高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 文（含解析）

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向聚焦利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性屬于高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容,常見考查方式有三種:(1)求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(容易題);(2)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(難點(diǎn)是對參數(shù)的討論,中檔題);(3)由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(包括兩種情況①函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),②函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間),求參數(shù)的取值范圍.高考試卷中本考點(diǎn)通常出現(xiàn)在解答題的第(1)問,有時與不等式交匯,難度不大,所占分值6分左右,并且持續(xù)的重點(diǎn)考查備考指津重視對分類討論和等價轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練,強(qiáng)化兩種題型的訓(xùn)練:一是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,二是已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍1.(年遼寧卷,文8,5分)函數(shù)y=12x2(A)(-1,1] (B)(0,1](C)[1,+∞) (D)(0,+∞)解析:由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),y'=x-1x=x令y'≤0得x2-1∴所求單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1].答案:B.2.(年遼寧卷,文11)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對任意x∈R,f'(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為()(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析:設(shè)g(x)=f(x)-2x-4,則g'(x)=f'(x)-2,∵對任意x∈R,f'(x)>2,∴g'(x)>0,即g(x)為R上的增函數(shù),又g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0,∴x>-1時,g(x)>0,即x>-1時,f(x)>2x+4.故選B.答案:B.3.(年安徽卷,文20)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,知f'(x)=cosx+sinx+1,于是f'(x)=1+2sin(x+π4令f'(x)=0,從而sin(x+π4)=-2又x∈(0,2π),得x=π,或x=3π當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)變化情況如下表:x(0,π)π(π,3π3(3π2,2f'(x)+0-0+f(x)↗π+2↘32↗因此,由上表知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,π)與(3π2,2π),單調(diào)遞減區(qū)間是(π,3π2),極小值為f(3π2)=4.(年廣東卷,文19)設(shè)a>0,討論函數(shù)f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調(diào)性.解:由題意知x>0,f'(x)=1x+2a=2a(1)當(dāng)a=1時,f'(x)=1x函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).(2)當(dāng)a≠1時,令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,Δ=4(1-a)2-8a(1-a)=12a2-16a+4=4(3a-1)(a-1),①當(dāng)a=13時,∵g(x)開口向上且Δ∴g(x)≥0恒成立,∴f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).②當(dāng)13<a<1時,∵g(x)開口向上且Δ∴g(x)>0恒成立,∴f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).③當(dāng)0<a<13或a>1時,Δ令g(x)=0得x1=1-x2=1-(ⅰ)當(dāng)0<a<13且Δ>0且x1+x2>0,x1x2>0,∴x1>0,x2>0,∴當(dāng)x∈(0,1-a-(3f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),∴當(dāng)x∈(1-a-f'(x)<0,f(x)為減函數(shù).(ⅱ)當(dāng)a>1時,g(x)開口向下Δ>0,得x1<0(舍去),x2>0,∴x∈(0,1-f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(1-a-綜上可知當(dāng)0<a<13時,f(x)在(0,1-a-(在(1-a-當(dāng)13≤a≤1時,函數(shù)f(x)在(0,+∞當(dāng)a>1時,f(x)在(0,1-a-(3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值考向聚焦該考點(diǎn)主要從以下幾個角度進(jìn)行考查:(1)求函數(shù)的極值和最值;(2)由函數(shù)的極值求參數(shù);(3)已知函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍;(4)利用最值證明不等式.這類試題在高考試卷中選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn),難度中檔,所占分值4~5分.這類試題是高考考查的熱點(diǎn),且主要涉及多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、分式函數(shù)、以e為底的對數(shù)函數(shù)及以e為底的指數(shù)函數(shù)等備考指津強(qiáng)化對求函數(shù)極值和最值的方法步驟的訓(xùn)練,重視分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用,注意恒成立問題的解法訓(xùn)練5.(年陜西卷,文9,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(A)x=12(B)x=12(C)x=2為f(x)的極大值點(diǎn)(D)x=2為f(x)的極小值點(diǎn)解析:∵f'(x)=-2x2+1x當(dāng)x>2時,f'(x)>0,當(dāng)x<2時,f'(x)<0,∴x=2是極小值點(diǎn).答案:D.6.(年浙江卷,文10)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點(diǎn),則下列圖象不可能為y=f(x)的圖象的是()解析:設(shè)g(x)=f(x)ex,則g(x)=(ax2+bx+c)ex,∴g'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b+c],由已知g'(-1)=0,∴a-b-2a+b+c=0,∴a=c.∴f(x)=ax2+bx+c可化為f(x)=ax2+bx+a,∴f(x)=0若有根時,兩根之積為1.而D中兩根x1<-1,x2<-1,x1x2>1.所以D圖一定不成立.故選D.答案:D.7.(年山東卷,文8)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-13x3(A)13萬件 (B)11萬件 (C)9萬件 (D)7萬件解析:∵y=-13x3+81x-234,∴y'=-x2令y'=0得x=9,令y'<0得x>9,令y'>0得0<x<9,∴函數(shù)在(0,9)上單調(diào)遞增,在(9,+∞)上單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=9時,函數(shù)取得最大值.故選C.答案:C.8.(年北京卷,文18,13分)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a=3,b=-9時,若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,求k的取值范圍.解:(1)由f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,得f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b,∵曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,∴f(1解得a=b=3,c=4,∴所求a,b的值為a=3,b=3.(2)設(shè)P(x)=f(x)+g(x),則a=3,b=-9時,P(x)=x3+3x2-9x+1,∴P'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),令P'(x)=0,得x1=-3或x2=1.∴x,P'(x),P(x)的變化如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,2)2P'(x)+0-0+P(x)↗極大值28↘極小值-4↗3由此可知,當(dāng)k≤-3時,函數(shù)P(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為P(-3)=28.當(dāng)-3<k<2時,函數(shù)P(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值小于28.∴所求k的范圍是(-∞,-3].本題考查的是導(dǎo)數(shù)中較為常規(guī)的題目,考查的切線、單調(diào)性、極值、最值問題都是課本中要求的重點(diǎn)內(nèi)容,也是學(xué)生掌握比較好的知識點(diǎn),屬于中等難度.9.(年廣東卷,文21,14分)設(shè)0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.(1)求集合D(用區(qū)間表示);(2)求函數(shù)f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn).解:(1)令g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,Δ=9(1+a)2-48a=9a2-30a+9=3(3a-1)(a-3).①當(dāng)0<a≤13時,Δ≥方程g(x)=0的兩個根分別為x1=3a+3-9所以g(x)>0的解集為(-∞,3a+3-9a2-因?yàn)閤1,x2>0,所以D=A∩B=(0,3a+3-9a2-②當(dāng)13<a<1時,Δ所以D=A∩B=(0,+∞).綜上所述,當(dāng)0<a≤13時,D=(0,3a+3-9a2當(dāng)13<a<1時,D=(0,+∞(2)f'(x)=6x2-6(1+a)x+6a=6(x-a)(x-1),令f'(x)=0,得x=a或x=1.①當(dāng)0<a≤13時,由(1)知D=(0,x1)∪(x2,+∞因?yàn)間(a)=2a2-3(1+a)a+6a=a(3-a)>0,g(1)=2-3(1+a)+6a=3a-1≤0,所以0<a<x1<1≤x2,所以f'(x),f(x)隨x的變化情況如表:x(0,a)a(a,x1)(x2,+∞)f'(x)+0-+f(x)↗極大值↘↗所以f(x)的極大值點(diǎn)為x=a,沒有極小值點(diǎn).②當(dāng)13<a<1時,由(1)知D=(0,+∞所以f'(x),f(x)隨x的變化情況如表:x(0,a)a(a,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)的極大值點(diǎn)為x=a,極小值點(diǎn)為x=1.綜上所述,當(dāng)0<a≤13當(dāng)1310.(年北京卷,文18)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.解:(1)f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,得x=k-1.f(x)與f'(x)的情況如下:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘-ek-1↗所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時,由(1)知f(x)在[0,k-1)上單調(diào)遞減,在[k-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當(dāng)k-1≥1,即k≥2時,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.11.(年安徽卷,文18)設(shè)f(x)=ex(1)當(dāng)a=43(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.解:(1)f'(x)=exax當(dāng)a=43時,若f'(x)=0,則4x2解得x1=32,x2=1則當(dāng)x變化時,f(x),f'(x)的變化情況如下表:x(-∞,121(12,33(32,+∞f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以x1=32是極小值點(diǎn),x2=1(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),則f'(x)在R上不變號,由a>0知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,則a>0Δ=4a2導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考向聚焦導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用主要從以下角度考查:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、分式函數(shù)、以e為底的對數(shù)函數(shù)及以e為底的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及求參數(shù)等綜合問題;(2)求最值,以實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題形式呈現(xiàn);(3)把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等結(jié)合起來綜合考查;實(shí)際問題多為中低檔難度的題目,綜合考查則常在解答題的最后一問以壓軸題呈現(xiàn),具有一定的難度,所占分值為12~14分,為高考必考內(nèi)容備考指津?qū)?shù)的綜合應(yīng)用問題以導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為核心,以參數(shù)處理為主要特征,所以要重視參數(shù)處理能力的訓(xùn)練,重視代數(shù)變形技能的訓(xùn)練,重視問題等價轉(zhuǎn)化能力的訓(xùn)練.強(qiáng)化以下幾種題型的訓(xùn)練:(1)最值與不等式恒成立問題;(2)方程有解及解的個數(shù)討論問題;(3)實(shí)際應(yīng)用問題12.(年重慶卷,文8,5分)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是()解析:構(gòu)建一個符合條件的函數(shù),f(x)=(x+2)2,則f'(x)=2(x+2),y=xf'(x)=2x(x+2)=2x2+4x,故選C.答案:C.13.(年福建卷,文12,5分)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論:①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.其中正確結(jié)論的序號是()(A)①③ (B)①④(C)②③ (D)②④解析:∵f(x)=x3-6x2+9x-abc,∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x2-4x+3)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=0得x1=1,x2=3,由f'(x)>0得x>3或x<1,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)是(3,+∞),(-∞,1),由f'(x)<0得1<x<3,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3),又a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=0,∴f(x)與x軸有三個不同的交點(diǎn),即有三個零點(diǎn)a,b,c.f(x)的大致圖象如下:可判出f(1)=1-6+9-abc=4-abc>0,f(3)=27-54+27-abc=-abc<0,又f(0)=-abc,∴f(0)<0,∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,故選C.答案:C.本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合分析問題的能力.屬于難點(diǎn)的題.14.(年安徽卷,文10)函數(shù)f(x)=axn(1-x)2在區(qū)間[0,1]上的圖象如圖所示,則n可能是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:f(x)=axn(1-2x+x2),則f'(x)=anxn-1(1-2x+x2)+axn(2x-2)=axn-1[(n+2)x2-2(n+1)x+n]=axn-1(x-1)[(n+2)x-n],令f'(x)=0得x=0或x=1或x=nn由圖象知當(dāng)x=nn+2時f(x)有極大值,則nn綜合選項(xiàng)知n=1.故選A.答案:A.15.(年江蘇數(shù)學(xué),14,5分)已知正數(shù)a,b,c滿足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,則ba的取值范圍是解析:本題考查不等式的性質(zhì)、和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查化歸和轉(zhuǎn)化的能力.把5c-3a≤b≤4c-a變形為5·ca-3≤ba≤4∴5·ca-3≤4·c∴0<ca≤∴-3<5·ca-3≤ba≤4·ca-1又clnb≥a+clnc,∴c(lnb-lnc)>a,∴l(xiāng)nba>ac-ln設(shè)x=ac,h(x)=x-lnx(x≥1利用導(dǎo)數(shù)可以證明h(x)在(12,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞∴h(x)≥h(1)=1,故lnba≥∴ba≥e,由①②可得e≤ba≤答案:[e,7]本題把不等式與導(dǎo)數(shù)隱含關(guān)系結(jié)合在一起,考法獨(dú)特.16.(年遼寧卷,文16)已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點(diǎn),則a的取值范圍是.

解析:f'(x)=ex-2,令f'(x)=0得x=ln2,當(dāng)x<ln2時,f'(x)<0,當(dāng)x>ln2時,f'(x)>0,∴f(x)極小值=f(ln2)=2-2ln2+a.∵函數(shù)f(x)有零點(diǎn),∴f(ln2)≤0得a≤2ln2-2.答案:(-∞,2ln2-2]17.(年全國大綱卷,文21,12分)已知函數(shù)f(x)=13x3+x2(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.解:(1)f'(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1.(ⅰ)當(dāng)a≥1時,f'(x)≥0,且僅當(dāng)a=1,x=-1時,f'(x)=0,所以f(x)是R上的增函數(shù);(ⅱ)當(dāng)a<1時,f'(x)=0有兩個根,x=-1-1-a或x=-1+當(dāng)x∈(-∞,-1-1-當(dāng)x∈(-1-1-a,-1+當(dāng)x∈(-1+1-a,+(2)由題設(shè)知,x1,x2為方程f'(x)=0的兩個根,故有a<1,x12=-2x1-a,x2因此f(x1)=13x13=13x1(-2x1-a)+x1=13x12=13(-2x1-a)+23ax1=23(a-1)x1同理,f(x2)=23(a-1)x2-a因此直線l的方程為y=23(a-1)x-a設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),得x0=a2f(x0)=13[a2(a-1)]=a224(a-由題設(shè)知,點(diǎn)(x0,0)在曲線y=f(x)上,故f(x0)=0,解得a=0,或a=23,或a=318.(年江蘇數(shù)學(xué),18,16分)若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a,b是實(shí)數(shù),1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點(diǎn).(1)求a和b的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=f(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn);(3)設(shè)h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個數(shù).解:(1)由題設(shè)知f'(x)=3x2+2ax+b,且f'(-1)=3-2a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知,f(x)=x3-3x.因?yàn)閒(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g'(x)=0的根為x1=x2=1,x3=-2,于是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)只可能是1或-2.當(dāng)x<-2時,g'(x)<0;當(dāng)-2<x<1時,g'(x)>0,故-2是g(x)的極值點(diǎn).當(dāng)-2<x<1或x>1時,g'(x)>0,故1不是g(x)的極值點(diǎn).所以g(x)的極值點(diǎn)為-2.(3)令f(x)=t,則h(x)=f(t)-c,先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況,d∈[-2,2].當(dāng)|d|=2時,由(2)可知,f(x)=-2的兩個不同的根為1或-2,注意到f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=2的兩個不同的根為-1或2.當(dāng)|d|<2時,因?yàn)閒(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,所以-2,-1,1,2都不是f(x)=d的根.由(1)知f'(x)=3(x+1)(x-1).①當(dāng)x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,于是f(x)是單調(diào)遞增函數(shù),從而f(x)>f(2)=2,此時f(x)=d無實(shí)根.同理,f(x)=d在(-∞,-2)上無實(shí)根.②當(dāng)x∈(1,2)時,f'(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù),又f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的圖象不間斷,所以f(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.同理,f(x)=d在(-2,-1)內(nèi)有唯一實(shí)根.③當(dāng)x∈(-1,1)時,f'(x)<0,故f(x)是單調(diào)減函數(shù),又f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的圖象不間斷,所以f(x)=d在(-1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.由上可知:當(dāng)|d|=2時,f(x)=d有兩個不同的根x1,x2滿足|x1|=1,|x2|=2;當(dāng)|d|<2時,f(x)=d有三個不同的根x3,x4,x5滿足|xi|<2,i=3,4,5.現(xiàn)考慮函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn).(ⅰ)當(dāng)|c|=2時,f(t)=c有兩個根t1,t2滿足|t1|=1,|t2|=2,而f(x)=t1有三個不同的根,f(x)=t2有兩個不同的根,故y=h(x)有5個零點(diǎn).(ⅱ)當(dāng)|c|<2時,f(t)=c有三個不同的根t3,t4,t5滿足|ti|<2,i=3,4,5,而f(x)=ti(i=3,4,5)有三個不同的根,故y=h(x)有9個零點(diǎn).綜上可知,當(dāng)|c|=2時,函數(shù)y=h(x)有5個零點(diǎn);當(dāng)|c|<2時,函數(shù)y=h(x)有9個零點(diǎn).本題把函數(shù)、不等式、方程結(jié)合在一起考查,設(shè)計(jì)新穎,考查了數(shù)學(xué)知識的靈活轉(zhuǎn)化能力.19.(年山東卷,文22,13分)已知函數(shù)f(x)=lnx+k(1)求k的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)g(x)=xf'(x),其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意x>0,g(x)<1+e-2.(1)解:由f(x)=lnx+kex得:f'(x)=1由于曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行∴f'(1)=0,∴k=1.(2)由(1)得f'(x)=1xex(1-x-xlnx),x∈令h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞)當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)<0,又∵ex>0∴當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)>0,x∈(1,+∞)時,f'(x)<0∴f(x)的遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).(3)證明:∵g(x)=xf'(x)∴g(x)=1ex(1-x-xlnx),x∈(0,+由(2)h(x)=1-x-xlnx,則h'(x)=-2-lnx=-(lnx-lne-2)∴當(dāng)x∈(0,e-2)時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e-2,+∞)時,h'(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減.∴x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e-2)=1+e-2又∵當(dāng)x∈(0,+∞)時,0<1e∴當(dāng)x∈(0,+∞)時,1ex即g(x)<1+e-2綜上所述,結(jié)論成立.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,考查單調(diào)區(qū)間的求法及利用函數(shù)證明不等式,考查學(xué)生綜合分析和解決問題的能力及轉(zhuǎn)化化歸的能力.20.(年江西卷,文21,14分)已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)g(x)=f(x)-f'(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.解:(1)由f(0)=1,f(1)=0得c=1,a+b=-1,則f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f'(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex,依題意需對于任意x∈(0,1),有f'(x)<0.當(dāng)a>0時,因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+(a-1)x-a的圖象開口向上,而f'(0)=-a<0,所以需f'(1)=(a-1)e<0,即0<a<1;當(dāng)a=1時,對任意x∈(0,1)有f'(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合條件;當(dāng)a=0時,對于任意x∈(0,1),f'(x)=-xex<0,f(x)符合條件;當(dāng)a<0時,因f'(0)=-a>0,f(x)不符合條件.故a的取值范圍為0≤a≤1.(2)g(x)=(-2ax+1+a)ex,g'(x)=(-2ax+1-a)ex,(i)當(dāng)a=0時,g'(x)=ex>0,g(x)在x=0上取得最小值g(0)=1,在x=1上取得最大值g(1)=e.(ii)當(dāng)a=1時,對于任意x∈(0,1)有g(shù)'(x)=-2xex<0,g(x)在x=0取得最大值g(0)=2,在x=1取得最小值g(1)=0.(iii)當(dāng)0<a<1時,由g'(x)=0得x=1-①若1-a2a≥②若1-a2a<1,即13<a<1時,g(x)在x=1-而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,則當(dāng)13<a≤e當(dāng)e-21.(年浙江卷,文21,15分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)0≤x≤1時,f(x)+|2-a|>0.解:(1)由題意得f'(x)=12x2-2a.當(dāng)a≤0時,f'(x)≥0恒成立,此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).當(dāng)a>0時,f'(x)=12(x-a6)(x+a此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a6]和[a6,+單調(diào)遞減區(qū)間為[-a6,a(2)由于0≤x≤1,故當(dāng)a≤2時,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2.當(dāng)a>2時,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.設(shè)g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,則g'(x)=6x2-2=6(x-33)(x+3于是x0(0,333(331g'(x)-0+g(x)1↘極小值↗1所以,g(x)min=g(33)=1-4所以當(dāng)0≤x≤1時,2x3-2x+1>0.故f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0.本題把絕對值、不等式以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合在一起考查,題目背景新穎,立意巧妙,給人煥然一新的感覺.22.(年福建卷,文22,14分)已知函數(shù)f(x)=axsinx-32(a∈R),且在[0,π2]上的最大值為(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù),并加以證明.解:(1)由已知得f'(x)=a(sinx+xcosx)對于x∈(0,π2當(dāng)a=0時,f(x)=-32當(dāng)a<0時,f'(x)<0,∴f(x)在(0,π2又f(x)在[0,π2∴f(x)max=f(0)=-32當(dāng)a>0時,f'(x)>0,∴f(x)在(0,π2此時f(x)在[0,π2]上的最大值為f(π2)=π=π-∴f(x)=xsinx-32(2)f(x)在(0,π)內(nèi)有且只有兩個零點(diǎn).證明如下:由(1)知f(x)=xsinx-32∴f(0)=-32<0,f(π2)=又f(x)在[0,π2∴f(x)在(0,π2又由(1)知f(x)在[0,π2∴f(x)在(0,π2當(dāng)x∈[π2,π令g(x)=f'(x)=sinx+xcosx,由g(π2)=1>0,g(π)=-π又x∈(π2,π∴g(x)在(π2,πm∈(π2,π當(dāng)x∈(π2∴f(x)在(π2x∈[π2,m]時,f(x)≥f(π2)=∴f(x)在[π2當(dāng)x∈(m,π)時,有g(shù)(x)<g(m)=0,即f'(x)<0,∴f(x)在(m,π)內(nèi)單減.又f(m)>0,f(π)<0,∴f(x)在[m,π)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn).綜上所述,f(x)在(0,π)內(nèi)有且只有兩個零點(diǎn).本題主要考查函數(shù)的最值,單調(diào)性、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.23.(年湖南卷,文22,13分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.(1)若對一切x∈R,f(x)≥1恒成立.求a的取值集合;(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使f'(x0)=k成立.解:(1)f'(x)=ex-a,令f'(x)=0得x=lna,當(dāng)x<lna時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>lna時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.故當(dāng)x=lna時,f(x)取最小值f(lna)=a-alna.于是對一切x∈R,f(x)≥1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)a-alna≥1.①令g(t)=t-tlnt,則g'(t)=-lnt.當(dāng)0<t<1時,g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t>1時,g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t=1時,g(t)取最大值g(1)=1.因此,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,①式成立.綜上所述,a的取值集合為{1}.(2)由題意知,k=f(x2令φ(x)=f'(x)-k=ex-exφ(x1)=-ex1x2-x1φ(x2)=ex2x2-x1令F(t)=et-t-1,則F'(t)=et-1.當(dāng)t<0時,F'(t)<0,F(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t>0時,F'(t)>0,F(t)單調(diào)遞增.故當(dāng)t≠0時,F(t)>F(0)=0,即et-t-1>0.從而ex2-x1-(x2-x1)-1>0,ex1-x所以φ(x1)<0,φ(x2)>0.因?yàn)楹瘮?shù)y=φ(x)在區(qū)間[x1,x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0,即f'(x0)=k成立.24.(年湖北卷,文22,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n為正整數(shù),a,b為常數(shù).曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y=1.(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的最大值;(3)證明:f(x)<1n解:(1)因?yàn)閒(1)=b,由點(diǎn)(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0.因?yàn)閒'(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f'(1)=-a.又因?yàn)榍芯€x+y=1的斜率為-1,所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0.(2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1,f'(x)=(n+1)xn-1(nn令f'(x)=0,解得x=nn即f'(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn)x0=nn在(0,nn而在(nn+1,+故f(x)在(0,+∞)上的最大值為f(nn+1)=(nn+1)n(1-(3)令φ(t)=lnt-1+1t則φ'(t)=1t-1t2在(0,1)上,φ'(t)<0,故φ(t)單調(diào)遞減;而在(1,+∞)上φ'(t)>0,φ(t)單調(diào)遞增.故φ(t)在(0,+∞)上的最小值為φ(1)=0,所以φ(t)>0(t>1),即lnt>1-1t令t=1+1n,得lnn+1n即ln(n+1n)所以(n+1n)n+1>e,即nn由(2)知,f(x)≤nn(n故所證不等式成立.本題考查了多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo),導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,最值以及證明不等式等綜合應(yīng)用.第(1)問考查導(dǎo)數(shù)的意義,屬于容易題,學(xué)生好拿分;第(2),(3)問較難,涉及到單數(shù)的綜合應(yīng)用,特別是第(3)問,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷最值來證明不等式有一定難度,它也是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用.25.(年新課標(biāo)全國卷,文21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.解:(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=ex-a,若a≤0,則f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,lna)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.(2)a=1時,(x-k)f'(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1,故x>0時,(x-k)f'(x)+x+1>0等價于k<x+1e令g(x)=x+1則g'(x)=-xex令h(x)=ex-x-2,由(1)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn).故g'(x)在(0,+∞)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為α,則α∈(1,2),當(dāng)x∈(0,α)時,g'(x)<0;當(dāng)x∈(α,+∞)時,g'(x)>0,又g'(α)=0知eα=α+2,所以g(x)min=g(α)=α+1,∴g(α)=α+1∈(2,3).由①式等價于k<g(x),故整數(shù)k的最大值為2.本題目考查了函數(shù)單調(diào)性和恒成立思想,是高考導(dǎo)數(shù)問題中高頻率考點(diǎn)問題,求k的取值范圍轉(zhuǎn)化為求g(x)的最小值是本題的關(guān)鍵.26.(年遼寧卷,文21,12分)設(shè)f(x)=lnx+x-1,證明:(1)當(dāng)x>1時,f(x)<32(2)當(dāng)1<x<3時,f(x)<9((1)證明:法一:記g(x)=lnx+x-1-32g'(x)=1x+12x又g(1)=0,有g(shù)(x)<0,即f(x)<32法二:由均值不等式,當(dāng)x>1時,2x<x+1,故x<x2+12令k(x)=lnx-x+1,則k(1)=0,k'(x)=1x故k(x)<0,即lnx<x-1,②由①②得,當(dāng)x>1時,f(x)<32(2)法一:記h(x)=f(x)-9(h'(x)=1x+12=2+x2<x+54=(x令g(x)=(x+5)3-216x,則當(dāng)1<x<3時,g'(x)=3(x+5)2-216<0,因此g(x)在(1,3)內(nèi)是遞減函數(shù),又由g(1)=0,得g(x)<0,所以h'(x)<0.因此h(x)在(1,3)內(nèi)是遞減函數(shù),又h(1)=0,得h(x)<0,于是當(dāng)1<x<3時,f(x)<9(法二:記h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),則當(dāng)1<x<3時,由(1)得h'(x)=f(x)+(x+5)f'(x)-9<32(x-1)+(x+5)(1x+=12x[3x(x-1)+(x+5)(2+<12x[3x(x-1)+(x+5)(2+x2=14x(7x又h(1)=0,所以h(x)<0,即f(x)<9(27.(年天津卷,文20,14分)已知函數(shù)f(x)=13x3+1-a2x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=1時,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值.解:(1)f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f'(x)=0得x1=-1,x2=a>0,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)f(-2)所以,a的取值范圍是(0,13(3)a=1時,f(x)=13x3由(1)知f(x)在[-3,-1]上單調(diào)遞增,在[-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增.①當(dāng)t∈[-3,-2]時,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上單調(diào)遞增,在[-1,t+3]上單調(diào)遞減.因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-13而最小值m(t)為f(t)與f(t+3)中的較小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,當(dāng)t∈[-3,-2]時,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在[-3,-2]上單調(diào)遞增,因此f(t)≤f(-2)=-53所以g(t)在[-3,-2]上的最小值為g(-2)=-13-(-53)=②當(dāng)t∈[-2,-1]時,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比較f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.由f(x)在[-2,-1],[1,2]上單調(diào)遞增,有f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).又由f(1)=f(-2)=-53,f(-1)=f(2)=-1從而M(t)=f(-1)=-13,m(t)=f(1)=-5所以g(t)=M(t)-m(t)=43綜上,函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值為43本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、最值等知識,體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想、分類討論思想,對學(xué)生綜合分析和解決問題的能力要求較高.難度較大.28.(年福建卷,文22)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求實(shí)數(shù)b的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)當(dāng)a=1時,是否同時存在實(shí)數(shù)m和M(m<M),使得對每一個t∈[m,M],直線y=t與曲線y=f(x)(x∈[1e解:(1)由f(e)=2得-ae+b+ae=2,∴b=2.(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx(x>0),從而f'(x)=alnx(x>0),因?yàn)閍≠0,①當(dāng)