1.2.3直線與平面的夾角課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

直線與平面的夾角

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解直線與平面的夾角的三種情況,理解斜線與平面所成角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)求直線與平面所成的角.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握斜線與平面所成角的性質(zhì),會(huì)應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明.(邏輯推理、直觀想象)4.能根據(jù)題目特點(diǎn),靈活選擇方法求直線與平面所成角的大小或某個(gè)三角函數(shù)值.(邏輯推理)教材認(rèn)知·內(nèi)化必備知識(shí)直線與平面的夾角1.直線與平面所成的角2.斜線與平面所成角的性質(zhì)(1)“最小角”結(jié)論

斜線段長(zhǎng)射影長(zhǎng)A'B'=ABcosθ

√××

√合作探究·形成關(guān)鍵能力類型一

定義法求直線與平面所成的角(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例1]如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°.(1)求證:BC⊥平面PAC;(2)若D為PB的中點(diǎn),試求AD與平面PAC夾角的正弦值.【思路導(dǎo)引】(1)證明BC和平面PAC內(nèi)的兩條相交直線垂直.(2)作出AD在平面PAC內(nèi)的射影后,構(gòu)造三角形求解.

【總結(jié)升華】1.用定義法求直線與平面所成角的步驟(1)作,在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線,確定垂足的位置是關(guān)鍵;(2)證,證明所作的角為直線與平面所成的角,證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念;(3)求,利用解三角形的知識(shí)求角.

2.(2023·溫州高二檢測(cè))“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共可截去八個(gè)三棱錐,得到八個(gè)面為正三角形,六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為____________.

【解題指南】將多面體放置于正方體中,借助正方體分析多面體的結(jié)構(gòu),由此求解出直線MN與平面ABCD所成角的正弦值.

【總結(jié)升華】斜線與平面所成角的性質(zhì)的應(yīng)用策略(1)“三相等”結(jié)論常用于直接證明角或線段的相等,省去了先證明三角形全等的麻煩;(2)“最小角”結(jié)論可以用于比較線面角、線線角的大小,也可以求線面角、線線角,靈活應(yīng)用這個(gè)結(jié)論,有時(shí)會(huì)起到事半功倍的效果.注意:在應(yīng)用公式cosθ=cosθ1·cosθ2解題時(shí),一定要分清θ,θ1,θ2分別對(duì)應(yīng)圖形中的哪個(gè)角.

類型三

向量法求直線與平面所成的角(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)[例3](教材提升·例2)如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,AB=2,FA=FC,且∠DAB=∠DBF=60°.(1)求證:AC⊥平面BDEF;(2)求AD與平面ABF所成角的正弦值.【思路導(dǎo)引】(1)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,連接FO,易證AC⊥BD,AC⊥FO,應(yīng)用線面垂直判定證結(jié)論;(2)連接DF,求證OA,OB,OF兩兩垂直,構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,向量法求線面角的正弦值.【解析】(1)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,連接FO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD,且O為AC中