矩陣的初等變換與線性方程組習題

矩陣的初等變換與線性方程組習題習題課一、初等變換初等變換逆變換換法變換倍法變換消法變換三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換.二、矩陣的等價

如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與矩陣B等價.記作A

B.三、初等矩陣

定義:由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.

三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.對調(diào)兩行或兩列對調(diào)E中第i,j兩行,即ri

rj,得初等方陣:

用m階初等矩陣Em(i,j)左乘A=(aij)m

n,相當于對矩陣A施行第一種初等行變換:把A的第i行與第j行對調(diào)(ri

rj).

用n階初等矩陣En(i,j)右乘A=(aij)m

n,相當于對矩陣A施行第一種初等列變換:把A的第i列與第j列對調(diào)(ci

cj).以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k

0乘單位矩陣的第i行得初等矩陣E(i(k)).以數(shù)k

0乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j

行加到第i行上(ri+krj),或以k乘E的第i列加到第j列上(cj+kci).

以Em(i(k))左乘矩陣A=(aij)m

n,相當于以數(shù)k乘A的第i行(ri

k).

以En(i(k))右乘矩陣A=(aij)m

n,相當于以數(shù)k乘A的第i列(ci

k).

以Em(ij(k))左乘矩陣A=(aij)m

n,相當于把A的第j

行乘數(shù)k加到A的第i行上(ri+krj).

以En(ij(k))右乘矩陣A=(aij)m

n,相當于把A的第i列乘數(shù)k加到A的第j列上(cj+kci).四、初等矩陣與初等變換的關(guān)系

定理:設(shè)A為可逆方陣,則存在有限個初等方陣P1,P2,···,Pl,使A=P1,P2,···,Pl.

推論:m

n矩陣A

B的充分必要條件是存在m階可逆方陣P及n階可逆方陣Q,使PAQ=B.利用初等變換求逆陣的方法:即對n

2n矩陣(A|E),施行初等行變換,當把A變成E時,原來的E就變成了A-1.五、行階梯形矩陣特點是:可畫出一條階梯線,線的下方全為0;每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元,也就是非零行的第一個非零元.六、行最簡形矩陣行階梯形矩陣還可以進一步化為行最簡形矩陣,其特點是:非零行的非零首元為1,且這些非零元所在列的其它元素都為0.

七、矩陣的標準形

所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類,標準形F是這個等價類中最簡單的矩陣.任一個矩陣Am

n總可經(jīng)過初等變換化為標準形

標準形由m,n,r三個數(shù)唯一確定,其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).八、矩陣的秩

若在矩陣A中有一個r階子式D非零,且所有的r+1階子式(如果存在的話)都為零,則稱D為矩陣A的一個最高階非零子式,稱數(shù)r為矩陣A的秩,記作R(A).矩陣秩的性質(zhì)及定理R(AT)=R(A).定理:若A

B,則R(A)=R(B).如果A中有一個r階子式非零,則R(A)

r.如果A的所有的r+1階子式都為零,則R(A)

r.行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù).若A為n階可逆矩陣,則(1)A的最高階非零子式為|A|;(2)R(A)=n;(3)A的標準形為單位矩陣E;(4)A

E.九、線性方程組有解判別定理及解法

齊次線性方程組的解法:系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣,便可寫出其通解.

非齊次線性方程組的解法:增廣矩陣化成行階梯忢矩陣,便可判斷其是否有解.若有解,化成行最簡形矩陣,便可寫出其通解;

定理1:n元線性方程組Am

nx=b

(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(B);(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(B)=n;(3)有無窮多解的充分必要條件是R(A)=R(B)<n.典型例題例1:求下列矩陣的秩解:對A施行初等行變換化為階梯形矩陣,A因此,R(A)=R(B)=2.注意:在求矩陣的秩時,初等行,列變換可以同時兼用,但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形.例2:求非齊次線性方程組的通解.

解:對方程組的增廣矩陣B行初等行變換,使其成為行最簡單形.r2–3r1r3–2r1r4–2r1r5–5r1r2–2r4r3

(-1)r2

r3r4+2r2r5+5r2r5–2r4r4

6r4

r3r2–5r3r1–3r3r1–2r2r1+r3r2+r3r4+r3r5–r2由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程組(1)中未知量的個數(shù)是n=4,故有一個自由未知量.在此選x4.令x4=6k(為任意常數(shù)).得方程組(1)的通解為:r1–r2r4–r2r1–2r4r4

r1另解:r2+5r1r3+2r1r2

5r3-3r2r1

(-1)由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程組(1)中未知量的個數(shù)是n=4,故有一個自由未知量.在此選x3.令x3=5k(為任意常數(shù)).得方程組(1)的通解為:

例3:當a取何值時,下述齊次線性方程組有非零解,并且求出它的通解.解法一:系數(shù)矩陣A的行列式為當a=-1時,把系數(shù)矩陣A化成最簡形:從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù).當a=-1或者a=2時,|A|=0,方程組有非零解.當a=2時,把系數(shù)矩陣A化成最簡形:從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù).解法二:用初等行變換把系數(shù)矩陣A化為階梯形

當a=–1或者a=2時,R(A)<4,此時方程組有非零解.可仿照解法一求出它的解.例4:求矩陣解:作分塊矩陣(A|E),施行初等行變換.的逆矩陣.所以

注意:用初等行變換求逆矩陣時,必須始終用行變換,其間不能作任何列變換.初等變換法解矩陣方程(1)AX=B(2)XA=B例5:設(shè)且AX=A+2X,求矩陣X.解:因為AX=A+2X,所以(A–2E)=A,而又所以填空題1.若n元線性方程組有解,且其系數(shù)矩陣的秩為r,則當

時,方程組有唯一解;當

時,方程組有無窮多解.2.齊次線性方程組只有零解,則k應(yīng)