3.1.1　函數(shù)的概念(一)

3.1.1函數(shù)的概念(一)第三章§3.1函數(shù)的概念及其表示1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言

和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念.2.體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.學(xué)習(xí)目標(biāo)請同學(xué)們閱讀課本75頁《閱讀與思考》(大約3分鐘)，大家通過閱讀函數(shù)概念的發(fā)展歷程可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的.也就是說函數(shù)并不是很神秘、很可怕的東西，它只是一個(gè)名稱，它就在我們身邊，比如路程隨時(shí)間的變化而變化；一天中溫度隨時(shí)間的變化而變化；天宮二號在發(fā)射過程中，上升的高度隨時(shí)間的變化而變化，可以說這種變量關(guān)系無處不在，而我們要做的就是用心去體驗(yàn)、去感受它的美.導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的三要素三、構(gòu)建問題情境內(nèi)容索引一、函數(shù)的概念問題1

閱讀課本P60上的問題1和問題2，并思考它們有什么異同點(diǎn)？提示它們有相同的解析式，也就是對應(yīng)關(guān)系.它們有不同的實(shí)際背景，變量的取值范圍也不同.問題2請同學(xué)們繼續(xù)閱讀課本上的問題3和問題4，它們分別是函數(shù)嗎？如果是，請指出它們與問題1和問題2中的函數(shù)的區(qū)別.提示是函數(shù).由圖象和表格呈現(xiàn)出來的變量間的對應(yīng)關(guān)系比解析式更直觀、形象.問題3

通過對4個(gè)問題的分析，你能說出它們有什么不同點(diǎn)和共同點(diǎn)嗎？提示不同點(diǎn)：問題1,2是用解析式刻畫兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，問題3是用圖象刻畫兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，問題4是用表格刻畫兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.共同點(diǎn)：①都有兩個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，分別用A，B來表示；②兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系；③對于數(shù)集A中的每一個(gè)數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng).知識梳理函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的

，如果對于集合A中的

，按照某種

的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有

的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域

的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的

的值的集合{f(x)|x∈A}實(shí)數(shù)集任意一個(gè)數(shù)x確定唯一確定xy注意點(diǎn)：(1)A，B是非空的實(shí)數(shù)集；(2)定義域是非空的實(shí)數(shù)集A，但函數(shù)的值域不一定是非空實(shí)數(shù)集B，而是集合B的子集；(3)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)元素x，在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應(yīng).(4)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對應(yīng)關(guān)系；(5)除f(x)外，有時(shí)還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號表示函數(shù).例1

(1)(多選)下列集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的數(shù)取絕對值√√解析按照函數(shù)定義，選項(xiàng)B中，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)定義中一個(gè)自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項(xiàng)C中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應(yīng)著唯一的函數(shù)值的要求；選項(xiàng)A和D符合函數(shù)的定義.(2)設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形：其中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3√解析①中，因?yàn)樵诩螹中當(dāng)1<x≤2時(shí)，在N中無元素與之對應(yīng)，所以①不是；②中，對于集合M中的任意一個(gè)數(shù)x，在N中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，所以②是；③中，x＝2對應(yīng)元素y＝3?N，所以③不是；④中，當(dāng)x＝1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對應(yīng)，所以④不是.因此只有②是.反思感悟(1)判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法(2)根據(jù)圖形判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法①任取一條垂直于x軸的直線l；②在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l；③若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，給出下列四個(gè)對應(yīng)關(guān)系，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是A.y＝x2

B.y＝x＋1C.y＝x－1 D.y＝|x|.√解析只有y＝|x|是符合題意的對應(yīng)關(guān)系.二、函數(shù)的三要素問題4

初中我們學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)？提示一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).問題5

你能說一說問題4中的幾個(gè)函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域分別是什么嗎？提示一次函數(shù)的定義域是R，值域也是R，對應(yīng)關(guān)系實(shí)際上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當(dāng)a>0時(shí)，它的值域是

；當(dāng)a<0時(shí)，它的值域是

，對應(yīng)關(guān)系實(shí)際上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函數(shù)f(x)＝

(k≠0)的定義域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，對應(yīng)關(guān)系是f(x)＝

(k≠0).例2

(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域?yàn)開_______________________，值域?yàn)開_____________.解析根據(jù)y＝f(x)的函數(shù)圖象可看出，f(x)的定義域?yàn)閧x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域?yàn)閧y|－4≤y≤3}.{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}{y|－4≤y≤3}(2)若已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，則函數(shù)的值域?yàn)開_______.{0,1}解析由x∈{－1,0,1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根據(jù)集合的互異性，函數(shù)的值域?yàn)閧0,1}.反思感悟關(guān)于函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的定義域即集合A，在坐標(biāo)系中是橫坐標(biāo)x的取值范圍.(2)函數(shù)的值域并不是集合B，是函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}，在坐標(biāo)系中是縱坐標(biāo)的取值范圍.(3)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f反映了自變量x的運(yùn)算、對應(yīng)方法，通過這種運(yùn)算，對應(yīng)得到唯一的函數(shù)值y.跟蹤訓(xùn)練2

函數(shù)y＝f(x)＝

的值域是A.R

B.{y|－1≤y≤1}C.{－1,1} D.{－1,0,1}√三、構(gòu)建問題情境例3

已知矩形的面積為10，如圖所示，試借助該圖形構(gòu)建問題情境描述下列變量關(guān)系.解設(shè)矩形的長為x，周長為f(x)，反思感悟構(gòu)建問題情境的步驟(1)綜合考慮構(gòu)建具體的實(shí)際問題.(2)賦予每個(gè)變量具體的實(shí)際意義.(3)根據(jù)變量關(guān)系，設(shè)計(jì)出所求的實(shí)際問題.解某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的利潤是投資額的算術(shù)平方根的2倍，其中x的取值范圍A＝{x|x≥0}，y的取值范圍B＝{y|y≥0}，1.知識清單：(1)函數(shù)的概念；(2)函數(shù)的三要素；(3)構(gòu)建問題情境.2.方法歸納：定義法、圖象法.3.常見誤區(qū)：函數(shù)概念的理解.課堂小結(jié)隨堂演練1.對于函數(shù)f：A→B，若a∈A，b∈A，則下列說法錯(cuò)誤的是A.f(a)∈B

B.f(a)有且只有一個(gè)C.若f(a)＝f(b)，則a＝b

D.若a＝b，則f(a)＝f(b)1234√12342.下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：√1234B正確，符合函數(shù)的定義；C錯(cuò)誤，2∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)；D錯(cuò)誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù).12343.函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝2021的公共點(diǎn)有A.0個(gè)

B.1個(gè)C.0個(gè)或1個(gè) D.以上答案都不對√12344.若函數(shù)y＝x2－3x的定義域?yàn)閧－1,0,2,3}，則其值域?yàn)開_________.{－2,0,4}課時(shí)對點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.對于函數(shù)y＝f(x)，以下說法正確的有①y是x的函數(shù)；②對于不同的x值，y值也不同；③函數(shù)是一種對應(yīng)，是多對一或一對一，不是一對多.A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③16√123456789101112131415解析由函數(shù)的定義知，y是x的函數(shù)，故①正確；對于不同的x值，y值可以相同，例如y＝|x|，當(dāng)x＝1，－1時(shí)，y值均是1，故②錯(cuò)誤；由函數(shù)的定義知，函數(shù)是一種對應(yīng)，是多對一或一對一，不是一對多，故③正確.所以對于函數(shù)y＝f(x)，說法正確的有①③.162.下列圖形中不是函數(shù)圖象的是12345678910111213141516解析

A中至少存在一處如x＝0，一個(gè)橫坐標(biāo)對應(yīng)兩個(gè)縱坐標(biāo)，這相當(dāng)于集合A中至少有一個(gè)元素在集合B中對應(yīng)的元素不唯一，故A不是函數(shù)圖象，B，C，D均符合函數(shù)定義.√123456789101112131415163.(多選)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，則下列對應(yīng)關(guān)系中，可看作是從A到B的函數(shù)關(guān)系的是解析根據(jù)函數(shù)的定義，對于D，在集合A中的部分元素，在集合B中沒有元素與它對應(yīng)，故不正確.√√√123456789101112131415164.德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年時(shí)提出：“如果對于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)”，這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)x，都有一個(gè)確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式、圖象、表格還是其他形式，已知函數(shù)f(x)由表格給出，則

的值為xx≤11<x<2x≥2f(x)123A.0 B.1 C.2 D.3√1234567891011121314155.設(shè)f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是A.{1} B.{－1} C.{－1,1} D.{－1,0}16解析若集合A＝{－1,0}，則0∈A，但02?B.√123456789101112131415166.(多選)下列四種說法中，正確的有A.函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)，在定義域中都至少有一個(gè)數(shù)與之對應(yīng)B.函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C.定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了D.若函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素，則值域中也只含有一個(gè)元素√√√解析由函數(shù)定義知，A，C，D正確，B不正確.123456789101112131415167.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么

的值等于__.2123456789101112131415168.如圖，表示函數(shù)關(guān)系的是________.(填序號)①②④解析由于③中的2與1和3同時(shí)對應(yīng)，故③不是函數(shù).123456789101112131415169.根據(jù)圖中的函數(shù)圖象，求出函數(shù)的定義域和值域.解圖(1)，定義域?yàn)閧x|0≤x<3}，值域?yàn)閧y|0≤y≤1或y＝2}；12345678910111213141516解圖(2)，定義域?yàn)閧x|x≥－2}，值域?yàn)閧y|y≥0}；12345678910111213141516解圖(3)，定義域?yàn)镽，值域?yàn)閧y|－1≤y≤1}.1234567891011121314151610.試構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)＝

x∈{x|x>0})來描述.解直角三角形的面積為5，設(shè)一條直角邊長為x，其中，x的取值范圍是A＝{x|x>0}，y的取值范圍是B＝{y|y>0}.對應(yīng)關(guān)系f把每一個(gè)直角三角形的一條直角邊長x，123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系為y＝3x＋1，則k的值為A.5 B.4 C.3 D.2√解析根據(jù)對應(yīng)關(guān)系為y＝3x＋1,3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，由題意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3.1234567891011121314151612.若兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，值域也相同，但定義域不同，則稱這兩個(gè)函數(shù)為同族函數(shù)，那么與函數(shù)y＝x2，x∈{－1,0,1,2}為同族函數(shù)的有A.5個(gè)

B.6個(gè)

C.7個(gè)

D.8個(gè)√解析由題意知同族函數(shù)是只有定義域不同的函數(shù)，函數(shù)解析式為y＝x2，值域?yàn)閧0,1,4}，定義域中0是肯定有的，正、負(fù)1至少含有一個(gè)，正、負(fù)2至少含有一個(gè)，它的定義域可以是{0,1,2}，{0,1，－2}，{0，－1,2}，{0，－1，－2}，{0,1，－2,2}，{0，－1，－2,2}，{0,1，－1，－2}，{0,1，－1,2，－2}，共有8種不同的情況.13.下列構(gòu)建的問題情境中的變量關(guān)系不可以用同一個(gè)解析式來描述的是A.某商品的售價(jià)為2(單位：元/件)，銷量為x(單位：件)，銷售額為y(單位：元)，那么y＝2x.

其中，x的取值范圍是A＝N，y的取值范圍是B＝

.對應(yīng)關(guān)系f把商品的每一個(gè)銷量

x，對應(yīng)到唯一確定的銷售額2xB.把y＝2x(x∈N)看成是一次函數(shù)，那么它的定義域是N，值域是B＝

.對應(yīng)關(guān)系f把

定義域中的任意一個(gè)數(shù)x，對應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)2xC.某物體做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2(單位：米/秒)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(單位：秒)，路程為y(單位：米)，

那么y＝2x.其中，x的取值范圍是A＝{x|x≥0}，y的取值范圍是B＝{y|y≥0}.對應(yīng)關(guān)系f把物

體的每個(gè)時(shí)間x，對應(yīng)到唯一確定的路程2xD.某品牌汽車的裝貨量為2(單位：噸/臺)，汽車數(shù)量為t(單位：臺)，運(yùn)載量為z(單位：噸)，

那么z＝2t，其中，t的取值范圍是A＝N，z的取值范圍是B＝

.對應(yīng)關(guān)系f把每一個(gè)

汽車數(shù)量t，對應(yīng)到唯一確定的運(yùn)載量2t12345678910111213141516√1234567891011121314