專題08 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線壓軸題三種模型全攻略（原卷版）

專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線壓軸題三種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】 11【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】 17【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】例題：已知，在中，，，點是的中點，作，使得射線與射線分別交射線，于點，．(1)如圖1，當點在線段上時，線段與線段的數(shù)量關系是___________；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關系并加以證明．【變式訓練】1．在中，，，點D是邊的中點．(1)如圖，若點E，F(xiàn)分別在邊，上，，求證：，并說明理由；(2)在（1）的條件下，，求的值．2．如圖1，在中，，，點P是斜邊的中點，點D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點D，E分別在邊的延長線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出的度數(shù)（不用說理）；若不能，請說明理由．3．在中，，點是所在直線上一個動點，過點作、，垂足分別為、(1)如圖1，若點是的中點時，求證：(2)如圖2，為腰上的高，當點在邊上時，試探究、、之間的關系，并說明理由．(3)如圖3，當點運動到的延長線上時，若，，求的長度．4．在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】例題：如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【變式訓練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長線上一點，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補，過點作于點，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關系？請直接寫出你的結論數(shù)．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點，過點作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【變式訓練】1．（2022春·河北石家莊·八年級校考期中）(1)【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關系，并證明你的結論．(4)【實際應用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．2．【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分，點A為上一點，過點A作，垂足為，延長交于點B，易證≌，則．其分析過程如下：在和中，平分≌（___________）在括號內填寫全等判定方法字母簡稱（___________）在括號