24.1.4.1圓周角定理及其推論課件人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

數(shù)學(xué)

人教版

九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.4

圓周角第1課時(shí)

圓周角定理及其推論目錄課后小結(jié)隨堂練習(xí)知識(shí)講解情境導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)13524學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解圓周角的概念．2．掌握?qǐng)A周角定理及其推論并能應(yīng)用其進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明．（重點(diǎn)）3．在探索過程中，體會(huì)觀察、猜想的思維方法，在定理的證明過程中，體會(huì)化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想和歸納的方法．（難點(diǎn)）情境導(dǎo)入

你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球嗎？比賽中如圖所示，甲隊(duì)員在圓心O處，乙隊(duì)員在圓上C處，丙隊(duì)員帶球突破防守到圓上C處，依然把球傳給了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎？知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1

圓周角及圓周角定理圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1

圓周角及圓周角定理圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1

圓周角及圓周角定理【例1】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC＝130°，則∠D等于(

)A．25°B．30°C．35°D．50°知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1

圓周角及圓周角定理【例1】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC＝130°，則∠D等于(

)解析：本題考查同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1

圓周角及圓周角定理【例1】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC＝130°，則∠D等于(

)A．25°B．30°C．35°D．50°A知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論圓周角定理的推論：（1）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論（2）圓周角和直徑的關(guān)系：半圓或直徑所對(duì)的圓周角都是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論【例2】如圖，在⊙O中，

，∠A＝30°，則∠B＝(

)A．150°

B．75°C．60°

D．15°知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論【例2】如圖，在⊙O中，

，∠A＝30°，則∠B＝(

)解析：因?yàn)?/p>

，根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”得到∠B＝∠C，因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因?yàn)椤螦＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論【例2】如圖，在⊙O中，

，∠A＝30°，則∠B＝(

)A．150°

B．75°C．60°

D．15°B知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論【例3】如圖所示，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，則BC的長為________．解析：由AB為⊙O的直徑得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，因?yàn)椤螦＝30°，所以BC＝

AB＝×10＝5cm.

5cm知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論【例4】如圖所示，已知△ABC的頂點(diǎn)在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，求證：∠BAE＝∠CAD.點(diǎn)撥：連接BE構(gòu)造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得△ACD為直角三角形，要證∠BAE＝∠CAD，只要證出它們的余角∠E與∠C相等，而∠E與∠C都是AB所對(duì)的圓周角．知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論【例4】如圖所示，已知△ABC的頂點(diǎn)在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，求證：∠BAE＝∠CAD.證明：連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2

圓周角定理的推論【例4】如圖所示，已知△ABC的頂點(diǎn)在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，求證：∠BAE＝∠CAD.∵，∴∠E＝∠C，∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.隨堂練習(xí)1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，則∠AOB=

．

166°隨堂練習(xí)2.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點(diǎn)E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為__________.30°隨堂練習(xí)3.如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為(

)A．30°

B．45°C．60°

D．75°解析：由BD是⊙O直徑得∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.∵∠A與∠BDC是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠A＝∠BDC＝60°.C隨堂練習(xí)4.如圖，AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度數(shù).解析：連接BC，則∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°，∵∠BAD與∠DCB是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.隨堂練習(xí)5.如圖，分別求出圖中∠x的大小.

解：(1)∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠x=60°.圖（1）圖（2）隨堂練習(xí)5.如圖，分別求出圖中∠x的大小.

(2)連接BF，∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.圖（2）隨堂練習(xí)6.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D,求BC，AD，BD的長．解析：連接OD．∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，BC=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.隨堂練習(xí)6.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D,求BC，AD，BD的長．∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴隨堂練習(xí)7.如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ACB=2∠BAC．證明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC，∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.

隨堂練習(xí)8.船在航行過程中，船長通過測(cè)定角度來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，∠α與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？解析：當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，即船位于暗礁區(qū)域外(即⊙O外)，與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”.隨堂練習(xí)9.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E.(1)BD與CD的大小有什么關(guān)系?為什么?(2)求證：.（1）解析:BD=CD．理由是：連接AD，∵AB是圓的直徑，點(diǎn)D在圓上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.隨堂練習(xí)9.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E.