9.2.4總體離散趨勢(shì)的估計(jì)課件高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版2019

9.2.4總體離散趨勢(shì)的估計(jì)【例1】有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲7

8

7

9

5

4

9

10

7

4，

乙9

5

7

8

7

6

8

6

7

7，這兩位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少？

如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況作出評(píng)價(jià)?如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?現(xiàn)在我們畫出條形圖直觀感覺一下他們的成績(jī)是否有差別。10環(huán)數(shù)頻率45678910環(huán)數(shù)頻率456789甲的成績(jī)比較分散，乙的成績(jī)相對(duì)集中，即甲的成績(jī)波動(dòng)幅度比較大，而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定?？梢?，他們的射擊成績(jī)是存在差異的。那么，如何度量成績(jī)的這種差異呢?一種簡(jiǎn)單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.甲

7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙

9

5

7

8

7

6

8

6

7

7甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6，乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.根據(jù)甲、乙運(yùn)動(dòng)員的10次射擊成績(jī)，可以得到可以發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙的大.

極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度。但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少?！舅伎肌坑脴O差度量這種差異會(huì)有缺點(diǎn)嗎？你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎?

我們知道，如果射擊的成績(jī)很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；

相反，如果射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn)．

因此，我們可以通過這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來度量成績(jī)的波動(dòng)幅度．【思考】如何定義“平均距離”？

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為"距離"，即平均距離我們稱（1）式為這組數(shù)據(jù)的方差．為了避免式中含有絕對(duì)值，通常改用平方來代替，即

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這組數(shù)據(jù)的方差為

由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致。為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開平方，取它的算術(shù)平方根，即

我們稱（2）式為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．

標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小。顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。

如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為

，則稱

為總體方差，

為總體標(biāo)準(zhǔn)差

．

如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為

，則稱

為樣本方差，

為樣本標(biāo)準(zhǔn)差

．樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差【思考】標(biāo)準(zhǔn)差的范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？標(biāo)準(zhǔn)差s≥0；s=0表示這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)到平均數(shù)的距離都是0，這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)是相等的。

【練習(xí)】甲：7

8

7

9

5

4

910

7

4；乙：9

5

7

8

7

68

677你能計(jì)算得出甲、乙兩人的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差嗎？s甲=2，s乙≈1.095，即s甲>s乙．由此可知，甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小，由此可以估計(jì)，乙比甲的成績(jī)穩(wěn)定【練習(xí)】在教學(xué)調(diào)查中，甲、乙、丙三個(gè)班的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布如圖1、2、3，假設(shè)三個(gè)班的平均分都是75分，s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三個(gè)班數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有(

)圖1圖2圖3A．s3＞s1＞s2

B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1D【例2】在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和