專題01選擇填空壓軸題型三角函數(shù)與解三角形綜合題

專題01選擇填空壓軸題型：三角函數(shù)與解三角形綜合題題型一三角函數(shù)1．（2223高一下·北京平谷·期末）如圖，單位圓上角的始邊為軸正半軸，終邊射線交單位圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，將點(diǎn)到射線的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義、三角形的面積結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可判定.【詳解】由三角函數(shù)定義及的面積可得：，由正弦函數(shù)的圖象可知B項(xiàng)正確.而對(duì)于A、C項(xiàng)，顯然可排除；對(duì)于D項(xiàng)，顯然當(dāng)時(shí)，M與O重合，此時(shí)，可排除.故選：B.2．（2223高一下·北京豐臺(tái)·期末）如圖，已知直線，為之間一定點(diǎn)，并且點(diǎn)到的距離為2，到的距離為1.為直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)，則△面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系．直線的斜率存在，設(shè)方程為：，，直線的方程為：，可得的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．或者利用銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)及可求解.【詳解】解法一：不妨將圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．直線的斜率存在，設(shè)方程為：，．則直線的方程為：，，．的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的面積最小值為2．故選：C．

解法二：設(shè)角則，故所以的面積由于，所以，故當(dāng)時(shí)，面積取最小值2，故選：C.

3．（2223高一下·北京順義·期末）已知半圓的直徑為圓心，圓周上有兩動(dòng)點(diǎn)滿足．設(shè)弦與弦的長(zhǎng)度之和與的關(guān)系為，則最大值為（

）

A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別表示出，得到函數(shù)關(guān)系式，然后換元，由二次函數(shù)的最值即可得到結(jié)果.【詳解】

由題意可得，，且，做于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，則，令，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，，對(duì)稱軸，則.故選：B.4．（2223高一下·北京海淀·期末）海洋中的波動(dòng)是海水的重要運(yùn)動(dòng)形式之一．在外力的作用下，海水質(zhì)點(diǎn)離開其平衡位置做周期性或準(zhǔn)周期性的運(yùn)動(dòng)，由于流體的連續(xù)性，必然帶動(dòng)其鄰近質(zhì)點(diǎn)，從而導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播．（節(jié)選自《海洋科學(xué)導(dǎo)論》馮士筰李風(fēng)岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學(xué)小組的同學(xué)為了研究海水質(zhì)點(diǎn)在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)情況，通過(guò)數(shù)據(jù)采集和分析，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)海水質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間段相對(duì)于海平面的位移（米）與時(shí)間（秒）的關(guān)系近似滿足，其中常數(shù)．經(jīng)測(cè)定，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)波峰，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第三次到達(dá)波峰．在時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于海平面的位移不低于0.5米的總時(shí)長(zhǎng)為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒【答案】C【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出解析式，再由得出總時(shí)長(zhǎng).【詳解】解：因?yàn)槊霑r(shí)該質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)波峰，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第三次到達(dá)波峰．所以，即，當(dāng)時(shí)，，，即，因?yàn)?，所?則，由得出或，.即，或，因?yàn)椋?因此該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于海平面的位移不低于0.5米的總時(shí)長(zhǎng)為.故選：C.5．（2223高一下·北京東城·期末）如圖，質(zhì)點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)，再由整體代換法即可求出單調(diào)增區(qū)間的表達(dá)式.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，因?yàn)樵趩挝粓A上的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)，由，得，又因?yàn)椋?，，，所以該函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，.故選：B.6．（2021高一下·北京·期中）如圖，摩天輪的半徑為40米.摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).每30分鐘轉(zhuǎn)一圈.若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.下面有關(guān)結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)10分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為45米B．第25分鐘和第70分鐘點(diǎn)P距離地面的高度相同C．從第10分鐘至第20分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度一直在上升D．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P距離地面的高度不低于65米的時(shí)間為10分鐘【答案】D【分析】若轉(zhuǎn)動(dòng)分鐘，P距離地面的高度為可得，結(jié)合各選項(xiàng)的描述，利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷正誤.【詳解】由題設(shè)，摩天輪每分鐘的角速度為，若轉(zhuǎn)動(dòng)分鐘，P距離地面的高度為，則，所以，經(jīng)過(guò)10分鐘米，A錯(cuò)誤；第25分鐘米；第70分鐘米，B錯(cuò)誤；由，則，即P距離地面的高度先增大后減小，C錯(cuò)誤；由題設(shè)，，即，在一周內(nèi)P距離地面的高度不低于65米有，可得，故時(shí)間長(zhǎng)度為10分鐘，D正確.故選：D.7．（2122高一下·北京·期末）石景山游樂(lè)園“夢(mèng)想之星”摩天輪采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡(jiǎn)約.“夢(mèng)想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為分鐘，配有個(gè)球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過(guò)即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過(guò)程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】角速度為，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，游玩中到地面的距離為，進(jìn)而甲乙在摩天輪上游玩的過(guò)程中他們所在的高度之和，再利用三角函數(shù)值域的研究方法求解即可【詳解】因?yàn)榻撬俣葹?，所以游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，游玩中到地面的距離為，由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過(guò)程中他們所在的高度之和，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，即他們所在的高度之和的最大值約為，故選：C.8．（2122高一下·北京·期末）記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的最小值，從而得的最大值；【詳解】因?yàn)樗宰钚≌芷?，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以的最大值為，故選：B.9．（2122高一下·北京·期末）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn),對(duì)稱軸為,求出a和，得到解析式.由，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，,可得與關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱,即可求解的最小值.【詳解】函數(shù)，其中.因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸為，所以，解得：，所以.對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足可得：.又，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，所以.所以當(dāng)k=1時(shí),可得最小.故選：D.10．（2122高一下·北京平谷·期末）已知關(guān)于的方程在內(nèi)有解，那么實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】可得在內(nèi)有解，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】方程在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，令，，則，所以，解得.故選：C.11．（2223高一下·北京密云·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)對(duì)稱中心，給出下列三個(gè)結(jié)論：①的值可能是3；②的最小正周期可能是；③在區(qū)間上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③【分析】由題意，結(jié)合角的范圍可得，求出的范圍可判斷①，利用三角函數(shù)的周期公式可判斷②，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③．【詳解】函數(shù)，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)對(duì)稱中心，則，，即的取值范圍是，而，故①正確；周期，由，得，，的最小正周期不可能是，故②錯(cuò)誤；，，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確．故答案為：①③．12．（2223高一下·北京懷柔·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則；若，且，則的值為．

【答案】；【分析】由題意先求出函數(shù)的解析式，再把代入可得函數(shù)值，由，可得的取值，再根據(jù)，確定的值，從而得出答案.【詳解】由題意可知，，所以，則，所以函數(shù)為，又因?yàn)楹瘮?shù)在處取得最大值，即，，，當(dāng)時(shí)，滿足條件，；故函數(shù)為，則；當(dāng)時(shí)，，或，即或，若，且，即當(dāng)時(shí)，，，故.故答案為：；.13．（2223高一下·北京延慶·期末）已知函數(shù)，且的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2，則．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)確定的最小正周期，進(jìn)而求解析式，利用周期性求目標(biāo)函數(shù)值即可.【詳解】由題意最小正周期為，故，所以，則，則.故答案為：.14．（2223高一下·北京豐臺(tái)·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的一個(gè)取值為.【答案】（答案不唯一）【分析】當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得到，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以常數(shù)的一個(gè)取值可以為.故答案為：（答案不唯一）.15．（2223高一下·北京海淀·期末）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；②在上有最大值；③若，則；④區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①②③【分析】解方程，可判斷①；分析出函數(shù)在的最大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，再利用最值定理可判斷②；推導(dǎo)出，可判斷③；利用特殊值法可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由可得且，即函數(shù)的定義域?yàn)?，令可得，則，且，故，所以，函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，①對(duì)；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，令，可得，解得，假設(shè)函數(shù)在上的最大值點(diǎn)為，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，對(duì)任意的，且，則，所以，，則，所以，若在上存在最大值點(diǎn)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上是一條連續(xù)不斷的曲線，所以，函數(shù)在上存在最大值，故函數(shù)在上存在最大值，②對(duì)；對(duì)于③，對(duì)任意的，，因?yàn)?，所以，若，則，③對(duì)；對(duì)于④，，，因?yàn)?，即，故，故函?shù)在上不可能單調(diào)遞減，④錯(cuò).故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第②小問(wèn)中函數(shù)的單調(diào)性不好判斷，可分析出函數(shù)的最值點(diǎn)所在的區(qū)間，并分析出函數(shù)的圖象是連續(xù)的，再結(jié)合最值定理來(lái)進(jìn)行判斷.16．（2223高一下·北京石景山·期末）水車在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個(gè)半徑為米的水車逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，如果當(dāng)水輪上一點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)秒后，水車旋轉(zhuǎn)到點(diǎn).給出下列結(jié)論：

①在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)距水面的最大距離為米；③當(dāng)秒時(shí)，；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，點(diǎn)的高度為，根據(jù)題意求出，得，由可得，①正確；由，得②錯(cuò)誤；根據(jù)秒時(shí)，，為正三角形，可得③正確.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，點(diǎn)的高度為，則，解得，，因?yàn)樗喢糠昼娹D(zhuǎn)動(dòng)1圈，所以，所以，由，得，因?yàn)?，所以，所?對(duì)于①，由，得，得，，得，，又因?yàn)?，所以，，所以在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒.故①正確；對(duì)于②，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)秒時(shí)，，又，所以為正三角形，所以米，故③正確.故答案為：①③.17．（2122高一下·北京平谷·期末）關(guān)于函數(shù)，有下面四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；

②無(wú)論取何值時(shí)，恒成立；③的最大值是；

④的最小值是.其中正確的結(jié)論是.【答案】①④【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷①；通過(guò)代特值可以判斷②；將函數(shù)化為，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的有界性判斷③；容易判斷當(dāng)x=0時(shí)，同時(shí)取到最小值0和1，進(jìn)而判斷④.【詳解】對(duì)①，，則函數(shù)為偶函數(shù)，正確；對(duì)②，，錯(cuò)誤；對(duì)③，，而，則，又，于是，錯(cuò)誤；對(duì)④，當(dāng)x=0時(shí)，同時(shí)取到最小值0和1，則的最小值是，正確.故答案為：①④.18．（2122高一下·北京西城·期末）已知為常數(shù)，，關(guān)于的方程有以下四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根；③使得方程有實(shí)數(shù)根的的取值范圍是；④如果方程共有個(gè)實(shí)數(shù)根，記的取值集合為，那么，.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②④【分析】由可得：，令，所以方程變?yōu)椋?，所以關(guān)于的方程有根問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為與，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)選項(xiàng)一一分析即可得出答案.【詳解】由可得：，令，所以方程變?yōu)椋?，所以關(guān)于的方程有根問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為與，的交點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)椋海瑒t，則設(shè)方程的兩根為，，而與，的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，故②正確.對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，方程為，則，所以，則與，的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以③不正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，方程為，解得：，則則與，的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，與，的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)根.當(dāng)時(shí)，方程為，解得：，則則與，的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，與，的圖象沒(méi)有個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于的方程有1個(gè)實(shí)根.所以④正確.故選：①②④.19．（2122高一下·北京昌平·期末）已知函數(shù)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②的值域是；③在區(qū)間上是減函數(shù)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③【分析】計(jì)算出可判斷①，分、兩種情況求出的范圍，然后結(jié)合其周期性可得其值域，即可判斷②，當(dāng)時(shí)，，然后可判斷③.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故①正確，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋缘闹涤蚴?，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故③正確，故答案為：①③.題型二解三角形1．（2223高一下·北京房山·期末）在中，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理將邊化角，在利用兩角和的正弦公式及二倍角公式轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，在結(jié)合的范圍計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理可得因?yàn)椋?，所以，則，則，即.故選：C.2．（2122高一下·北京延慶·期末）如圖，公園里有一塊邊長(zhǎng)為4的等邊三角形草坪（記為），圖中把草坪分成面積相等的兩部分，在上，在上，如果要沿鋪設(shè)灌溉水管，則水管的最短長(zhǎng)度為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用三角形面積公式及條件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可得，即得.【詳解】由題可知的面積為，又，∴，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，即水管的最短長(zhǎng)度為.故選：A.3．（2122高一下·北京通州·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，的角平分線交于點(diǎn)D，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形面積相等，即可求解.【詳解】解：如圖所示，,即即.故選：D.4．（2122高一下·北京朝陽(yáng)·期末）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角A的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由化簡(jiǎn)得，再由余弦定理得，即可求得角A的取值范圍.【詳解】由可得，整理得，由余弦定理得，則，又，則.故選：A.5．（1314高二上·北京·階段練習(xí)）中，分別是所對(duì)的邊，若，則此三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理化邊為角，后由二倍角公式變形，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，是的?nèi)角，所以或，所以或，即是等腰三角形或直角三角形，故選：D．6．（2223高一下·北京密云·期末）若的面積為，且為鈍角，則；的取值范圍是．【答案】；【分析】空1：根據(jù)題意利用面積公式和余弦定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果；空2：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正切函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】空1：的面積為，則，由余弦定理可得：，整理得，且，所以；空2：因?yàn)闉殁g角，則，可得，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，可得，所以，即的取值范圍是.故答案為：；.7．（2223高一下·北京延慶·期末）在中，，只需添加一個(gè)條件，即可使存在且唯一．在條件：①；②；③；④中，所有可以選擇的條件的序號(hào)為．【答案】②③【分析】根據(jù)所選條件，結(jié)合正余性定理及三角形的性質(zhì)判斷是否能構(gòu)成三角形，若能構(gòu)成確定所得三角形的個(gè)數(shù)，判斷滿足要求的條件.【詳解】若選①，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)知，結(jié)合及三角形內(nèi)角和，此時(shí)不存在，不符合；若選②，由，故存在且唯一，符合；若選③，結(jié)合，由余弦定理可求出且唯一，故存在且唯一，符合；若選④，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)知可能為鈍角或銳角，當(dāng)為銳角時(shí)，，滿足構(gòu)成三角形；當(dāng)為鈍角時(shí)，根據(jù)其正弦值易知，也滿足構(gòu)成三角形；所以，存在，但不