人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算精講精練同步訓(xùn)練

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算精講精練同步訓(xùn)練【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一空間向量的夾角1．定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.考點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考點(diǎn)三向量a的投影1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【題型歸納】題型一：空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算1．已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（）．A． B．97 C． D．612．平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，，，，則（）A．1 B． C．2 D．43．在底面是正方形的四棱柱中，，，，則（）A． B． C． D．2題型二：空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用（夾角和模）4．如圖所示，空間四邊形中，，，則，的值是（）A．0 B． C． D．5．已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影的數(shù)量為（）A．2 B． C． D．6．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點(diǎn)，且，，（）A．1 B． C．2 D．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題7．已知非零向量不平行，并且其模相等，則與之間的關(guān)系是（）A．垂直 B．共線 C．不垂直 D．以上都可以8．已知均為單位向量，它們的夾角為60°，那么（）A． B．C． D．49．如圖，在平行六面體中，，，則（）A．1 B． C．9 D．310．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．11．已知四面體中，、、兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中不成立的是（）．A．B．C．D．12．空間四邊形各邊及對(duì)角線長均為，，，分別是，，的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．13．已知是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則=+與b=-2的夾角是（）A．60° B．120° C．30° D．90°14．已知四棱柱的底面是矩形，，則（）A． B． C． D．15．已知平行六面體中，，，，，．則的長為（）A． B． C． D．16．如圖在長方體中，設(shè)，，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．【高分突破】一：單選題17．已知空間向量，0，，，2，，則向量在向量上的投影向量是（）A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，18．平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）所有棱長都為1，且則（）A． B． C． D．19．如圖，空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．20．設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．21．已知在平行六面體中，，，，，，，則的長為（）．A． B． C． D．22．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且與，的夾角都等于．若是的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．23．如圖在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱且，則（）A． B． C． D．24．在棱長為2的正四面體中，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)N滿足，當(dāng)、最短時(shí)，（）A． B． C． D．二、多選題25．已知是正方體，以下正確命題有（）A．； B．；C．向量與向量的夾角為； D．正方體的體積為.26．正方體的棱長為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．27．已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是（）A．B．C．向量與向量的夾角是60°D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為28．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A． B．C．向量與的夾角是60° D．與AC所成角的余弦值為三、填空題29．設(shè)是單位向量，且，則的最小值為__________．30．已知是空間兩個(gè)向量，若，則=________．31．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，則___________.32．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，若，且，則的長為______．四、解答題33．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于點(diǎn)O，連接AO．求證：AO⊥CD1．34．如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于a，點(diǎn)E、F，G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn).求下列向量的數(shù)量積：；（2）；（3）；（4）.35．如圖，在平行六面體中，，，，，．求：（1）；（2）的長；（3）的長．36．在空間四邊形中，是線段的中點(diǎn)，在線段上，且.（1）試用表示向量；（2）若，，，，，求的值及【答案詳解】1．C【詳解】∵，∴，故選：C.2．C【詳解】平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，，，，作圖如下：令，，，則，，，設(shè)，即，由，得，即，解得：或（舍去），即.故選：C.3．A因?yàn)樗睦庵校酌媸钦叫?，，，，則，所以.故選：A.4．A，，，，故選：A5．B【詳解】由題意，，，，則空間向量在向量方向上的投影為.故選：B.6．B【詳解】∵，，∴，又，，∴．7．A因?yàn)椋?，故選：A8．C【詳解】故選：C9．D【詳解】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以.所以.故選：D.10．C設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．11．C【詳解】、、兩兩垂直，則可得、、，且、、、、，A、B、D選項(xiàng)均正確，故選：C．12．A【詳解】空間四邊形各邊及對(duì)角線長均為，所以四邊形構(gòu)成的四面體是正四面體，四個(gè)面是等邊三角形，因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，，，，所以.故選：A.13．B由題意得=(+)·(2)==，||=，||=.=.°.故選:B.14．D【詳解】.故選：D15．A【詳解】記，，，則，同理，，由空間向量加法法則得，∴，∴，即．故選：A．16．A【詳解】由長方體的性質(zhì)可知，，所以.故選：A17．C【詳解】解：向量，0，，，2，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.18．C【詳解】如圖：由,,19．B由題意得，所以.故選：B20．B對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，向量不能作比值，即錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)、的夾角為，則，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，④正確.故選：B.21．D【詳解】解：在平行六面體中，因?yàn)椋裕裕?2．A【詳解】記，，，因?yàn)?，，所以，．又因?yàn)?，，所以，．易得，所以，所以．故選：A23．B解：因?yàn)榈酌媸沁呴L為1的正方形，側(cè)棱且，則，，，，，，則故選：B.24．A因?yàn)辄c(diǎn)M滿足，所以平面因?yàn)辄c(diǎn)N滿足，所以直線，若、最短時(shí)，則平面，，所以M為的中心，N為的中點(diǎn)，此時(shí)，∵平面平面，∴，∴.又，∴.故選：A.25．AB【詳解】A：兩兩垂直，且，所以，正確；B：由，所以，正確；C：由正方體性質(zhì)知：面，而面，即，即向量與向量的夾角為，錯(cuò)誤；D：由圖知：，正方體的體積不為，錯(cuò)誤；故選：AB.26．BC如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.27．AB【詳解】由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正確；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量與向量的夾角是120°，故C不正確；∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正確.故選：AB.28．AB【詳解】以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長為1,則而，所以A正確.=0,所以B正確.向量,顯然為等邊三角形，則.所以向量與的夾角是,向量與的夾角是,則C不正確又，則，所以，所以D不正確.故選：AB29．【詳解】，且均為單位向量，∴，||=1，,∴.設(shè)與的夾角為θ，則.故的最小值為故答案