2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)8全稱量詞與存在量詞含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE4全稱量詞與存在量詞[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A．?x>1，x2－2x－3＝0B．若2x為偶數(shù)，則x∈NC．全部菱形的四條邊都相等D．π是無(wú)理數(shù)解析：選C對(duì)于A，是存在量詞命題，故A不正確；對(duì)于B，是假命題，故B不正確；對(duì)于C，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；對(duì)于D，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確，故選C.2．設(shè)非空集合P，Q滿意P∩Q＝P，則()A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x?Q，使得x∈P D．?x∈P，使得x?Q解析：選B∵P∩Q＝P，∴P?Q，如圖，∴A錯(cuò)誤；B正確；C錯(cuò)誤；D錯(cuò)誤．故選B.3．以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)>2解析：選BA是全稱量詞命題．B項(xiàng)為存在量詞命題，當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0成立，所以B正確．因?yàn)閑q\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C為假命題．對(duì)于任何一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以D錯(cuò)誤．故選B.4．(多選)下列命題中是真命題的是()A．?x∈R，2x2－3x＋4＞0B．?x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0C．?x∈N，使eq\r(x)≤xD．不存在x∈N*，使x為29的約數(shù)解析：選AC?x∈R，2x2－3x＋4＞0，因?yàn)棣ぃ?－3)2－4×2×4＜0，故A正確；?x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0，若x＝－1，則2x＋1＝－1＜0，故B錯(cuò)誤；?x∈N，使eq\r(x)≤x，取x＝4∈N，有eq\r(4)≤4成立，故C正確；1，29都是29的約數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選A、C.5．(多選)命題“?1≤x≤3，x2－a≤0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≥11C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10解析：選BC當(dāng)該命題是真命題時(shí)，只需當(dāng)1≤x≤3時(shí)，a≥(x2)max.因?yàn)?≤x≤3時(shí)，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因?yàn)閍≥9?/a≥10，a≥10?a≥9，又a≥9?/a≥11，a≥11?a≥9，故選B、C.6．對(duì)隨意x>3，x>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：對(duì)隨意x>3，x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.答案：{a|a≤3}7．命題“有些負(fù)數(shù)滿意不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“?”寫成存在量詞命題為________．解析：存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”．答案：?x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞08．下列存在量詞命題是真命題的序號(hào)是________．①有些不相像的三角形面積相等；②存在實(shí)數(shù)x，使x2＋2<0;③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．解析：①為真命題，只要找出等底等高的兩個(gè)三角形，面積就相等，但不肯定相像；②中對(duì)隨意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在實(shí)數(shù)x，使x2＋2<0，為假命題；③中當(dāng)實(shí)數(shù)a大于0時(shí)，結(jié)論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題．故真命題的序號(hào)是①③④.答案：①③④9．用量詞符號(hào)“?”“?”表示下列命題：(1)隨意一個(gè)實(shí)數(shù)乘以－1都等于它的相反數(shù)；(2)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，都有x3＞x2；(3)某個(gè)四邊形不是平行四邊形．解：(1)?x∈R，x·(－1)＝－x.(2)?x∈R，x3＞x2.(3)?x∈{x|x是四邊形}，x不是平行四邊形．10．指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并推斷真假：(1)存在一個(gè)三角形沒(méi)有外接圓；(2)?x∈R，eq\r(x)＜0；(3)存在實(shí)數(shù)x，eq\r(x2)＝－x.解：(1)存在一個(gè)三角形沒(méi)有外接圓，是存在量詞命題，命題為假命題．(2)存在量詞命題．非負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根，且仍為非負(fù)數(shù)，所以該命題為假命題．(3)存在量詞命題．當(dāng)x＜0時(shí)，eq\r(x2)＝－x，所以該命題為真命題．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．下列說(shuō)法正確的是()A．對(duì)全部的正實(shí)數(shù)t，有eq\r(t)＜tB．存在實(shí)數(shù)x，使x2－3x－4＝0C．不存在實(shí)數(shù)x，使x＜4且x2＋5x－24＝0D．隨意實(shí)數(shù)x，使得|x＋1|≤1且x2＞4解析：選Bt＝eq\f(1,4)時(shí)，eq\r(t)＞t，所以A選項(xiàng)錯(cuò)；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此當(dāng)x＝－1或x＝4時(shí)，x2－3x－4＝0，故B選項(xiàng)正確；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C選項(xiàng)錯(cuò)；x＝0時(shí)，x2>4不成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)．12．已知“?x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”和“?x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”均為真命題，那么m，n的取值范圍分別是()A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＞2C．m＞2，n＞0 D．m＞2，n＞2解析：選C由“?x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”是真命題，可得m＞2；由“?x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”是真命題，可得n＞0.13．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，假如p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：由p(1)是假命題，p(2)是真命題，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2－m≤0，,4＋4－m＞0，))解得3≤m＜8.答案：3≤m＜814．設(shè)語(yǔ)句q(x)：|x－1|＝1－x.(1)寫出q(1)，q(2)，并推斷它們是不是真命題；(2)寫出“?a∈R，q(a)”，并推斷它是不是真命題；(3)寫出“?a∈R，q(a)”，并推斷它是不是真命題．解：(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命題．q(2)：|2－1|＝1－2，因?yàn)閨2－1|＝1，1－2＝－1，所以|2－1|≠1－2，假命題．(2)?a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(2)為假命題，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”為假命題．(3)?a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(1)為真命題，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”為真命題．[C級(jí)拓展探究]15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．解：(1)由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，B≠?，所以e