吉林省G6教考聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省G6教考聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè).考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分.共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命題“，”的否定是“，”.故選：C.3.函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故BC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A.5 B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?令，可得，解得.故選：A.5.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，令，得，無(wú)解，所以函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A不正確；

對(duì)于B，令，不難看出是該方程的根，

所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C，令，即.

令，則，令，解得,

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，

所以，

所以方程無(wú)解，

所以函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故C不正確；

對(duì)于D，令,得，

因?yàn)椋?/p>

所以方程無(wú)解，

所以函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故D不正確.

故選:B.6.7名研究人員在3個(gè)不同的無(wú)菌研究艙同時(shí)進(jìn)行工作，每名研究人員必須去一個(gè)艙，且每個(gè)艙至少去1人，由于空間限制，每個(gè)艙至多容納3人，則不同的安排方案共有（）種.A.720 B.1050 C.1440 D.360〖答案〗B〖解析〗由題意可知,7名研究員的安排可以是按人數(shù)為分為3組分到三個(gè)研究艙,

或者是按人數(shù)為分為3組分到三個(gè)研究艙,

按人數(shù)為分為3組分到三個(gè)研究艙,共有(種)安排方案,

按人數(shù)為分為3組分到三個(gè)研究艙時(shí),共有(種)安排方案,

故共有(種)安排方案.

故選:B.7.已知正數(shù)，滿足，則下列說(shuō)法不正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，對(duì)于A，，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，即，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，因?yàn)?1312所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以D正確，故選：C8.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，對(duì)于兩邊取對(duì)數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，即在單調(diào)遞增；令，則，即在單調(diào)遞減；所以，即.因?yàn)?，所?故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中，正確的命題是（）A.在兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)關(guān)系中，若相關(guān)系數(shù)越大，則樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)B.在具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程中，，則C.在回歸分析中，決定系數(shù)的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，回歸直線方程中，，故B正確；對(duì)于C，在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，殘差平方和越小，回歸效果就越好，故C正確；對(duì)于D，，兩邊取對(duì)數(shù)，可得，則，，，所以，故D正確.故選：BCD.10.下列命題是真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為6〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng),當(dāng)時(shí)，滿足，但沒有意義，故A項(xiàng)為假命題;

對(duì)于B項(xiàng),因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng),故B項(xiàng)為真命題;對(duì)于C項(xiàng),,因?yàn)?所以，但的符號(hào)不確定，若取,則，此時(shí),即,故C項(xiàng)為假命題;

對(duì)于D項(xiàng),若正實(shí)數(shù)滿足,則,解得,同理,

則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為6，故D項(xiàng)為真命題．故選:BD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且若，則（）A. B.的對(duì)稱中心為C.周期函數(shù) D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，即，所以是周期?的周期函數(shù)，則C正確；令，得，則，從而，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的對(duì)稱中心為錯(cuò)誤，則B錯(cuò)誤；以上求得的周期為4，且其圖象關(guān)于直線及對(duì)稱，則直線及均為圖象的對(duì)稱軸，從而，得，即，則，故，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式的常數(shù)項(xiàng)為________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)取值范圍為_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，作出的圖象，如圖所示：由此可得函數(shù)在和上單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得．故〖答案〗為：．14.有個(gè)編號(hào)分別為1，2，…，的盒子，第1個(gè)盒子中有3個(gè)白球1個(gè)黑球，其余盒子中均為1個(gè)白球1個(gè)黑球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，再?gòu)牡?個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，以此類推，從第個(gè)盒子中取到黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗記事件表示從第，2，，個(gè)盒子里取出白球，則，，所以，，進(jìn)而可得，，所以，又，，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故從第個(gè)盒子中取到黑球的概率是為：．故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.已知冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增.（1）求值及函數(shù)的〖解析〗式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增知,,解得,又,則.當(dāng)或時(shí)，，不符合的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故舍去.當(dāng)時(shí)，，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，符合題意.綜上所述，.（2）由（1）得，為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)?所以,兩邊平方，得,化簡(jiǎn)得，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.設(shè)函數(shù)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值.解：（1）的定義域?yàn)?，且，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線垂直于軸，所以，即，解得.（2）由(1)可得，則f'令，解得；令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有極大值，無(wú)極小值.17.目前，教師職業(yè)越來(lái)越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分，筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知某市2024年共有10000名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，筆試成績(jī)，只有筆試成績(jī)高于70分的考生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).（1）利用正態(tài)分布的知識(shí)，估計(jì)該市報(bào)考中小學(xué)教師資格的10000名筆試考生中，進(jìn)入面試的人數(shù)（結(jié)果只保留整數(shù)）；（2）現(xiàn)有甲、乙、丙3名考生進(jìn)入了面試，且他們通過(guò)面試的概率分別為，設(shè)這3名考生中通過(guò)面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.解：（1）由題意可知，

則，

則共，即人進(jìn)入面試.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有，甲、乙、丙3名考生沒通過(guò)面試的概率分別為,

則，,

???????,,故隨機(jī)變量的分布列為：X0123P故.18.在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇.學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為，現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過(guò)3次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過(guò)3次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”.“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐不喜歡食堂就餐10合計(jì)100（1）將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)；（2）該校甲同學(xué)逢星期二和星期四都在學(xué)校食堂就餐，且星期二會(huì)從①號(hào)、②號(hào)兩個(gè)套餐中隨機(jī)選擇一個(gè)套餐，若星期二選擇了①號(hào)套餐，則星期四選擇①號(hào)套餐的概率為；若星期二選擇了②號(hào)套餐，則星期四選擇①號(hào)套餐的概率為，求甲同學(xué)星期四選擇②號(hào)套餐的概率.（3）用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為.事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列聯(lián)表見圖，男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐402060不喜歡食堂就餐103040合計(jì)5050100零假設(shè):假設(shè)食堂就餐與性別無(wú)關(guān)，由列聯(lián)表可得，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，即可以得到學(xué)生喜歡食堂就餐與性別有關(guān)（2）記事件：小林同學(xué)星期三選擇了①號(hào)套餐，事件：小林同學(xué)星期五選擇了②號(hào)套餐,由全概率公式可得（3）由題意可知，抽取的10名學(xué)生，喜歡飯?zhí)镁筒偷膶W(xué)生人數(shù)服從二項(xiàng)分布，且喜歡飯?zhí)镁筒偷念l率為,則,且，設(shè)，若,即即解得，若即解得所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因?yàn)樗?即使取得最大值的值為6.19.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)分別為.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：.解：（1）由題意可得，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由解得，由解得，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則，在時(shí)恒成立，∴在時(shí)單調(diào)遞增，∴有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn).∵，∴當(dāng)時(shí)，