高考數(shù)學(xué)解答題核心題型訓(xùn)練 含解析

試卷第=page1010頁，共=sectionpages1010頁試卷第=page99頁，共=sectionpages1010頁高考數(shù)學(xué)【解答題核心題型】【7日沖刺】目錄三角函數(shù)與解三角形求角度、求函數(shù)值、邊長求面積最值和取值范圍求邊或在周長的最值和取值范圍證明三角恒等式或不等式三角函數(shù)與正余弦綜合數(shù)列利用an與Sn關(guān)系求通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法求和裂項(xiàng)相消法求和數(shù)列與概率的綜合數(shù)列新定義問題立體幾何證明直線、平面的平行證明直線、平面的垂直求空間距離求線面夾角求面面夾角和二面角空間線段中點(diǎn)的存在問題計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)回歸分析獨(dú)立性檢驗(yàn)正態(tài)分布二項(xiàng)分布與超幾何分布條件概率、全概率公式概率與數(shù)列、函數(shù)的綜合平面解析幾何定點(diǎn)、定值、定直線問題求參數(shù)最值與取值范圍的問題求三角形的面積取值、最值、取值范圍線段、角度的求解圓錐曲線與向量綜合圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用切線和公切線問題討論函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的極值點(diǎn)和最值函數(shù)不等式問題函數(shù)零點(diǎn)問題雙變量問題和極值點(diǎn)偏移問題?！緦ｍ?xiàng)練習(xí)】1．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求角的大?。?2)若，求的值．2．（2024·安徽·三模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角；(2)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.3．（2024·湖北武漢·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)已知，求的最大值.4．（重慶市七校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期三診考試數(shù)學(xué)試題）已知在數(shù)列中，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值．5．（2024·廣東廣州·三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若D是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍．6．（2024·安徽安慶·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)等于3，從第二項(xiàng)起是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列滿足且，若數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求.7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列均單調(diào)遞增，前n項(xiàng)和分別為和，且滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．8．（2024·四川眉山·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問題9．（2024·河北秦皇島·三模）“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”需要用到函數(shù)，記函數(shù)，為的所有正因數(shù)之和.(1)判斷28是否為完全數(shù)，并說明理由.(2)已知，若為質(zhì)數(shù)，證明：為完全數(shù).(3)已知，求，的值.10．（2024·遼寧·三模）為進(jìn)一步培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高創(chuàng)造性思維和解決實(shí)際問題的能力，某省舉辦高中生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽現(xiàn)某市從M，N兩個(gè)學(xué)校選拔學(xué)生組隊(duì)參賽，M，N兩個(gè)學(xué)校學(xué)生總數(shù)分別為1989人、3012人．兩校分別初選出4人、6人用于組隊(duì)參賽，其中兩校選拔的人中各有兩人有比賽經(jīng)驗(yàn)，按照分層抽樣從M，N兩個(gè)學(xué)校初選人中共選擇5名學(xué)生組隊(duì)參賽，設(shè)該隊(duì)5人中有參賽經(jīng)驗(yàn)的人數(shù)為X．(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)各市確定5人組隊(duì)參賽，此次比賽規(guī)則是：小組內(nèi)自行指定一名同學(xué)起稿建立模型，之后每輪進(jìn)行兩人單獨(dú)交流．假設(shè)某隊(duì)決定由A起稿建立模型，A從其他四名成員中選擇一人B進(jìn)行交流，結(jié)束后把成果交由B，然后B再從其他包括A在內(nèi)的四個(gè)成員中選擇一人進(jìn)行交流每一個(gè)環(huán)節(jié)只能是兩名成員單獨(dú)交流，每個(gè)小組有20次交流機(jī)會(huì)，最后再進(jìn)入評(píng)委打分環(huán)節(jié)，現(xiàn)該市選定甲、乙、丙、丁、戊五人參賽，其中甲、乙兩人有參賽經(jīng)驗(yàn)．在每次交流中，甲、乙被同伴選為交流對(duì)象的概率均為，丙、丁、戊被同伴選為交流對(duì)象的概率相等，比賽由甲同學(xué)起稿建立模型．①求該組第三次交流中甲被選擇的概率；②求第n次交流中甲被選擇的概率（，）．11．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)為的重心，．(1)若平面，求的長度；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．12．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.13．（2024·河北秦皇島·三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，.(1)證明：.(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.14．（2024·重慶·三模）如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)證明平面，并求直線到平面的距離.15．（2024·江蘇·一模）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長．16．（2024·山東濟(jì)南·三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，17．（2024·河北邢臺(tái)·二模）在對(duì)于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給出真實(shí)答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實(shí)回答問題．某單位為提升員工的工作效率，規(guī)范管理，決定出臺(tái)新的員工考勤管理方案，方案起草后，為了解員工對(duì)新方案是否滿意，決定采取如下隨機(jī)化回答技術(shù)進(jìn)行問卷調(diào)查：隨機(jī)選取150名男員工和150名女員工進(jìn)行問卷調(diào)查．問卷調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問題：①你公歷生日是奇數(shù)嗎？②你對(duì)新考勤管理方案是否滿意．調(diào)查分兩個(gè)環(huán)節(jié)，第一個(gè)環(huán)節(jié)：確定回答的問題，讓被調(diào)查者從裝有4個(gè)紅球，6個(gè)黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機(jī)摸取兩個(gè)球．摸到兩球同色的員工如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到兩球異色的員工如實(shí)回答第二個(gè)問題，第二個(gè)環(huán)節(jié)：填寫問卷（問卷中不含問題，只有“是”與“否”）．已知統(tǒng)計(jì)問卷中有198個(gè)“是”．（參考數(shù)據(jù)：）(1)根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果，利用你所學(xué)的知識(shí)，估計(jì)員工對(duì)新考勤管理方案滿意的概率；(2)據(jù)核實(shí)，以上的300名員工中有15名員工對(duì)新考勤管理方案不滿意，其中男3人，女12人，試判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為與對(duì)新考勤管理方案是否滿意與性別有關(guān)；參考公式和數(shù)據(jù)如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879(3)從該單位任取10人，恰有X人對(duì)考勤管理方案不滿意，利用（1）中的結(jié)果，寫出的表達(dá)式（其中，），并求出X的數(shù)學(xué)期望.18．（2024·寧夏銀川·三模）銀川市唐徠中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了解銀川市民每年旅游消費(fèi)支出費(fèi)用（單位：千元），春節(jié)期間對(duì)游覽某網(wǎng)紅景區(qū)的100名銀川市游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：組別（支出費(fèi)用）頻數(shù)34811412085(1)從樣本中隨機(jī)抽取兩位市民的支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出不低于10000元的概率；(2)若市民的旅游支出費(fèi)用X近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表），近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①假定銀川市常住人口為300萬人，試估計(jì)銀川市有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在15000元以上；②若在銀川市隨機(jī)抽取3位市民，設(shè)其中旅游費(fèi)用在9000元以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值.附：若，則，，19．（2024·陜西渭南·二模）有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子.(1)將其隨機(jī)拋擲次，求其向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過的概率；(2)將其隨機(jī)拋擲次，記其向上的最大點(diǎn)數(shù)為，求的分布列以及；(3)記為前次拋擲中向上的最大點(diǎn)數(shù)為的概率，求.20．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）五月初，某中學(xué)舉行了“慶祝勞動(dòng)光榮，共繪五一華章”主題征文活動(dòng)，旨在通過文字的力量，展現(xiàn)勞動(dòng)者的風(fēng)采，傳遞勞動(dòng)之美，弘揚(yáng)勞動(dòng)精神．征文篩選由A、B、C三名老師負(fù)責(zé)．首先由A、B兩位老師對(duì)征文進(jìn)行初審，若兩位老師均審核通過，則征文通過篩選；若均審核不通過，則征文落選；若只有一名老師審核通過，則由老師C進(jìn)行復(fù)審，復(fù)審合格才能通過篩選．已知每篇征文通過A、B、C三位老師審核的概率分別為，且各老師的審核互不影響．(1)已知某篇征文通過篩選，求它經(jīng)過了復(fù)審的概率；(2)從投稿的征文中抽出4篇，設(shè)其中通過篩選的篇數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)戶購入一批種子，已知每粒種子發(fā)芽的概率均為0.9，總共種下n粒種子，其中發(fā)芽種子的數(shù)量為X．(1)要使的值最大，求n的值；(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的期望為，方差為，則對(duì)任意均有，切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量X的分布末知的情況下，對(duì)事件的概率作出估計(jì)．①當(dāng)隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量，證明切比雪夫不等式（可以直接證明，也可以用下面的馬爾科夫不等式來證明切比雪夫不等式）；②為了至少有的把握使種子的發(fā)芽率落在區(qū)間，請(qǐng)利用切比雪夫不等式估計(jì)農(nóng)戶種下種子數(shù)的最小值．注：馬爾科夫不等式為：設(shè)X為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有．22．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，若為定值，求的最小值．23．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線過點(diǎn)，.(1)求雙曲線C的漸近線方程.(2)若過雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)作一條切線l，證明：直線l的方程為.(3)若雙曲線C在動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.24．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：與雙曲線：相交于點(diǎn)．(1)若，求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)記直線l：與、分別切于點(diǎn)M、N，當(dāng)p變化時(shí)，求證：的面積為定值，并求出該定值．25．（2024·山西·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)已知點(diǎn)，若E上存在一點(diǎn)P，使得，求t的取值范圍；(3)過的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過的直線交E于A，C兩點(diǎn)，B，C位于x軸的同側(cè)，證明：為定值.26．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率為定值；(3)求面積的最大值.27．（2024·四川·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，C的右頂點(diǎn)到直線的距離為，雙曲線右支上的點(diǎn)到的最短距離為(1)求雙曲線C的方程；(2)過的直線與C交于M、N兩點(diǎn)，連接交l于點(diǎn)Q，證明：直線QN過x軸上一定點(diǎn).28．（2024·山東聊城·三模）已知函數(shù).(1)若曲線與有一條斜率為2的公切線，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性.29．（2024·四川涼山·三模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，30．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的極值；(2)若實(shí)數(shù)滿足，記，求實(shí)數(shù)的最小值.31．（2024·河南·二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.32．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：；(3)比較與及的大小，并證明．答案第=page1616頁，共=sectionpages3232頁答案第=page1515頁，共=sectionpages3232頁參考答案：1．【詳解】（1）∵，由正弦定理，得．∵，∴，∴由余弦定理有，∴∴為銳角，∴；（2）由余弦定理及，有，整理得，，考慮到，解得，或（舍）．將代入消去，得，．∴∵，為銳角，∴，，∴.2．【詳解】（1），由正弦定理得，則，即則，且，，；（2）由和，可知，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以的面積的最小值為.3．【詳解】（1）∵，由正弦定理得，，即，所以，∵，∴，∴，∵，∴；（2）由正弦定理，得，∴，又∵，為銳角，∴的最大值為，∴的最大值為.4．【詳解】（1）由題意，，即為等差數(shù)列：首項(xiàng)，公差，，則，設(shè)，（2）由正弦定理，有，．即，又，，即由，由余弦定理得：，．，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即△ABC面積最大值為．5．【詳解】（1），，又，可得，，，又，，可得，所以，解得或，，所以，即.（2）設(shè)，則，，，在中，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，所以，可得，所以，所以.6．【詳解】（1）因成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，又不符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，因此，當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以當(dāng)時(shí)，；（2）由（1）知，令，所以，又，所以，因此，所以，于是.7．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列公差為，數(shù)列的公比為，，則，因?yàn)棰?，所以，故?由①②結(jié)合遞增，解得，則，（舍）.又因?yàn)?，所以，?（2）由（1）可知，則①，②，①-②得：．故.8．【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，整理得，，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以.（2）若選①，由（1）可得，，若選②，由（1）可得，.若選③，由（1）可得，所以，，兩式相減得，所以.9．【詳解】（1）28的所有正因數(shù)為1，2，4，7，14，28，因?yàn)?，所?8是完全數(shù).（2）的正因數(shù)為，，，，，，，，，，，所以為完全數(shù).（3）的正因數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，所以.因?yàn)?，所?10．【詳解】（1）由題隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．所以的分布列為01234所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（2）①甲、乙兩同學(xué)被同伴選擇的概率均為．其他三名同學(xué)被選擇的概率相等．比賽由甲同學(xué)起稿建立模型，第三次交流中甲被選擇，所以第二次交流中甲未參與．設(shè)“第三次交流中甲被選擇”，則．②第次交流中甲被選擇，則第次交流中甲未被選擇．設(shè)第次交流中甲被選擇的概率為．則，所以，且．所以，所以．11．【詳解】（1）連接并延長與交于點(diǎn)，連接，所以平面平面．因?yàn)槠矫嫫矫嫠杂忠驗(yàn)闉榈闹匦?，所以．所以．所以，即．所以在中，，則．（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫嫫矫嬗忠驗(yàn)樗裕移矫嫫矫?，所以平面，如圖所示，分別以為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以，因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，所以．所以，又因?yàn)椋环猎O(shè)平面的法向量，所以所以，可取設(shè)直線與平面所成的角為，所以．即直線與平面所成的角的正弦值為.12．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，且，所以，且，由，可得，且，可得，所以，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平?（2）解：因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.13．【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，，因?yàn)椋?，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為菱形，?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以平面；以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為，則令，則，，可得.設(shè)平面的法向量為，則令，則，，可得.，故二面角的正弦值為.14．【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，為中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（2）由題，分別為，中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面，則直線到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離.由為中點(diǎn)，所以，記為，，又，所以，由（1）知，平面，故，，，由題知，，，所以，而，所以.

.15．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接MP，MB．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，又點(diǎn)M，P分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）在平面中，作于O．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，?/p>

法1：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此，．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長為1．法2：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長為1．

法3：在平面中，作，垂足為H．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．因?yàn)?，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，，所以是二面角的平面角．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，所以，．設(shè)，則，，在中，，從而．因?yàn)槎娼堑钠矫娼桥c二面角的平面角互補(bǔ)，且二面角的正弦值為，所以，從而．所以在中，，解得或（舍）．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長為1．16．【詳解】（1）由散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，知適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．17．【詳解】（1）由題意摸到兩球同色的概率為，所以回答第一個(gè)問題有人，則回答第二個(gè)問題有人，由題意可知公歷生日是奇數(shù)的概率是，所以回答第一個(gè)問題，選擇“是”的同學(xué)人數(shù)為人，則回答第二個(gè)問題，選擇“是”的同學(xué)人數(shù)為人，所以員工對(duì)新考勤管理方案滿意的概率；（2）由題意，列聯(lián)表如下：對(duì)新考勤管理方案滿意對(duì)新考勤管理方案不滿意合計(jì)男員工女員工合計(jì)285，所以有97.5%的把握認(rèn)為與對(duì)新考勤管理方案是否滿意與性別有關(guān)；（3）由題意可知，則，所以.18．【詳解】（1）樣本中總共人，其中旅游支出不低于元的有人，所以從中隨機(jī)抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，兩人旅游支出均不低于元的概率為；（2）以下涉及旅游支出費(fèi)用，則默認(rèn)單位均為千元，，所以，，服從正態(tài)分布，，，估計(jì)襄陽市有個(gè)市民每年旅游費(fèi)用支出在元以上；②由①知，，則，的所有可能取值為，，，，；所以隨機(jī)變量的分布列為：均值為.19．【詳解】（1）用中的分別表示第一次、二次、三次投擲的點(diǎn)數(shù)，投擲次，共有種可能，其中點(diǎn)數(shù)之和不超過的情況有，，，，，，，共種情況，所以點(diǎn)數(shù)之和不超過的概率為.（2）的可能取值為，用中的分別表示第一次、二次投擲的點(diǎn)數(shù)，拋擲次，共有種可能，當(dāng)時(shí)，拋擲結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，拋擲結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，拋擲結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，拋擲結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，拋擲結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，拋擲結(jié)果為，所以，，，，，，所以的分布列為.（3）由題知，，，，，所以.20．【詳解】（1）設(shè)事件老師審核通過，事件老師審核通過，事件老師審核通過，事件征文通過篩選，事件征文經(jīng)過復(fù)審，則，，，因此，所以它經(jīng)過了復(fù)審的概率為.（2）依題意，的可能取值為，顯然，則，，所以的分布列如下：X01234數(shù)學(xué)期望為.21．【詳解】（1），由題意有，解得，由于為整數(shù)，故．（2）①證法1：設(shè)的分布列為，其中，，記，則對(duì)任意，．證法2：由馬爾科夫不等式，得．②，則，．由題意，，即，，也即．由切比雪夫不等式，有，從而，，估計(jì)的最小值為45．22．【詳解】（1）易知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓焦距為，由題意可得，故，因此，橢圓的方程為．（2）設(shè)，聯(lián)立，得，則，可得，聯(lián)立，得則，可得：，要使為定值，則，即，，故當(dāng)時(shí)取最小值．23．【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以雙曲線C的漸近線方程為.（2）當(dāng)切線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線C上，所以，聯(lián)立，消去y并整理得，此時(shí)，即，所以，又，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，即時(shí)，切點(diǎn)為，切線方程為，滿足；綜上，直線l的方程為.（3）由（1）知雙曲線C的漸近線方程為，此時(shí)兩漸近線與x軸的夾角均為，即，設(shè)，由（2）可知切線方程為，聯(lián)立，解得，即，此時(shí)，同理可得，所以的面積.

24．【詳解】（1）由，得，將其代入，得，所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2）由，得，由直線與相切，得，解得，切點(diǎn)，由，得，由直線與相切，得，解得，切點(diǎn)，于是，令，則直線的方程為，點(diǎn)，由，得，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以的面積為定值，該定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．25．【詳解】（1）由題意可知：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為，所以拋物線E的方程為.（2）設(shè)，可知，則，可得，顯然不滿足上式，則，可得，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，即，所以t的取值范圍為.（3）設(shè)，則直線的斜率，可得直線的方程，整理得，同理可得：直線的方程，由題意可得：，整理得，又因?yàn)橹本€的斜率分別為，顯然為銳角，則，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．26．【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線方程為，由得，，，解得.（3）由（2）得，，的面積，，，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得或，即在和上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，的面積【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解決直線與橢圓的綜合問題，關(guān)鍵在于（1）注意題設(shè)中每一個(gè)條件，明確確定直線和橢圓的條件；（2）直線和橢圓聯(lián)立得韋達(dá)定理，與弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)合運(yùn)用；（3）求最值時(shí)，要善于轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)來求解.27．【詳解】（1）由題意可得，解得，從而，所以雙曲線C的方程為；（2），直線，當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立，得，則，所以，設(shè)，則，直線的方程為，令，則，即，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，由于三點(diǎn)共線，則，，那么，故，當(dāng)直線的斜率等于0時(shí)，直線與軸重合，必過定點(diǎn)，綜上所述，直線QN過x軸上一定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.28．【詳解】（1）由得，設(shè)公切線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知得，解得，所以公切線方程為，即，由得，由已知得，解得.（2）由已知，則，當(dāng)時(shí)，，令，得，令得，這時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，令，得，令得，這時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得或，，①當(dāng)時(shí)，，這時(shí)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，令，得，令得或，這時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，令，得，令得或，這時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)