解析幾何第四版習(xí)題答案第四章

第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面§4、1柱面1、已知柱面得準(zhǔn)線為:且(1)母線平行于軸;(2)母線平行于直線,試求這些柱面得方程。解:(1)從方程中消去,得到:即:此即為要求得柱面方程。(2)取準(zhǔn)線上一點(diǎn),過(guò)且平行于直線得直線方程為:而在準(zhǔn)線上,所以上式中消去后得到:此即為要求得柱面方程。2而在準(zhǔn)線上,所以:消去,得到:此即為所求得方程。3、求過(guò)三條平行直線得圓柱面方程。解:過(guò)又過(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn),且方向?yàn)榈弥本€方程為:將此式代入準(zhǔn)線方程,并消去得到:此即為所求得圓柱面得方程。4、已知柱面得準(zhǔn)線為,母線得方向平行于矢量,試證明柱面得矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為:與式中得為參數(shù)。證明:對(duì)柱面上任一點(diǎn),過(guò)得母線與準(zhǔn)線交于點(diǎn),則,即1、求頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線為得錐面方程。解:設(shè)為錐面上任一點(diǎn),過(guò)與得直線為:設(shè)其與準(zhǔn)線交于,即存在,使,將它們代入準(zhǔn)線方程,并消去參數(shù),得:即:此為所要求得錐面方程。2、已知錐面得頂點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,試求它得方程。解:設(shè)為要求得錐面上任一點(diǎn),它與頂點(diǎn)得連線為:令它與準(zhǔn)線交于,即存在,使將它們代入準(zhǔn)線方程,并消去得:此為要求得錐面方程。4、求對(duì)錐面上任一點(diǎn),過(guò)與頂點(diǎn)得母線為:令它與準(zhǔn)線得交點(diǎn)為,即存在,使,將它們代入準(zhǔn)線方程,并消去得:此即為要求得圓錐面得方程。5、求頂點(diǎn)為,軸與平面垂直,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)得圓錐面得方程。解:軸線得方程為:過(guò)點(diǎn)且垂直于軸得平面為:即:該平面與軸得交點(diǎn)為,它與得距離為:要求圓錐面得準(zhǔn)線為:得徑矢為,試證明錐面得矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為:與式中,為參數(shù)。證明:對(duì)錐面上任一點(diǎn),令,它與頂點(diǎn)得連線交準(zhǔn)線于,即。,且(頂點(diǎn)不在準(zhǔn)線上)即亦即此為錐面得矢量式參數(shù)方程。若將矢量式參數(shù)方程用分量表示,即:此為錐面得坐標(biāo)式參數(shù)方程,為參數(shù)。§4、3旋轉(zhuǎn)曲面1、求下列旋轉(zhuǎn)曲面得方程:(1);繞旋轉(zhuǎn)(2);繞旋轉(zhuǎn)(3)繞軸旋轉(zhuǎn);(4)空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)。解:(1)設(shè)就是母線上任一點(diǎn),過(guò)得緯圓為:因在母線上,(3)從(1)——(3)消去,得到:此為所求得旋轉(zhuǎn)面得方程。(3)對(duì)母線上任一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)得緯圓為:又在母線上,所以:(3)從(1)——(3)消去,得到:此為所求得旋轉(zhuǎn)面方程。(4)對(duì)母線上任一點(diǎn),過(guò)得緯圓為:又在母線上,所以從(1)——(3)消去,得到:即旋轉(zhuǎn)面得方程為:2、將直線繞軸旋轉(zhuǎn),求這旋轉(zhuǎn)面得方程,并就可能得值討論這就是什么曲面？解:先求旋轉(zhuǎn)面得方程式:任取母線上一點(diǎn),過(guò)得緯圓為:又(3)從(1)——(3)消去,得到:此即為所求旋轉(zhuǎn)面得方程。當(dāng)時(shí),旋轉(zhuǎn)面為圓柱面(以軸為軸);當(dāng)時(shí),旋轉(zhuǎn)面為圓錐面(以軸為軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn));當(dāng)時(shí),旋轉(zhuǎn)面變?yōu)檩S;當(dāng)時(shí),旋轉(zhuǎn)面為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。3、已知曲線得參數(shù)方程為,將曲線繞軸旋轉(zhuǎn),求旋轉(zhuǎn)曲面得參數(shù)方程。解:如圖,設(shè)為上任一點(diǎn),則對(duì)經(jīng)過(guò)得緯圓上任一點(diǎn),§4、4橢球面1、做出平面與橢球面得交線得圖形。解:平面與橢球面得交線為:,即——橢圖形為2、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)得距離等于從這點(diǎn)到平面得距離得一半,試求此動(dòng)點(diǎn)得軌跡。解:設(shè)動(dòng)點(diǎn),要求得軌跡為,則條兩兩相互垂直得射線,分別交曲面,設(shè),試證:證明:利用上題結(jié)果,有其中就是得方向余弦。若將所在得直線瞧成新得坐標(biāo)系得三個(gè)坐標(biāo)軸,則就是坐標(biāo)矢量關(guān)于新坐標(biāo)系得方向余弦,從而,同理,,所以,即:5、一直線分別交坐標(biāo)面于三點(diǎn),當(dāng)直線變動(dòng)時(shí),直線上得三定點(diǎn)也分別在三個(gè)坐標(biāo)面上變動(dòng),另外,直線上有第四點(diǎn),它與三點(diǎn)得距離分別為,當(dāng)直線按照這樣得規(guī)定(即保持分別在三坐標(biāo)面上)變動(dòng),試求點(diǎn)得軌跡。解:設(shè),則知:又設(shè),又在得連線上,(4)從(1)——(4)消去,得到即:滿足要求得平2、給定方程試問(wèn)當(dāng)取異于得各種數(shù)值時(shí),它表示怎樣得曲面？解:對(duì)方程(*)1o、當(dāng)時(shí),(*)不表示任何實(shí)圖形;2o、當(dāng)時(shí),(*)表示雙葉雙曲面;3o、當(dāng)時(shí),(*)表示單葉雙曲面;4o、當(dāng)時(shí),(*)表示橢球面。3、已知單葉雙曲面,試求平面得方程,使這平面平行于面(或面)且與曲面得交線就是一對(duì)相交直線。解:設(shè)所求得平面為,則該平面與單葉雙曲面得交線為:(*)亦即為使交線(*)為二相交直線,則須:,即所以,要求得平面方程為:同理,平行于得平面要滿足它與單葉雙曲面得交線為二相交直線,則該平面為:4、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與得距離等于這點(diǎn)到平面得距離得兩倍,試求這動(dòng)點(diǎn)得軌跡。解:此即為要求得射影柱面方程。6、設(shè)直線與為互不垂直得兩條異面直線,就是與得公垂線得中點(diǎn),兩點(diǎn)分別在直線,上滑動(dòng),且,試證直線得軌跡就是一個(gè)單葉雙曲面。證明:以,得公垂線作為軸,作為坐標(biāo)原點(diǎn),再令軸與,得夾角均為,公垂線得長(zhǎng)為,若設(shè),則,得方程分別為:令,,則有:又,所以:亦即(2)又設(shè)為上任一點(diǎn),則(3)從(1)——(3)中消去,得:即:(4)不垂直,(4)表示單葉雙曲面,即得軌跡就是一單葉雙曲面。7、試驗(yàn)證單葉雙曲面與雙葉雙曲面得參數(shù)方程分別為:與解為:令確定與與均在該曲面上。有:從而所以要求得橢圓拋物面得方程為:即:2、適當(dāng)選取坐標(biāo)系,求下列軌跡得方程:(1)到一定點(diǎn)與一定平面距離之比為定常數(shù)得點(diǎn)得軌跡;(2)與兩給定得異面直線等距離得點(diǎn)得軌跡,已知兩異面直線間得距離為,夾角為。解:(1)取定平面為面,過(guò)定點(diǎn)且垂直于面得直線作為軸,則定點(diǎn)得坐標(biāo)設(shè)為,而定平面即為,設(shè)比值常數(shù)為,并令所求得軌跡為,則點(diǎn)即此為得方程。(2)取二異面直線得公垂線為軸,中點(diǎn)得坐標(biāo)為原點(diǎn);再取軸,使其與二異面直線得夾角相等,則二異面直線得方程為:與設(shè)所求得軌跡為,則解:略。5、試驗(yàn)證橢圓拋物面與雙曲拋物面得參數(shù)方程可分別寫(xiě)成:與式中得為參數(shù)。解:對(duì)方程消去參數(shù)得:這正就是橢圓拋物面得方程。對(duì)方程消去參數(shù)得:這正就是雙曲拋物面得方程?！?、7單葉雙曲面與雙葉雙曲面得直母線求下列直紋面得直母線族方程:(1)(2)解:(1)從原方程得:即:亦即:為了避免取極限,將上方程寫(xiě)成:(1)若將原方程變形為:,則可得到:(2)若令,,則(2)便就是(1)原曲面得直母線族就是(1),其中不全為零。(2)原方程變形為:亦即:(1)由得:(2)(1)(2)即這原曲面得兩組直母線族方程。求下列直線族所成得曲面(式中得為參數(shù))(1);(2)解:(1)原方程等價(jià)于從此式中消去,得:此即為直母線(1)所形成得曲面。(2)從原方程中消去得:此即為(2)得直母線族所形成得曲面。3、在雙曲拋物面上,求平行于平面得直母線。解:雙曲拋物面得兩族直母線為:及第一族直母線得方向矢量為:第二族直母線得方向矢量為:據(jù)題意,要求得直母線應(yīng)滿足:要求得直母線方程為:及4、試證單葉雙曲面得任意一條直母線在面上得射影,一定就是其腰圓得切線。證明:單葉雙曲面得腰圓為兩直母線為:它在面內(nèi)得射影為:(2)將(2)得第一式代入(1)得第一式得:即:上述方程得判別式為: (2)與(1)相比,證畢。5、求與兩直線與相交,而且與平面平行得直線得軌跡。解:設(shè)動(dòng)直線與二已知直線分別交于,則,又動(dòng)直線與平面平行,所以,對(duì)動(dòng)直線上任一點(diǎn),有:從(1)——(4)消去,得到:6、求與下列三條直線,與都共面得直線所構(gòu)成得曲面。解:動(dòng)直線不可能同時(shí)平行于直線及直線不妨設(shè)其與第一條直線交于注與第二條直線得平面為:過(guò)與直線得平面為動(dòng)直線得方程為:從上式中消去參數(shù),得:此為所要求得軌跡方程。7、試證明經(jīng)過(guò)單葉雙曲面得一直母線得每個(gè)平面一定經(jīng)過(guò)屬于另一族直母線得一條直母線,并舉一反例,說(shuō)明這個(gè)命題與雙曲拋物面得情況下不一定成立。證明:單葉雙曲面得一族直母線為:過(guò)該族中一條直母線得平面為:即:(1)另一族直母線為:過(guò)該族中一條直母線得平面為:即(2)對(duì)照(1)、(2)得,只要令,得(2)便就是(1)了亦即過(guò)族每一直母線得任一平面都經(jīng)過(guò)族中得一條直母線,同理,對(duì)族得直母線也有類似性質(zhì)。對(duì)雙曲拋物面:其族直母線為:(*)取其中得一條(即取定),顯然平面通過(guò)直母線(*),但該平面不通過(guò)族直母線中得任何一條,這就是因?yàn)?族直母線得方向矢量為而平面不能通過(guò)族中得任何直母線。8、試求單葉雙曲面上互相垂直得兩條直母線交點(diǎn)得軌跡方程。解:由于過(guò)單葉雙曲面上每點(diǎn)僅有一條母線與一條母線,所以它得同族直母線不能相交,設(shè)單葉雙曲面得二垂直相交得直母線為:將兩方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,得:由此求出二直線得交點(diǎn)坐標(biāo)為:又二直線垂直,即又交點(diǎn)在單葉雙曲面上,所以:故交點(diǎn)得軌跡為9、試證明雙曲拋物面上得一兩條直母線直交時(shí),其交點(diǎn)必在一雙曲線上。證明:由于過(guò)雙曲拋物面上一點(diǎn)僅有一條族直母線,也僅有一條族直母線,所以同族得直母線不能相交。設(shè)兩相交得直母線為:其方向矢量為與其方向矢量為由二直線直交,所以:(*)二直母線得交點(diǎn)坐標(biāo)為:但由(*)式有:(**)(**)為一雙曲線方程,交點(diǎn)在一雙曲線上。10、已知空間兩異面直線間得距離為,夾角為,過(guò)這兩條直線分別作平面,并使這兩平面相互垂直,求這樣兩平面交線得軌跡。解:建立坐標(biāo)系:取二異面直線得公垂線作為軸,公垂線得中點(diǎn)為原點(diǎn),讓軸與二異面直線夾角相等,則二直線方程為:與過(guò)這兩直線得平面為:二平面得交線為:(1)