4.2.2　指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(二)

4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(二)第四章§4.2指數(shù)函數(shù)1.會利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小和解指數(shù)不等式.2.能利用函數(shù)的單調性求簡單的函數(shù)定義域與值域的問題.學習目標隨堂演練課時對點練一、利用單調性比較大小二、簡單的指數(shù)不等式的解法三、定區(qū)間上的值域問題內容索引四、指數(shù)函數(shù)圖象和性質的綜合運用一、利用單調性比較大小例1

(1)1.11.1，1.10.9；解因為y＝1.1x是增函數(shù)，1.1>0.9，故1.11.1>1.10.9.(2)0.1－0.2，0.10.9；解因為y＝0.1x是減函數(shù)，－0.2<0.9，故0.1－0.2>0.10.9.(3)30.1，π0.1；解因為y＝x0.1在(0，＋∞)上單調遞增，3<π，故30.1<π0.1.(4)1.70.1，0.91.1；解因為1.70.1>1.70＝1，0.91.1<0.90＝1，故1.70.1>0.91.1.(5)0.70.8，0.80.7.解取中間值0.70.7，因為0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中間值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).反思感悟一般地，比較冪大小的方法有(1)對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調性來判斷.(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小，利用冪函數(shù)的單調性來判斷.(3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個冪的大小，則通過中間值來判斷.跟蹤訓練1

(1)下列大小關系正確的是A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43解析0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.√(2)設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a解析∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，且1.5>0.6，∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b<a<c.√二、簡單的指數(shù)不等式的解法∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.(2)已知

<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范圍.解分情況討論：①當0<a<1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是減函數(shù)，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；②當a>1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函數(shù)，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5，綜上所述，當0<a<1時，x的取值范圍是{x|x<－1或x>5}；當a>1時，x的取值范圍是{x|－1<x<5}.反思感悟(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式.(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習慣，若底數(shù)不確定，就需進行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1).跟蹤訓練2

(1)求下列函數(shù)的定義域.解由2x－1≥0解得x≥0，(2)不等式23－2x<0.53x－4的解集為________.解析原不等式可化為23－2x<24－3x，因為函數(shù)y＝2x是R上的增函數(shù)，所以3－2x<4－3x，解得x<1，則不等式的解集為{x|x<1}.{x|x<1}三、定區(qū)間上的值域問題√反思感悟關于定區(qū)間上的值域問題(1)求定區(qū)間上的值域關鍵是確定函數(shù)的單調性，如果底數(shù)中含字母，則分a>1,0<a<1兩種情況討論，單調性確定后，根據(jù)單調性求最值即可.(2)特別地，如果是最大值與最小值的和，則不需要討論，因為無論單調遞增還是遞減，最值總在端點處取到.√x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤2，四、指數(shù)函數(shù)圖象和性質的綜合運用(1)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調性；該函數(shù)是減函數(shù)，證明如下：任取x1，x2∈R，x1<x2，f(x2)－f(x1)＝因為x1<x2，所以0< ，所以

<0，(1＋

)(1＋

)>0，所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1).所以該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.解由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－k).因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(t2－2t)<f(k－2t2)，由(1)知，f(x)是減函數(shù)，所以t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0對任意t∈R恒成立，反思感悟函數(shù)性質的綜合應用(1)解題過程中要關注、體會性質的應用，如果性質應用不充分，會導致解題步驟煩瑣或無法求解，如本題中奇偶性、單調性的應用，可以將復雜的指數(shù)運算轉化為一元二次不等式問題.(2)一元二次不等式的恒成立問題，可以結合相應的一元二次函數(shù)的圖象，轉化為等價的條件求解，恒成立問題還可以利用分離參數(shù)、轉化為最值問題等方法求解.(1)求實數(shù)a的值；又a>0，所以a＝1.(2)求f(x)在[1,3]上的值域.設任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，因為0<x1<x2，所以

，則f(x1)－f(x2)＝所以

<0.又因為x1＋x2>0，所以

>1，所以1－

>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.1.知識清單：(1)比較大小.(2)解不等式、方程.(3)定區(qū)間上的值域問題.(4)指數(shù)函數(shù)性質的綜合運用.2.方法歸納：轉化與化歸.3.常見誤區(qū)：研究y＝af(x)型函數(shù)，易忽視討論a>1還是0<a<1.課堂小結隨堂演練1234解析因為函數(shù)y＝0.3x在定義域R上是減函數(shù)，且0.3m>0.3n，所以m<n.1.已知0.3m>0.3n，則m，n的大小關系為A.m>n

B.m<nC.m＝n

D.不能確定√12342.f(x)＝

，x∈R，那么f(x)是A.奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)C.奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D.偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)解析由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函數(shù)，√12343.函數(shù)f(x)＝

的定義域為A.(－3,0] B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]所以函數(shù)f(x)的定義域為(－3,0].√1234且

，4.不等式

的解集為______.(1,2)所以x2－2x－2<x－4，即x2－3x＋2<0，解得1<x<2.課時對點練基礎鞏固123456789101112131415161.方程42x－1＝16的解是√12345678910111213141516√123456789101112131415163.(多選)已知實數(shù)a，b滿足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是A.a＝b＝0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a解析如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故選ABD.√√√123456789101112131415164.函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數(shù)y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是A.6 B.1 C.3 D.解析函數(shù)y＝ax在[0,1]上是單調的，最大值與最小值都在端點處取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函數(shù)y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上單調遞增，當x＝1時，ymax＝3.√123456789101112131415165.函數(shù)f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是√123456789101112131415166.設a＝

，b＝

，c＝

，則a，b，c的大小關系是解析因為y＝

(x>0)為增函數(shù)，所以a>c.A.a>c>b

B.a>b>cC.c>a>b

D.b>c>a√所以a>c>b.123456789101112131415162解析因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，123456789101112131415168.函數(shù)y＝

的定義域是__________.解析由題意得2x－1－8≥0，即2x－1≥8＝23，∴x－1≥3，解得x≥4.[4，＋∞)123456789101112131415169.比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.52.5和1.53.2；解∵函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.12345678910111213141516(2)0.6－1.2和0.6－1.5；解∵函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5.(3)1.50.3和0.81.2.解由指數(shù)函數(shù)的性質知1.50.3>1.50＝1，又0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.1234567891011121314151610.已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點P(3,8)，且函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關于y軸對稱，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范圍.解設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因為f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，所以f(x)＝2x，又因為g(x)與f(x)的圖象關于y軸對稱，因此由g(2x－1)<g(3x)，得2x－1>3x，解得x<－1.所以x的取值范圍為(－∞，－1).123456789101112131415綜合運用1611.(多選)以下關于數(shù)的大小的結論中正確的是A.1.72.5<1.73

B.0.8－0.1<0.8－0.2C.1.50.4<0.82.6

D.√√12345678910111213141516解析∵函數(shù)y＝1.7x在R上為增函數(shù)，2.5<3，∴1.72.5<1.73，A正確；∵函數(shù)y＝0.8x在R上為減函數(shù)，－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，B正確；∵1.50.4>1.50＝1,0.82.6<0.80＝1，∴1.50.4>0.82.6，C錯誤；1234567891011121314151612.已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)內的值域是(1，a2)，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是√12345678910111213141516解析因為函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)內的值域是(1，a2)，又指數(shù)函數(shù)是單調函數(shù)，所以a>1.由底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)的圖象上升，且在x軸上方，可知B正確.1234567891011121314151613.設定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，若f(x－2)>0，則x的取值范圍是A.(－∞，0) B.(0,4)C.(4，＋∞) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)√12345678910111213141516解析當x≥0時，令f(x)＝2x－4>0，解得x>2.又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴其圖象關于y軸對稱，∴不等式f(x)>0在R上的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞).∴不等式f(x－2)>0等價為x－2∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，解得x∈(－∞，0)∪(4，＋∞).12345678910111213141516解析由題意知f(x)是R上的減函數(shù)，拓廣探究123456789101112131415