高二期末仿真模擬試卷05（考試范圍集合復(fù)數(shù)不等式平面向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用及2019選擇性）（新高考九省聯(lián)考題型）

20232024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末仿真模擬試卷05數(shù)學(xué)（新高考九省聯(lián)考題型）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋獾?，故，?故選：D2.已知隨機(jī)變量，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】隨機(jī)變量，，則，故，故選：C.3．若函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由是偶函?shù)，得，即，整理得，所以.故選：A4．某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過(guò)程中收集了組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的回歸直線方程為.據(jù)此計(jì)算出在樣處的殘差為，則表中的值為（）（注：稱為對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)的殘差）A. B. C. D.【答案】A【解析】由殘差為可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以回歸直線方程為，又，，且樣本中心在回歸直線上，所以，解得，故選：A.5．某校5名同學(xué)到A、B、C三家公司實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學(xué).若同學(xué)甲去A公司，則不同的安排方法共有（）A.18種 B.30種 C.42種 D.60種【答案】B【解析】若只有同學(xué)甲去A公司，則共有種可能，若除同學(xué)甲外還有一名同學(xué)去A公司，則共有種可能，故共有種可能.故選：B.6．若，則（）A.180 B. C. D.90【答案】A【解析】因，其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，而是的系數(shù)，故只需取，得，即.故選：A.7．已知菱形，，將沿對(duì)角線折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記的中點(diǎn)分別為，因?yàn)?，所以，同理，，記，因?yàn)椋?，所以，，易知，?dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C8．已知函數(shù)，，（其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.若存在實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以，即，令，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，即的最小值，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)A：由，則，故A正確；對(duì)B：由，則，故B正確；對(duì)C：由上單調(diào)遞增，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.10．某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和3個(gè)綠球，每次不放回地隨機(jī)摸出1個(gè)球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”，“第一次摸球時(shí)摸到綠球”，“第二次摸球時(shí)摸到紅球”，“第二次摸球時(shí)摸到綠球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由條件概率的公式，可得或，故B正確；因?yàn)?，不相互?dú)立，所以或，，所以，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；由，則，所以D正確.故選：BD.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)，且為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A：令，則，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：令，則，令，則為奇函數(shù)，，的周期為4，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；的周期為4，為偶函數(shù)，，關(guān)于對(duì)稱，所以，令，可得，令，可得，所以，故，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：令，則，即①，令，則②，由①+②得，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則__________.【答案】##【解析】由題意可知，，則，故答案為：.13.已知等邊的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則__________.【答案】8【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?，，為中點(diǎn)，所以，所以，即，所以，故答案為：814.五一小長(zhǎng)假，多地迎來(lái)旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新奇活動(dòng)以吸引游客，小明去某景點(diǎn)游玩時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趣味游戲，游戲規(guī)則為：一個(gè)會(huì)走路的機(jī)器人從一數(shù)軸上的點(diǎn)出發(fā)沿該數(shù)軸行走，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)n，機(jī)器人每一步會(huì)隨機(jī)選擇前或向后行走，且每一步的距離均為一個(gè)單位，設(shè)機(jī)器人走完設(shè)定的n步后所在位置對(duì)應(yīng)數(shù)為隨機(jī)變量，則__________，__________.【答案】①.##0.3125②.【解析】設(shè)X表示向右移動(dòng)的次數(shù)，則.若運(yùn)動(dòng)6步回到原點(diǎn)，則向左，右各移動(dòng)3次，所以回到原點(diǎn)的概率.因?yàn)闄C(jī)器人走完設(shè)定的n步后所在位置對(duì)應(yīng)數(shù)為隨機(jī)變量，X表示向右移動(dòng)的次數(shù)則表示向左移動(dòng)的次數(shù)，則，則，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求值；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極大值，極小值【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，即為切線的斜率，．因?yàn)榍芯€與直線垂直，則有，．．解得．（2）由（1）知，函數(shù)，定義域，求導(dǎo)得，．當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值，極小值．16．如圖是我國(guó)2015年至2023年歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）的折線圖，注：年份代碼分別對(duì)應(yīng)年份.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到）加以說(shuō)明；（2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到），并預(yù)測(cè)2024年我國(guó)歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）.參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，若，則與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.【答案】（1），與之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系（2），億【解析】（1）由折線圖看出，與之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：因?yàn)?，，，，所以，，，所以，所以，，故與之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.（2）由（1），結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得，，，，關(guān)于的回歸方程為，年對(duì)應(yīng)的值為，故，預(yù)測(cè)年我國(guó)歲及以上老人人口數(shù)為億.17．如圖，三棱錐中，平面，線段的中點(diǎn)為，，且.（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）法一：在中，，線段的中點(diǎn)為，所以,因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面．法二：如圖，以為基底建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，，線段的中點(diǎn)為，所以，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，解得．令，則，所以．易知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得到，取，所以．又因?yàn)?，所以，所以平面?）在中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)?，平面，平面，，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，則，所以二面角的余弦值．18．第二次世界大戰(zhàn)期間，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對(duì)盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義.已知德軍的每輛坦克上都有一個(gè)按生產(chǎn)順序從1開(kāi)始的連續(xù)編號(hào).假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N，隨機(jī)繳獲該月生產(chǎn)的n輛（）坦克的編號(hào)為，，…，，記，即繳獲坦克中的最大編號(hào).現(xiàn)考慮用概率統(tǒng)計(jì)的方法利用繳獲的坦克編號(hào)信息估計(jì)總數(shù)N.甲同學(xué)根據(jù)樣本均值估計(jì)總體均值的思想，用估計(jì)總體的均值，因此，得，故可用作為N的估計(jì).乙同學(xué)對(duì)此提出異議，認(rèn)為這種方法可能出現(xiàn)的無(wú)意義結(jié)果.例如，當(dāng)，時(shí)，若，，，則，此時(shí).（1）當(dāng)，時(shí)，求條件概率；（2）為了避免甲同學(xué)方法的缺點(diǎn)，乙同學(xué)提出直接用M作為N的估計(jì)值.當(dāng)，時(shí)，求隨機(jī)變量M的分布列和均值；（3）丙同學(xué)認(rèn)為估計(jì)值的均值應(yīng)穩(wěn)定于實(shí)際值，但直觀上可以發(fā)現(xiàn)與N存在明確的大小關(guān)系，因此乙同學(xué)的方法也存在缺陷.請(qǐng)判斷與N的大小關(guān)系，并給出證明.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3），證明見(jiàn)解析【解析】（1）由，知，當(dāng)時(shí)，最大編號(hào)為5，另2輛坦克編號(hào)有種可能，故，由，有，解得，故總編號(hào)和小于9，則除最大編號(hào)5外，另2個(gè)編號(hào)只能是1，2，故，因此；（2）依題意，用M作為N的估計(jì)值，因，則的可能取值有，于是，，，，，于是M的分布列如下：M45678P故；（3）直觀上可判斷，證明：因.19．帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）設(shè)，證明：；（3）已知是方程的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析（3），證明見(jiàn)解析【解析】（1）依題意可知，，因?yàn)?，所以，此時(shí)，，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以；?）依題意，，，故在單調(diào)遞增，