高考數(shù)學(xué) 熱點題型和提分秘籍 專題03 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 文（含解析）

專題03簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞【高頻考點解讀】1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義．2.理解全稱量詞與存在量詞的意義．3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．【熱點題型】題型一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷【例1】在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q【舉一反三】已知命題p：?x∈R，cosx＝eq\f(5,4)，命題q：?x∈R，x2－x＋1>0，則下列結(jié)論正確的是()A．命題p∧q是真命題 B．命題p∧綈q是真命題C．命題綈p∧q是真命題 D．命題綈p∨綈q是假命題【熱點題型】題型二全稱命題、特稱命題的真假判斷【例2】下列命題中是假命題的是()A．?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβB．?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù)C．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減D．?a>0，函數(shù)f(x)＝ln2x＋lnx－a有零點【舉一反三】下列命題中的假命題是()A．?x∈R，sinx＝eq\f(\a\vs4\al(5),2) B．?x∈R，log2x＝－1C．?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>0 D．?x∈R，x2≥0解析：易知|sinx|≤1，故A是假命題．答案：A【熱點題型】題型三含有一個量詞的命題否定【例3】設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題p：?x∈A,2x∈B，則()A．綈p：?x∈A,2x?B B．綈p：?x?A,2x?BC．綈p：?x?A,2x∈B D．綈p：?x∈A,2x?B【解析】因為任意都滿足的否定是存在不滿足的，所以選D.【答案】D【提分秘籍】對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定的方法：一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找到其量詞的位置及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結(jié)論．【舉一反三】若命題p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx>sinx，則命題綈p：()A．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≥sinx0B．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0>sinx0C．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≤sinx0D．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，＋∞))，tanx0>sinx0解析：?x的否定為?x0，>的否定為≤，所以命題綈p為?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≤sinx0.答案：C【熱點題型】題型四利用全稱(特稱)命題的真假求參數(shù)范圍【例4】若命題p：?x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．【舉一反三】設(shè)集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命題“?t∈R，A∩B≠?”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．【高考風(fēng)向標(biāo)】1．（·安徽卷）命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．?x∈R，|x|＋x2<0B．?x∈R，|x|＋x2≤0C．?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0D．?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)≥0【答案】C【解析】易知該命題的否定為“?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0”．2．（·福建卷）命題“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0【答案】C【解析】“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全稱量詞的命題，其否定是“?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0”，故選C.3．（·湖北卷）命題“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x∈/R，x2≠xB．?x∈R，x2＝xC．?x0∈/R，xeq\o\al(2,0)≠x0D．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x04．（·湖南卷）設(shè)命題p：?x∈R，x2＋1＞0，則綈p為()A．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＞0B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≤0C．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＜0D．?x∈R，x2＋1≤0【答案】B【解析】由全稱命題的否定形式可得綈p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≤0.5．（·天津卷）已知命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1，則綈p為()A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B.?x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1C.?x＞0，總有(x＋1)ex≤1D.?x≤0，總有(x＋1)ex≤1【答案】B【解析】含量詞的命題的否定，先改變量詞的形式，再對命題的結(jié)論進(jìn)行否定．6.（·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]已知命題p：x∈，2x＜3x；命題q：x∈，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是()A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q【答案】B【解析】命題p假、命題q真，所以p∧q為真命題．7．（·重慶卷）命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為()A．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0B．對任意x∈R，都有x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．不存在x∈R，使得x2<0【答案】A【解析】根據(jù)定義可知命題的否定為：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0，故選A.【隨堂鞏固】1．將a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改寫成全稱命題是()A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．?a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．?a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：選D全稱命題含有量詞“?”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2對于全體實數(shù)都成立，故選D.2．設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin2x的最小正周期為eq\f(π,2)；命題q：函數(shù)y＝cosx的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱．則下列判斷正確的是()A．p為真 B．q為真C．p∧q為假 D．p∨q為真解析：選C命題p，q均為假命題，故p∧q為假命題．3．已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)4．下列命題中，真命題是()A．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函數(shù)B．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函數(shù)C．?m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函數(shù)D．?m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函數(shù)5．下列命題中，真命題是()A．?x0∈R，ex0≤0B．?x∈R,2x＞x2C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是eq\f(a,b)＝－1D．a(chǎn)＞1，b＞1是ab＞1的充分條件解析：選D因為?x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，則22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，則不能推出eq\f(a,b)＝－1，故排除C.6．已知命題p1：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；p2：?x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命題為真命題的是()A．(綈p1)∧(綈p2) B．p1∨(綈p2)C．(綈p1)∧p2 D．p1∧p27．下列說法中錯誤的是()A．對于命題p：?x0∈R，使得x0＋eq\f(1,x0)>2，則綈p：?x∈R，均有x＋eq\f(1,x)≤2B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件C．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”D．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題8．已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)＝1或a≤－2 B．a(chǎn)≤－2或1≤a≤2C．a(chǎn)≥1 D．－2≤a≤19．下列說法錯誤的是()A．如果命題“綈p”與命題“p或q”都是真命題，那么命題q一定是真命題B．命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是：若“a≠0，則ab≠0”C．若命題p：?x0∈R，ln(xeq\o\al(2,0)＋1)<0，則綈p：?x∈R，ln(x2＋1)≥0D．“sinθ＝eq\f(1,2)”是“θ＝30°”的充分不必要條件解析：選Dsinθ＝eq\f(1,2)是θ＝30°的必要不充分條件，故選D.10．命題p：若a·b>0，則a與b的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．下列說法中正確的是()A．“p或q”是真命題 B．“p或q”是假命題C．綈p為假命題 D．綈q為假命題11．有下列四個命題：p1：若a·b＝0，則一定有a⊥b；p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：?a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函數(shù)f(x)＝a1－2x＋1都恒過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))；p4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F≥0.其中假命題的是()A．p1，p4 B．p2，p3C．p1，p3 D．p2，p412．若命題p：關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx>－\f(b,a)))，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a<x<b}，則在命題“p∧q”“p∨q”“綈p”“綈q”中，是真命題的有________．解析：依題意可知命題p和q都是假命題，所以“p∧q”為假、“p∨q”為假、“綈p”為真、“綈q”為真．答案：綈p，綈q13．已知命題p：“?x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命題綈p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－∞，1]14．下列四個命題：①?x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2；②對?x∈R，sinx＋eq\f(1,sinx)≥2；③對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx＋eq\f(1,tanx)≥2；④?x0∈R，使sinx0＋cosx0＝eq\r(2).其中正確命題的序號為________．15．設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命題q：實數(shù)x滿足eq\b