^Qlog910_]]=JQlog910_JQlog10ll

由“若a>l,bwc,bc〈a2

log.b?log.C<(bg*；°g〃C)2=(丁)2<(?)2=1”得：

粵吟=bgioU,logio9<l,則logioUvlogJO，則。>0

log91。

同理，Z?=8log910_9=8log910_8log89

1

^^=log910.log98<l,則b<0

log89

故，a>0>b

【變式X2024年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽第3題）已知。=log4e,b=k)g34,c=log45,則a、b、c

的大小關(guān)系是__________________

所以￡<i)

參考答案：a<c<b（提不：一=log45,log43,因?yàn)?x5<4~,

bb

第3類出題背景3

在圖1-32所示的四分之一的單位圓中，設(shè)圓心角NAOB=

x（0<工<5），點(diǎn)人處的切線與0B的延長線相交國

于D,又BC_LOA,則

---.

sinx—CB,x-AB,tanx-AD.

因?yàn)?/p>

△AOB的面積〈扇形AOB的面積〈aAOD的面積，

0cosxCA

所以-^-sinx<<ytanx?

?圖1-32

即sintanx.

不等號各邊都除以sinz,就有

1<

sinJCcosx'

sinx

或cosj<<1(1)

X

因?yàn)楫?dāng)N用-1代替時(shí)，COSX與。蛆三都不變，所以上面的不等式對于開區(qū)間

（-/,0）內(nèi)的一切X也是成立的.

事實(shí)上，當(dāng)0<|“■時(shí),

1-cosX-2sin2-y<2^-yj二號，

0<Icosx-11=

2

即（X1-cos<亍.

【運(yùn)用案例】

31

（2024?全國甲（理）T12）已知〃=一,b二cos—,c=4sin—,貝！J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

分析：因?yàn)閒=4tan1,因?yàn)楫?dāng)xe[o，W],sinx<x<tanx,所以tan』>工，即￡>1,所以c>Z?；

b4V2)44b

結(jié)合“當(dāng)0<|川<；時(shí)，0<1-COST<4."，令1即可推斷：>>a

42X=—

4

故，c>b>a

導(dǎo)數(shù)

町+型

已知函數(shù)_f(x)=女(2'—1)一才(2'+1)(乃>0)的零點(diǎn)為xi,X2,E，且xi〈X2〈X3,則------的最小值是

▲.

42,+1)

【MH】苒光江工到/(0)=0,即〃=0.冉進(jìn)L史上,l!lJ/(x)=0=>a=-4——-

2—I

.x(24+l)

設(shè)g(x)=；J,易得g(?)為偶中調(diào).增.囚此一+看=0

?以=xg',\'i.h(x)=xe'(x<0).人,：L力值域?yàn)?-,0J.即公小勺一1

已知函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+2),g(x)=x2+(3-a)x+2(l-fl)(ae7?).

⑴求函數(shù)〃尤)的極值；

⑵若不等式/(x)Wg(x)在xe(-2,內(nèi))上恒成立，求a的取值范圍；

⑶證明不等式：卜罪1+,[卜8…卜"]<〃(“€N*).

⑴解：/(x)=(x+2)ln(x+2)(x>-2),/'(x)=ln(x+2)+l,

^/,(x)>0可得xe(工-2,y),此時(shí)f(元)是增函數(shù)，

e

由f(無)<0可得無e(-00,'一2),止匕時(shí)/Xx)是減函數(shù)，............2分

e

所以當(dāng)彳:^1■-2時(shí)f(x)有極小值，微小值為一工，無極大值............3分

ee

(2)解：由不等式/(x)0g(x)祗￡(-2,內(nèi))上恒成立得

(x+2)ln(x+2)Wf+(3—ci)x+2(1—a)

BP(x+2)ln(%+2)<(x+2)(x+l-tz),因?yàn)?￡(-2,+8),所以

a<x+1-ln(x+2)在xG(-2,+oo)上恒成立5分

,X+]

設(shè)/z(x)=x+l—lnO+2),%￡(-2,+co),由“(x)=----二0得x=—l,

'x+2

所以/z(x)在(-2,-1)上遞減，在(-1,+CO)上遞增，

所以人(X)min=。(-1)=。即〃<0，

所以。的取值范圍為(7,0]............7分

(3)證明:由(2)得x+1>ln(x+2)在(-l,+oo)上恒成立委

令》=：一1，貝I有，............8分

22.已知函數(shù)f(x)=elnx—ax(xWR).

(1)探討函數(shù)F(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，證明：xf(x)—e'+2exW0.

22.(1)解/(x)=--a(x>0),

X

①若KO,則/(x)>0,而0在(0,+◎上單調(diào)遞增;

(0三上單調(diào)遞增，在停+8)上單調(diào)遞

②若。>0,則當(dāng)(Kx<±時(shí)，/(x)>0；當(dāng)xA時(shí)，/(x)<0.所以后)在I

減.

身上單調(diào)遞增,生十°°)上單調(diào)遞

綜上，當(dāng)把o時(shí)，為0在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)心。時(shí),

減.

(2)證明法一因?yàn)閤>0,所以只需證人x0—2e,

X

當(dāng)a=e時(shí)，由⑴知，底)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以人'九《=/5)機(jī)-=/(l)=—e.

記虱x)=《一2/>0)，則g\x)=J'—)

XXT

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，p(x)>0,故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,+s)上單調(diào)遞增.

所以gCx)mm=g(l)=-e.

綜上，當(dāng)x>0時(shí)，人x)5g(x),即7(x)5—2e,即求v)—e1r+2exW0.

x

已知函數(shù)/(X)=d—f—左(左為常數(shù)，左GR).

(1)求函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)已知實(shí)數(shù)。、b、C為函數(shù)/(X)的三個(gè)不同零點(diǎn).

4

①假如>>0,c>0，求證l<Z?+c<—；

3

②假如a<Z?<c,且。、Z?、c成等差數(shù)列，懇求出。、b、c的值.

【答案】(1)答案見解析

(2)①證明見解析；②。=上［8,b=-,c=匕且.

333

【解析】

【分析】⑴由〃力=0可得左=三—令g(￡)=x3—利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極值,

數(shù)形結(jié)合可得出左在不同取值下，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

9

(2)①設(shè)5<c,則0<b<§<c<l,由已知可得/(〃)=/(c),化簡可得出人+c=(Z?+c)2—bc,利

用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論成立；

②分析可得〃x)=(x—a)(x—b)(x—C)，結(jié)合題意可得出關(guān)于a、b、c方程組，即可得解.

【小問1詳解】

解:由/(尤)=0可得左=三一產(chǎn)，4-g(x)=x3-x2,

則函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于直線y=左與函數(shù)g(X)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

2

gf(x)=3x2-2x,由g'(x)=O可得x=0或x=§,歹(J表如下:

2

X(fO)0

3

g'(x)+0—0+

微小值

g(x)增極大值0減增

—萬

如下圖所示:

]I__/

2/

/27

由圖可知，當(dāng)左>0或左<一/時(shí)，直線>=左與函數(shù)g(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)A=—/或左=0時(shí)，直線>=左與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)一《〈左<o時(shí)，直線>=左與函數(shù)g(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)左>0或左<—(時(shí)，/(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)左=0或4=—2時(shí)，/(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)一段(左<0時(shí)，/(力有3個(gè)零點(diǎn).

【小問2詳解】

2

證明：①由(1)可知，當(dāng)〃>0,c>0時(shí)，不妨設(shè)Z?<c,則0<b<—<c<l,

3

由/優(yōu))=/(c)可得"―廿一左=03一/—左，可得

因?yàn)閆?WC,則Z?+C=/+人。+。2=(b+c)2—be，

所以，Z?c=(Z?+c)2-(Z?+c)>0,b+c>0,則b+c>l,

(Z?+c)23(Z?+c)24

由基本不等式可得人+C=(Z?+C)2—/?C>(Z?+c)2—所以，b+c<—.

443

4

綜上所述，l<b+c<—；

3

②因?yàn)?。、b、c是函數(shù)/(x)=d—f—左的三個(gè)不同的零點(diǎn),

3

所以，/(x)=(x-(2)(x-Z?)(x-c)=x-(Q+6+C)%2+(ab+bc+ca^x-abc,

因?yàn)椤?、b、。成等差數(shù)列，所以，2b=a+c

1—5/3

a=-------

〃+b+c=13

ab+bc+ca-Q

所以，\,解得〈b=-

2b-a+c3

a<b<c1+6

c=-------

3

三角函數(shù)

已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,8,。所對的邊分別為a,b,c,

且tanBtanC-百(tanB+tanC)=1.

⑴求角A的大??；

(2)若a=l,2c-(V3+l)/?=0,求AABC的面積.

解：(1)由tanBtanC-J§(tanB+tanC)=1,得

tanB+tanCA/3CR,,,/NA/3

-------------=--,所以tan(B+C)=--2分

1-tanBtanC----33

又在AABC

則tanA=—tan(B+C)=且，所以A=二“

4分

36

(2)因?yàn)?L(6+1)為0,所以c="+",

2

又A=30°,a=l

則依據(jù)余弦定理，1="+。2—2匕c?3

2

得到〃=2,即6=夜,c=近上交............8分

2

」AsinA」x后義述+五

SAABC10分

22224

數(shù)列

已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，S是等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，a=4=16,a2=&,$=12.

⑴求數(shù)列｛a｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)(i)求證：8WSW16；

(ii)求全部滿意為=￡的正整數(shù)A,m.

14

【解析】⑴設(shè)公圣為d.公比為q

4=4=16

由已知行,%=a

S3=12

“i〃為奇數(shù)時(shí).）?=（-；）憫負(fù)IL遞增,所以〃=1時(shí)取最小,即一；?（-；）<0

'〃為偶數(shù)時(shí).y=（-g）恒正IL遞誠.所以”=2時(shí)取最大,即0<1-；4；

所以十

<L成>>■.即原命題得證:

4

iiitl■if*J8<SM<l6.所以84q416.即843A-24I6,即§4A46

義因?yàn)閗wN.所以A=4或5或6

|/w=Ijm=4

綜」.Wi.iL滿足q=5,的物仃

卜=6=

15

圓錐曲線

已知橢圓E：1(a>6>0)的離心率為乎，短軸長為2.

(1)求￡的方程；

(2)過點(diǎn)〃(一4,0)且斜率不為0的直線/與￡自左向右依次交于點(diǎn)B,G點(diǎn)”在線段BC

上，且崇=蜉，尸為線段8。的中點(diǎn)，記直線放的斜率分別為左，左，求證：kk

為定值.

16

cy[i

e=—="■

a=2k,

a2所以￡：L+y?=|

2b=2C=4i4，

a:=c2+b:

2Vi.B(x,.yl),C(xi,yi),N(x,x=my-4

已知橢圓a^+（=1的上下頂點(diǎn)分別為48,過點(diǎn)氣0.3）且斜率為“（衣0）的直線與橢圓

C自上而下交于U.N兩點(diǎn),直線B.U與4M交于點(diǎn)G.

（1）設(shè)A.Y6N的斜率分別為求k；.K；的值；

（2）求證：點(diǎn)G在定直線上.

解：設(shè)A/（X］，M）,N（X2，y2）

占?七=與

々元2%2..........2分

又所以￡=4?（1—爭

17

4(C)-44

所以a?乂=-----------=――

■后5......................................4分

(2)設(shè)PM:y=fcc+3聯(lián)立4爐+5丁=20

得至!J(4+5k2)x2+30kx+25=0

匚二ri—30k25

所以石+%=萬聲x「2=不記

A=900/—100(4+5左②)=400(父一1)>0

......................................6分

直線MB：y=y1+2x-2

王

y—2

直線Ml:y=—o—x+2

x2

y+2=x2(y；+2)

聯(lián)立得：y—2(%―2)再.....................8分

法一y+2_5(%+2)(%+2)_5%2玉龍2+5上(玉+尤2)+25_

y-24%芯4x/2

.........................10分

4

解得y=—

3

4

所以點(diǎn)G在定直線丁=—上

3......................................12分

法二：由韋達(dá)定理得出土強(qiáng)=—￡左

XjX25

所以y+2_%（履1+5）_爪逮2+5*26+工2）+5%_

2

y-3+1再kxlx2+xl_。（/+與）+菁.........10分

6~

4

解得丁=§

4

所以點(diǎn)G在定直線丁=—上

3......................................12分

備注：L"A"不探討不扣分

2.定點(diǎn)化簡中應(yīng)出現(xiàn)“3個(gè)變量”到“2個(gè)變量”轉(zhuǎn)化

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21.(12分)設(shè)/,'為橢圓C:土+產(chǎn)=1的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)/??且與.v軸不重合的直線/交橢圓。于

2

48兩點(diǎn)

(I)當(dāng)即=2一時(shí)，求同;

(2)在x軸上是否存在異于F的定點(diǎn)O,使得答為定值(其中k(ll.k(,H分別為直線QA.QB

的斜率)？若存在，求出0的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由

【解析】

解析一：(1)設(shè)直線/的方程為X=〃?T+1,小陽乃)

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x=niy+1

n(m2+2)/+2//n-1=0

x2+2y2=2

2m

乂+弘=