蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題2.2等腰三角形的性質(zhì)與判定【十大題型】同步特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題2.2等腰三角形的性質(zhì)與判定【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】 1【題型2根據(jù)等邊對(duì)等角證明】 2【題型3根據(jù)三線合一求解】 4【題型4根據(jù)三線合一證明】 5【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】 6【題型7根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等】 9【題型8根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)】 10【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】 11【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 12【知識(shí)點(diǎn)等腰三角形】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】【例1】（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°得到△A'BC'，點(diǎn)A'恰好落在AC上，連接CC'，則∠ACC'度數(shù)為（

）

A．110° B．105° C．100° D．95°【變式1-1】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，∠ABD=50°，則∠C的度數(shù)為．【變式1-2】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D

A．12n75° B．12n?165°【變式1-3】（2023春·海南?？凇ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且∠ADE=∠AED，連接DE．(1)如圖①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度數(shù)．(2)如圖②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度數(shù)．(3)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B、C重合），試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型2根據(jù)等邊對(duì)等角證明】【例2】（2023春·湖南·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點(diǎn)D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求證DE=1【變式2-1】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E，求證：AD=CE．【變式2-2】（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求證：∠DBC=∠DCB．【變式2-3】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D為線段CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于點(diǎn)E、F，且∠ADC+3(1)猜想∠DAC與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求證AD=DC+EC．【題型3根據(jù)三線合一求解】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，若BH=2，BE=2BH，則BC=．

【變式3-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE，交AD于點(diǎn)F．若∠C=66°，則∠AFE的度數(shù)為（

）

A．48° B．62° C．72° D．82°【變式3-2】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，連接CF，∠ACF=∠CBG．(1)若∠FCM=18°，則∠BGC的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型4根據(jù)三線合一證明】【例4】（2023春·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，DE//AC(1)求證：EB=ED．(2)求證：AE=DE．【變式4-1】（2023春·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校﹥山M鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點(diǎn)O，求證：

(1)△ABC≌△ADC；(2)AC⊥BD．【變式4-2】（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在直線AB、AC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AE=CF．(1)如圖①，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上，DE與DF相等且DE與DF垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．【變式4-3】（2023春·河北廊坊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），連接CE，點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，BF始終垂直于CE，交直線CD于點(diǎn)G．

(1)點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)（如圖1），當(dāng)CG=AE時(shí)，求證：BG=CE；(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上（如圖2），當(dāng)CG=AE時(shí)，試猜想BG、CE的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并加以證明；(3)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE，垂足為點(diǎn)H，并交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖3），求證：△BCE≌△CAM．【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦東新·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長(zhǎng)線上，且BE＝CD，連BD，CE．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，則圖中共有個(gè)等腰三角形．【變式5-1】（2023春·廣西欽州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-2】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺規(guī)作圖作出射線BD交AC于點(diǎn)D，則圖中等腰三角形共有個(gè)．

【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．(1)求證：AD=BE；(2)如圖2，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE、CD，在不添加其他字母的條件下，寫(xiě)出圖中四個(gè)等腰三角形．【題型6根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形】【例6】（2023春·重慶江北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA與∠CAB的平分線相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于點(diǎn)G(1)求證：△GEF為等腰三角形；(2)求證：AF+BD=AB．【變式6-1】（2023春·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．(1)求證：△PGH是等腰三角形；(2)若∠1=116°，求∠GPD的度數(shù)．【變式6-2】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，過(guò)點(diǎn)D作∠CDE=∠CAB，DE與C交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)H．(1)求證：△CHD為等腰三角形；(2)若E為BC中點(diǎn)，猜想AH，HD與EH三者的數(shù)量關(guān)系．并證明之【變式6-3】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性，頂角為36°的等腰三角形我們稱之為黃金三角形，“黃金三角形“具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線可以把它分成兩個(gè)小等腰三角形，為此，請(qǐng)你，解答問(wèn)題：（1）已知如圖1：黃金三角形△ABC中，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，求證：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的方法，將△ABC分割成三個(gè)等腰三角形，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，不要求證明，但是要標(biāo)出所分得的每個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．（3）已知一個(gè)三角形可以被分成兩個(gè)等腰三角形，若原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36°，求原三角形的最大內(nèi)角的所有可能值．【題型7根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等】【例7】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．

(1)求證：AB=BD；(2)設(shè)BD與AE交于點(diǎn)F，求證：CE=BF+EF．【變式7-1】（2023春·天津·八年級(jí)期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，AB＝AC，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，求證：BD＝CE．【變式7-2】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD，AE平分∠CAD交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與AC相交于點(diǎn)G(1)求證：CG=CE；(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠(3)求證：∠D=2【變式7-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：在銳角△ABC中，AD為BC邊上的高，∠ABD＝2∠CAD．(1)如圖1，求證：AB＝BC；(2)如圖2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且BE＝CD，連接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求證∠ABC＝45°；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF交AD于點(diǎn)G，連接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面積．【題型8根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)】【例8】（2023春·山東聊城·八年級(jí)校考期末）如圖，AD為△ABC的角平分線．(1)如圖1，若CE⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，AB=8，AC=5．求BE的長(zhǎng)．(2)如圖2，若∠C=2∠B，點(diǎn)E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的長(zhǎng)；（用含a、b的式子表示）【變式8-1】（2023春·浙江金華·八年級(jí)浙江省義烏市稠江中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，上午8時(shí)，一艘船從A處出發(fā)以15海里/小時(shí)的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)B處，從A,B兩點(diǎn)望燈塔C，測(cè)得∠NAC=35°,∠NBC=70°，則B處到燈塔C的距離為（

）A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里【變式8-2】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，若AE＝5，AB＝12，【變式8-3】（2023春·遼寧盤(pán)錦·八年級(jí)校考期中）如圖，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周長(zhǎng)為22，則DB的長(zhǎng)為()A．6 B．7 C．8 D．9【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】【例9】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考期末）題目：“如圖，已知∠AOB=30°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x，MN=2，P是射線OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有3個(gè)，求x的取值范圍。”對(duì)于其答案，甲答：x=0，乙答：0<x<2，丙答：2<x<4，則正確的是（

A．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【變式9-1】（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O、A、A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式9-2】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中∠ABC=40°，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上，當(dāng)△ABD為等腰三角形，∠ADB=．

【變式9-3】（2016秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC＞AB，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與△ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為個(gè)．【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例10】（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=∠ABC=42°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，將△ACE沿著AE翻折得到△AFE，連接CF，若E，F(xiàn)，B三點(diǎn)恰好在同一條直線上，則∠CFA的度數(shù)是（

）A．75° B．78° C．80° D．84°【變式10-1】（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF(E在BC上，F(xiàn)在AC上)折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為度．

【變式10-2】（2023春·福建漳州·八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，BE⊥AC，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)M，使得BM=AC，連接AM并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①AB=BM；②△ACN≌△BMN；③AD=DN；專(zhuān)題2.2等腰三角形的性質(zhì)與判定【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】 1【題型2根據(jù)等邊對(duì)等角證明】 6【題型3根據(jù)三線合一求解】 11【題型4根據(jù)三線合一證明】 16【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】 23【題型7根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等】 35【題型8根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)】 41【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】 45【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 50【知識(shí)點(diǎn)等腰三角形】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.【題型1根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】【例1】（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°得到△A'BC'，點(diǎn)A'恰好落在AC上，連接

A．110° B．105° C．100° D．95°【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)知∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，BC=BC'，由等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可求【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)知，∠ABA'=∠CBC'∴∠BAA'=∠B∴∠BAA'=∵△ABC中，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=70°，∴∠ACB=180°?∠CAB?∠CBA=40°，∴∠ACC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，由定理得到角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，∠ABD=50°，則∠C的度數(shù)為．【答案】70°或20°【分析】①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時(shí)：∠BAC=90°?∠ABD=40°，②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時(shí)：∠BAC=90°+50°=140°，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時(shí)：∠BAC=90°?∠ABD=40°，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時(shí)：∵∠ABD=50°，∠D=90°，∴∠BAC=90°+50°=140°，

∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=1故答案為：70°或20°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期中）如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D

A．12n75° B．12n?165°【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠DA2A1，∠E【詳解】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，∴∠BA∵A1A2=∴∠DA同理可得∠EA3A∴第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是(故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠DA2A1，【變式1-3】（2023春·海南?？凇ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且∠ADE=∠AED，連接DE．(1)如圖①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度數(shù)．(2)如圖②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度數(shù)．(3)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B、C重合），試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)36°(2)40°(3)2∠CDE=∠BAD【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=108°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E=65°?20°=45°，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠ADC=x°+α③如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠B=∠C=36°，∴∠BAC=108°，∵∠BAD=72°，∴∠DAE=36°，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠CDE=180°?36°?36°?72°=36°；（2）∵∠ACB=65°，∠CDE=20°，∴∠E=65°?20°=45°，∴∠ADE=∠AED=45°，∴∠ADC=25°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=65°，∴∠BAD=40°；（3）設(shè)∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α，∴y°=x°+αy°=x°?α+β解得，2α?β=0，∴2α=β；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠ADC=x°+α，∴x°+α=y°+βx°=y°+α∴2α=β，∴2α=β；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∠ADC=x°?α，∴x°?α+y°+β=180°x°+y°+α=180°解得，2α?β=0，∴2α=β．綜上所述，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系是2∠CDE=∠BAD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)等邊對(duì)等角證明】【例2】（2023春·湖南·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點(diǎn)D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求證DE=1【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先證明∠FBC=∠DCE，再根據(jù)AAS可證ΔDCE≌（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCH=∠DCH，BH=DH，再證明∠ACD=∠DCH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE=DH，進(jìn)一步即可得證．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠CFB=90°，∠BFA=90°，∵∠A=45°，∴∠ABF=45°，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∵∠DBC=∠ABF+∠FBC，∠BDC=∠A+∠DCE，∴∠FBC=∠DCE，在△DCE和△CBF中，∠DEC=∠CFB∠ECD=∠FBC∴△DCE≌△CBF(AAS（2）證明：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，如圖所示：∵BC=CD，∴∠BCH=∠DCH，BH=DH，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FBC=∠DCE，∴∠BCD=∠ABF=45°，∴∠DCH=22.5°，∠BDC=(180°?45°)÷2=67.5°，∴∠ACD=67.5°?45°=22.5°，∴∠ACD=∠DCH，∵DE⊥AC，CH⊥BD，∴DE=DH，∴DE=1【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E，求證：AD=CE．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAC=∠ACB，推得∠ABC=∠EAC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AE∥∴∠EAC=∠ACB，∴∠ABC=∠EAC，∵AD⊥AB，CE⊥AC，∴∠BAD=∠ACE=90°，在△ABD和△ACE中∠ABC=∠CAEAB=AC∴△ABD≌∴AD=CE．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．【變式2-2】（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求證：∠DBC=∠DCB．【答案】見(jiàn)解析【分析】由平行線的性質(zhì)可得出∠ABD=∠BDC，結(jié)合題意可由“AAS”證明△ABD≌△DEC，即得出BD=DC，進(jìn)而由等邊對(duì)等角即可證明∠DBC=∠DCB．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC．在△ABD和△DEC中，∠1=∠2∠ABD=∠EDC∴△ABD≌△DECAAS∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D為線段CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于點(diǎn)E、F，且∠ADC+3(1)猜想∠DAC與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求證AD=DC+EC．【答案】(1)∠ACD=2∠DAC，證明見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由等邊對(duì)等角得∠ABC=∠ACD，再由三角形內(nèi)角和定理和已知等量代換即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=CE，易得△ADE≌【詳解】（1）∠ACD=2∠DAC．證明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACD，∵∠ADC+3∴∠ADC+3又∵∠ADC=180°?∠ACD?∠DAC，∴180°?∠ACD?∠DAC=180°?3化簡(jiǎn)，得：∠ACD=2∠DAC．（2）證明：延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=CE．∵CK=CE，∴∠K=∠CEK，∴∠ACD=2∠K，又∵∠ACD=2∠DAC，∴∠DAC=∠K，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠KDE，在△ADE與△KDE中，∠ADE=∠KDE∠DAC=∠KDE∴△ADE≌∴DA=DK，又∵DK=DC+CK=DC+EC，∴AD=DC+EC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線使三角形全等是解題的關(guān)鍵．【題型3根據(jù)三線合一求解】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，若BH=2，BE=2BH，則BC=．

【答案】12【分析】過(guò)D作DN∥AF，交CE延長(zhǎng)線于N，證明△DEN≌△FEBAAS，得到EN=BE=4，由此求出NH=10，再根據(jù)∠C=∠ABC，∠ABC=∠N，證得∠C=∠N，得到DC=DN【詳解】過(guò)D作DN∥AF，交CE延長(zhǎng)線于∴∠FDN=∠F,∠FBE=∠N∵點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∴DE=FE∴△DEN∴EN=BE，∵BH=2，BE=2BH，∴EN=BE=4，∴NH=10，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵DN∥∴∠ABC=∠N，∴∠C=∠N，∴DC=DN又∵DH⊥BC，∴CH=NH=10，∴BC=CH+BH=12，故答案為：12．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，正確引出輔助線結(jié)合各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE，交AD于點(diǎn)F．若∠C=66°，則∠AFE的度數(shù)為（

）

A．48° B．62° C．72° D．82°【答案】C【分析】由題意易得∠ABC=∠C=66°，AE=BE，則有∠ABE=∠BAC=48°，然后可得∠EBC=18°，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中線，，∠C=66°，∴∠ABC=∠C=66°，AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴∠BAC=180°?2∠C=48°，∵AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠BAC=48°，∴∠EBC=18°，∴∠AFE=∠BFD=90°?∠EBC=72°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是【答案】2或6【分析】連接BD，由于AB=BC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，故BD⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AC×BD=6，再根據(jù)直線l是線段BC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故BD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，得BD=?1【詳解】解：連接BD，∵AB=BC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴SΔ解得AC×BD=6，∵直線l是線段BC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴BD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，∴.ΔCDP的周長(zhǎng)最短∴BD=?1∴AC×(?1解得AC=2或6．故答案為：2或6．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，連接CF，∠ACF=∠CBG．(1)若∠FCM=18°，則∠BGC的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)108°(2)CF=2DE，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，求出∠BCG=∠CAF=45°，進(jìn)而求出∠ACF得到∠CBG的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出答案；（2）證明△BCG≌△CAF(ASA)，推出BG=CF，再證△ADE≌△CGE(AAS)，推出DE=GE，即DG=2DE，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，∴∠BCG=∠CAF=45°，∵∠FCM=18°，∴∠ACF=∠ACM-∠FCM=45°-18°=27°，∴∠CBG=∠ACF=27°，∴∠BGC=180°-∠BCG-∠CBG=180°-45°-27°=108°，故答案為：108°；（2）CF=2DE，理由：連接AG，∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG=∠CAF，∴△BCG≌△CAF(ASA)，∴BG=CF，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CM⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，∴△ADE≌△CGE(AAS)，∴DE=GE，即DG=2DE，又∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，∴DG=BG，∴CF=2DE．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)三線合一證明】【例4】（2023春·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，DE//AC(1)求證：EB=ED．(2)求證：AE=DE．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)DE//AC，ED=12AC=12AB，進(jìn)而得出結(jié)論；(2)由等腰三角形的性質(zhì)得【詳解】（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴BD=DC，∵DE//AC，∴ED=1∴E是AB中點(diǎn)即EB=AE=1∴EB=ED．（2）證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE//AC∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校﹥山M鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點(diǎn)O，求證：

(1)△ABC≌△ADC；(2)AC⊥BD．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）分別利用SSS證△ABC≌△ADC即可；（2）由△ABC≌△ADC得∠ACB=∠ACD【詳解】（1）證明：在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC（SSS）．

（2）證明：由（1）得△ABC≌△ADC，∴∠ACB=∵BC=CD，∴AC⊥BD．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握全等三角形的判定定理．【變式4-2】（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在直線AB、AC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AE=CF．(1)如圖①，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上，DE與DF相等且DE與DF垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．【答案】(1)DE=DF且DE⊥DF，見(jiàn)解析(2)成立，見(jiàn)解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°和AD=BD=DC，再證明△AED≌△CFD（（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°和AD=BD=DC，再證明△AED≌△CFD（【詳解】（1）DE=DF且DE⊥DF，理由是：如圖①，連接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，∴AD=BD=DC，在△AED和△CFD中，AE=CF∴△AED≌△CFD（∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，又∵∠CDF+∠ADF=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，∴∠EDF=90°，∴DE⊥DF．（2）若點(diǎn)E、F分別在線段AB，CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接AD，理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，∴AD=BD=DC，在△AED和△CFD中，AE=CF∴△AED≌△CFD（∴DE=DF，又∵∠CDF?∠ADF=90°，∴∠ADE?∠ADF=90°，∴∠EDF=90°，∴DE⊥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式4-3】（2023春·河北廊坊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），連接CE，點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，BF始終垂直于CE，交直線CD于點(diǎn)G．

(1)點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)（如圖1），當(dāng)CG=AE時(shí)，求證：BG=CE；(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上（如圖2），當(dāng)CG=AE時(shí)，試猜想BG、CE的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并加以證明；(3)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE，垂足為點(diǎn)H，并交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖3），求證：△BCE≌△CAM．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不變，見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠BCG=45°，再證明△ACE≌△CBGSAS，即可求證BG=CE（2）用和（1）同樣的方法證明△ACE≌△CBGSAS（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CD⊥AB，則∠2+∠3=90°，根據(jù)AH⊥CE，則∠3+∠M=90°，即可得出∠2=∠M，再推出∠1=∠3，則∠BCE=∠CAM，即可求證△BCE≌△CAMAAS【詳解】（1）證明：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，∴∠ACB=90°，∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴∠BCG=1在△ACE和△CBG中，AC=CB∠BCG=∠A∴△ACE≌△CBGSAS∴BG=CE．（2）解：BG、CE的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，證明如下：證明：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，∴∠ACB=90°，∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴∠BCG=1在△ACE和△CBG中，AC=BC∠BCG=∠A∴△ACE≌△CBGSAS∴BG=CE．（3）解：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，∴∠ACB=90°，∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∠BCG=1∴∠2+∠3=90°，∵AH⊥CE，∴∠3+∠M=90°，∴∠2=∠M，∵∠1+∠M=90°，∴∠1=∠3，∴∠3+∠BCG=∠1+∠BAC，即∠BCE=∠CAM，在△BCE和△CAM中，∠2=∠M∠BCE=∠CAM∴△BCE≌△CAMAAS

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形那個(gè)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形是判定方法，以及等腰三角形“三線合一”．【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦東新·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長(zhǎng)線上，且BE＝CD，連BD，CE．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，則圖中共有個(gè)等腰三角形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5【分析】（1）證明△EBC≌△DCB（SAS），可得結(jié)論．（2）根據(jù)等腰三角形的定義，判斷即可．【詳解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△EBC和△DCB中，BE=CD∠ABC=∠ACB∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BE＝CD．（2）圖中共有5個(gè)等腰三角形．∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝36°，∵∠D＝∠E＝36°，∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，∴∠DAB＝∠EAC＝72°，∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，∴DB＝DA，EA＝EC，∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．【變式5-1】（2023春·廣西欽州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如下圖，作AB垂直平分線與AC相交于點(diǎn)P，可得PA=PB，以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交AC有P1、P以B為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交AC有P3一個(gè)交點(diǎn)，可得P故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作圖，分情況討論．【變式5-2】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺規(guī)作圖作出射線BD交AC于點(diǎn)D，則圖中等腰三角形共有個(gè)．

【答案】3【分析】根據(jù)已知條件∠ABC=72°，∠A=36°，可得△ABC是底角為72°的等腰三角形，再根據(jù)尺規(guī)作圖可得BD平分∠ABC，從而判斷等腰三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】∵△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，∴∠C=180°?72°?36°=72°，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．由題圖可知，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=1∴∠ABD=∠A，∠CDB=180°?72°?36°=72°，∴AD=BD,∠CDB=∠C，∴△ABD是等腰三角形，BC=BD，∴△BDC是等腰三角形．綜上可知，題圖中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BDC，共3個(gè)．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、尺規(guī)作圖——角平分線，掌握“等角對(duì)等邊”是解決此題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．(1)求證：AD=BE；(2)如圖2，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE、CD，在不添加其他字母的條件下，寫(xiě)出圖中四個(gè)等腰三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)△ABC，△EDC，△CDB，△ADE【分析】（1）先證明AB=BC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)等腰三角形的判定方法判斷即可．【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴∠ACB=45°，∠ABD+∠DBC=90°，∴AB=BC．∵CE⊥BD，∴∠BCE+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠BCE．在△DAB和△EBC中，∠ABD=∠BCEAB=BC∴△DAB≌△EBC（ASA），∴AD=BE．（2）如圖：由（1）可知AB=BC，∴△ABC是等腰三角形；∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD=BE，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形；∵∠DAB=90°，∠BAC=45°，∴FD=FE，AC⊥DE，∵FC=FC，∴△EFC≌△DFC，∴EC=DC，∴△EDC是等腰三角形；∵△DAB≌△EBC，∴EC=DB，∴DC=DB，∴△CDB是等腰三角形；故等腰三角形有△ABC，△EDC，△CDB，△ADE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形】【例6】（2023春·重慶江北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA與∠CAB的平分線相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于點(diǎn)G(1)求證：△GEF為等腰三角形；(2)求證：AF+BD=AB．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得∠BAD=∠CAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEG=∠BAD，可得∠AEG=∠CAD，根據(jù)等角的余角相等可得∠AFE=∠GEF，即可得出答案；（2）在AB上取BM=BD，連接EM，首先利用SAS證明△MBE≌△DBE，得∠BME=∠BDE，再說(shuō)明∠AFE=∠AME，利用AAS證明△AFE≌△AME，得AF=AM，進(jìn)而證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵EG∥∴∠AEG=∠BAD，∴∠AEG=∠CAD，∵EF⊥AD，∴∠AEG+∠GEF=∠CAD+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠GEF，∴GF=GE，∴△GEF為等腰三角形；（2）在AB上取BM=BD，連接EM，∵BE平分∠ABD，∴∠MBE=∠DBE，在△MBE和△DBE中，BM=BD∠MBE=∠DBE∴△MBE≌△DBE(SAS∴∠BME=∠BDE，∵∠FED=∠ACB=90°，∴∠EFC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠BDE=180°，∴∠EFC=∠BDE，∴∠EFC=∠BME，∴∠AFE=∠AME，在△AFE和△AME中，∠BAD=∠CAD∠AFE=∠AME∴△AFE≌△AME(AAS∴AF=AM，∴AF+BD=AM+BM=AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．(1)求證：△PGH是等腰三角形；(2)若∠1=116°，求∠GPD的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)148°【分析】（1）首先根據(jù)平角的定義得出∠2=∠BGH，則AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)證明即可；（2）首先得出∠BGH=180°?116°=64°，再由角平分線的定義得出∠BGP=32°，最后利用平行線的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：∵∠1+∠2=180°，∴∠2=∠BGH，∴AB∥CD，∴∠GPH=∠PGB，∵GP平分∠BGH，∴∠PGH=∠PGB，∴∠GPH=∠PGH，∴GH=PH，∴△PGH是等腰三角形；（2）解：∵∠1=116°，∴∠BGH=180°?116°=64°，∵GP平分∠BGH，∴∠BGP=32°，∵AB∥CD，∴∠GPD=180°?32°=148°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，過(guò)點(diǎn)D作∠CDE=∠CAB，DE與C交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)H．(1)求證：△CHD為等腰三角形；(2)若E為BC中點(diǎn)，猜想AH，HD與EH三者的數(shù)量關(guān)系．并證明之【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)AH=HD+2EH，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由題意可知AB∥CD，利用其性質(zhì)可得∠DCA=∠CAB，根據(jù)∠CDE=∠CAB進(jìn)而可得∠DCA=∠CDE，從而可得△CHD為等腰三角形；（2）如圖，延長(zhǎng)DE，使得DE=EF，可證明△BEF≌△CED，可得∠F=∠CAB，即AH=FH，再利用線段和差關(guān)系即可得AH=HD+2EH．【詳解】（1）證明：∵∠DCB+∠CBA=180°，∴AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB，∵∠CDE=∠CAB，∴∠DCA=∠CDE，∴HD=HC，∴△CHD為等腰三角形．（2）AH=HD+2EH，理由如下：如圖，延長(zhǎng)DE，使得DE=EF=HD+EH，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE在△BEF與△CED中，F(xiàn)E=DE∠BEF=∠CED∴△BEF≌△CED（SAS），∴∠F=∠CDE，又∵∠CDE=∠CAB，∴∠F=∠CAB，∴AH=FH，即：AH=EF+EH=HD+EH+EH即：AH=HD+2EH．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性，頂角為36°的等腰三角形我們稱之為黃金三角形，“黃金三角形“具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線可以把它分成兩個(gè)小等腰三角形，為此，請(qǐng)你，解答問(wèn)題：（1）已知如圖1：黃金三角形△ABC中，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，求證：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的方法，將△ABC分割成三個(gè)等腰三角形，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，不要求證明，但是要標(biāo)出所分得的每個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．（3）已知一個(gè)三角形可以被分成兩個(gè)等腰三角形，若原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36°，求原三角形的最大內(nèi)角的所有可能值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°【分析】（1）通過(guò)角度轉(zhuǎn)換得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判斷；（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可；（3）設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36°，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：①當(dāng)分割的直線過(guò)頂點(diǎn)B時(shí)②當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)D時(shí)情況和過(guò)點(diǎn)B一樣的，③當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在分別求出最大角的度數(shù)即可.【詳解】解：（1）證明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，∴∠ABD=∠BAD，∴△ABD為等腰三角形，∴∠BDC=72°=∠C，∴△BCD為等腰三角形；（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理作出，如圖所示：（3）設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36°，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：①當(dāng)分割的直線過(guò)頂點(diǎn)B時(shí)，【1】：第一個(gè)等腰三角形ABC以A為頂點(diǎn):則第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)此時(shí)∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值為108°；【2】：第一個(gè)等腰三角形ABC以B為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)

此時(shí)：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值為126°；【3】第一個(gè)等腰三角形ABC以C為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD有三種情況△BCD以B為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=72°，∴∠ABD=72°，最大角的值為72°；△BCD以C為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=54°，∴∠ABD=90°，最大角的值為90°；

△BCD以D為頂點(diǎn)：∠A=36°，∠D=36°∴∠ABD=108°，最大角的值為108°；②當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)D時(shí)情況和過(guò)點(diǎn)B一樣的；③當(dāng)分割三角形的直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

此時(shí)∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，最大角的值為132°；綜上所述：最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)三角形知識(shí)的綜合考查，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角度轉(zhuǎn)換是解決本題的關(guān)鍵，難度較大，分類(lèi)討論是解決本題的關(guān)鍵.【題型7根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等】【例7】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．

(1)求證：AB=BD；(2)設(shè)BD與AE交于點(diǎn)F，求證：CE=BF+EF．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用角平分線和三角形內(nèi)角和得出∠BAC=∠ADB=75°，再用等腰三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)等腰三角形的判定證明AE=EC，AF=BF即可．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠DBC=1∵∠ADB=∠DBC+∠C=75°，∠BAC=180°?∠ABC?∠C=75°，∴∠BAC=∠ADB，∴AB=BD；（2）證明：∵AE⊥BC∴∠AEC=90°∵∠C=45°∴∠EAC=45°∴AE=EC∵∠BAC=75°∴∠EAB=30°∴∠ABD=∠EAB=30°，∴AF=BF，∵AE=AF+EF∴CE=BF+EF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和求出角的度數(shù)．【變式7-1】（2023春·天津·八年級(jí)期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，AB＝AC，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，求證：BD＝CE．【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)D作DG∥CE，交BC于點(diǎn)G，證明△DGF≌△ECF，可得DG＝CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊可得BD＝DG，等量代換即可證明BD＝CE．【詳解】證明：過(guò)D作DG∥CE，交BC于點(diǎn)G，則∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，在△DGF和△ECF中，∠GDF=∠EDF=EF∴△DGF≌△ECF（ASA），∴DG＝CE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，∴BD＝DG∴BD＝CE．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD，AE平分∠CAD交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與AC相交于點(diǎn)G(1)求證：CG=CE；(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠(3)求證：∠D=2【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠CAB（2）根據(jù)角平分析及等邊對(duì)等角得出∠CAB=（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AEF=90°?∠CAB+∠EAC，∠D=180°?2【詳解】（1）證明：∵CA=CB，∴∠B=∵EF⊥AB，∴∠AFE=∴∠B+∴∠BEF=∵∠AGF=∴∠CEG=∴CG=CE．（2）解：∵AE平分∠CAD∴∠EAD=∠EAC=1∵CA=CB，∴∠CAB=在△AEF中，∠AEF=180°?在△ABD中，∠D=180°?（3）證明：在△AEF中，∠AEF=180°?∠AFE?∠CAB?∠EAC=90°?∠CAB+∠EAC在△ABD中，∠D=180°?∠B?∠CAB?∠CAD=180°?2∠CAB+∠EAC∴∠D=2【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的計(jì)算及三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：在銳角△ABC中，AD為BC邊上的高，∠ABD＝2∠CAD．(1)如圖1，求證：AB＝BC；(2)如圖2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且BE＝CD，連接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求證∠ABC＝45°；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF交AD于點(diǎn)G，連接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)4+2【分析】(1)令∠CAD=α，則∠ABD=2α，由直角三角形的性質(zhì)得出∠C=90°?α，證出∠BAC=90°?α=∠C，則可得出結(jié)論；(2)由直角三角形的性質(zhì)得出∠AED=∠ADE，則AE=AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；(3)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，證明△BDG≌△ADC(ASA)，由全等三角形的性質(zhì)得出DG=DC，證出CH=DH=GH，令DH=m，CD=n，則CG=2m，DG=n，由三角形CDG的面積可得出m，n的值，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）證明：令∠CAD=α，則∠ABD=2α，∵AD為BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，∴∠C=90°?α，又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=90°?α=∠C，∴AB=BC；（2）證明：∵∠AED+∠BDE=90°，∠ADE+∠BDE=90°，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∵AB=BC，BE=CD，∴AB?BE=BC?CD，即AE=BD，∴AD=BD，∴∠ABC=∠BAD，又∵∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠BAD=45°；（3）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，∵∠DBG+∠ACD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠DBG=∠CAD，又∵∠BDG=∠ADC=90°，BD=AD，∴△∴DG=DC，∴∠CGD=∠DCG，又∵∠CGD+∠DCG=90°，∴∠CGD=∠DCG=45°，∴DG=DC，DH⊥CG，∴∠CDH=∠GDH=1∴CH=DH=GH，令DH=m，CD=n，則CG=2m，DG=n，∵S∴12×2m×m=2∴m=±2，n=±2∵m>0，∴m=2，n∴CG=22，DG∵AB=BC，BF⊥AC，∴AF=CF，∴AG=CG=22∴BD=AD=AG+DG=22∴S【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BDG≌△ADC是解題的關(guān)鍵．【題型8根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)】【例8】（2023春·山東聊城·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AD為△ABC的角平分線．(1)如圖1，若CE⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，AB=8，AC=5．求BE的長(zhǎng)．(2)如圖2，若∠C=2∠B，點(diǎn)E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的長(zhǎng)；（用含a、b的式子表示）【答案】(1)BE=3(2)DC=a?b【分析】（1）利用ASA證明△AEF≌△ACF，得（2）利用ASA證明△ADE≌△ADC，得∠C=∠AED，DC=DE，再證明∠B=∠BDE，得出【詳解】（1）解：（1）∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠CFA=∠EFA=90°，∵在△AEF和△ACF中∠EAF=∠CAFAF=AF∴△AEF≌∴AE=AC=5，∵AB=8，∴BE=AB?AC=8?5=3．（2）∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△ADE和△ADC中AE=AC∴△ADE∴∠C=∠AED，DC=DE，∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE，∴DE=BE，∴DC=DE=BE=AB?AE=AB?AC=a?b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·浙江金華·八年級(jí)浙江省義烏市稠江中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，上午8時(shí)，一艘船從A處出發(fā)以15海里/小時(shí)的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)B處，從A,B兩點(diǎn)望燈塔C，測(cè)得∠NAC=35°,∠NBC=70°，則B處到燈塔C的距離為（

）A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里【答案】B【分析】先根據(jù)航行速度和時(shí)間可得AB=30海里，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠C=35°，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得．【詳解】由題意得：AB=15×10?8∵∠NAC=35°,∠NBC=70°，∴∠C=∠NBC?∠NAC=35°，∴∠C=∠NAC=35°，∴BC=AB=30海里，即B處到燈塔C的距離為30海里，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，若AE＝5，AB＝12，【答案】78【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CBD＝∠EBD，根據(jù)AD∥BC可得【詳解】解：∵長(zhǎng)方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，∴∠CBD＝∠EBD，∴∠CBD＝∴∠EBD＝∴ED＝∵AE＝5，AB＝∴DE＝∴重疊部分的面積＝12DE?AB故答案為：78．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的面積公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．【變式8-3】（2023春·遼寧盤(pán)錦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周長(zhǎng)為22，則DB的長(zhǎng)為()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】利用角平分線與垂直證明△CDE≌△CBE，從而可得CD=CB，再利用等角對(duì)等邊證明AD=BD，將△CDB的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC與【詳解】解：∵CE⊥DB，∴∠CED=∠CEB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCE=∠BCE，∵CE=CE，∴△CDE≌∴CD=CB，∵∠DAB=∠DBA，∴AD=DB，∵△CDB的周長(zhǎng)為22，∴CD+CB+BD=22，∵AC=14，∴AD+CD=14，∴BD+CD=14，∴BC=22?14=8，∴BC=CD=8，∴AD=BD=14?8=6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，注意結(jié)合圖形分析各邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】【例9】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谀╊}目：“如圖，已知∠AOB=30°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x，MN=2，P是射線OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有3個(gè)，求x的取值范圍。”對(duì)于其答案，甲答：x=0，乙答：0<x<2，丙答：2<x<4，則正確的是（

A．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，畫(huà)出滿足條件的三角形，即可．【詳解】①當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有3個(gè)，當(dāng)MP1=N當(dāng)NM=MP2，當(dāng)NM=NP3，∴P1，P2，

②當(dāng)x=2時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè)；∴NM=MP=NP；

③當(dāng)x=4，存在滿足條件的點(diǎn)P只有2個(gè)；當(dāng)MP1=N當(dāng)MN=MP2，

④當(dāng)2<x<4時(shí)，存在滿足條件的有三個(gè)點(diǎn)P；當(dāng)MP1=N當(dāng)MN=MP2，當(dāng)MN=MP3，

⑤當(dāng)0<x<2時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)P，∴甲、丙答案合在一起才完整，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，畫(huà)出滿足題意的圖形．【變式9-1】（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O、A、A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】分別以點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的等腰三角形有3種情況，分別為OA=OB，OA=AB，【詳解】解：當(dāng)OA=OB時(shí)；以點(diǎn)O為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作圓，與直線b在O點(diǎn)兩側(cè)各有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)B點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)OA=AB時(shí)；以點(diǎn)A為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作圓，與直線b有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)B點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)OB=AB時(shí)；作OA的垂直平分線，與直線b有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)B點(diǎn)有1個(gè)；∴滿足條件的B點(diǎn)總共有4個(gè)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，兩條邊相等的三角形為等腰三角形，因此要注意分類(lèi)討論，由每種情況的特點(diǎn)選擇合適的方法確定點(diǎn)B是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中∠ABC=40°，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上，當(dāng)△ABD為等腰三角形，∠ADB=．

【答案】20°或40°或70°或100°【分析】畫(huà)出圖形，分四種情況分別求解．【詳解】解：若AB=AD，則∠ADB=∠ABC=40°；

若AD=BD，則∠DAB=∠DBA=40°，∴∠ADB=180°?2×40°=100°；

若AB=BD，且三角形是銳角三角形，則∠ADB=∠BAD=1

若AB=BD，且三角形是鈍角三角形，則∠BAD=∠BDA=1

綜上：∠ADB的度數(shù)為20°或40°或70°或100°，故答案為：20°或40°或70°或100°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找齊所有情況，分類(lèi)討論．【變式9-3】（2016秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC＞AB，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與△ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為個(gè)．【答案】6．【詳解】試題分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作出AB的垂直平分線，首先△ABC的外心滿足，再根據(jù)圓的半徑相等，以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，AB的垂直平分線相交于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與AB的垂直平分線相交于一點(diǎn)，再分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與⊙C相交于兩點(diǎn)，即可得解．解：如圖所示，作AB的垂直平分線，①△ABC的外心P1為滿足條件的一個(gè)點(diǎn)，②以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P2、P3為滿足條件的點(diǎn)，③分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P4為滿足條件的點(diǎn)，④分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P5、P6為滿足條件的點(diǎn)，綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6．故答案為6．考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)．【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例10】（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=∠ABC=42°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，將△ACE沿著AE翻折得到△AFE，連接CF