2022屆重慶市名校聯(lián)盟高三下學(xué)期仿真數(shù)學(xué)理試題解析版

2022屆重慶市名校聯(lián)盟高三下學(xué)期仿真數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解不等式求出，從而得到不等式組，求出的值，進(jìn)而得到中的元素，求出答案.【詳解】由得：，所以，又，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出，再求出共軛復(fù)數(shù)，判斷出在第一象限.【詳解】，則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A.3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系得，進(jìn)而，再求模即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解?所以所以.故選：C4．若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因此，故選：B5．下列函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷ABD，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷C【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)在分別單調(diào)遞增，但在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，令，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，故D正確故選：D6．已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)出可行域，利用幾何意義及數(shù)形結(jié)合求出最大值與最小值，求出取值范圍.【詳解】畫(huà)出可行域，如圖所示，其中，，點(diǎn)N為與圓的交點(diǎn)（靠近A的交點(diǎn)），點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)，連接OB并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)，且點(diǎn)B與M重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故的取值范圍是.故選：B7．2018年平昌冬季奧運(yùn)會(huì)于2月9日~2月25日舉行，為了解奧運(yùn)會(huì)五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比例P，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如下的計(jì)算機(jī)模擬，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬長(zhǎng)為8，寬為5的長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取了N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為，圓環(huán)半徑為1，如圖，則比值的近似值為A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)奧運(yùn)五環(huán)所占的面積為，矩形的面積為，由在長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取了個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為，得，則，又單獨(dú)五個(gè)圓環(huán)的面積為，所以?shī)W運(yùn)會(huì)五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比例為，故選C．8．已知函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得函數(shù)的周期為求得．再根據(jù)當(dāng)時(shí)，恒成立，即，再結(jié)合求得的取值范圍．【詳解】解：函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，故函數(shù)的周期為，故，若對(duì)恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，解得因?yàn)?，所?故選：D．9．我國(guó)古代名著《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完．現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計(jì)算截取7天后所剩木棍的長(zhǎng)度（單位：尺），則①②③處可分別填入的是A． B．C． D．【答案】D【分析】此算法為循環(huán)結(jié)構(gòu)，共循環(huán)7次，故①處填判斷語(yǔ)句，②填取半計(jì)算，③填循環(huán)控制變量的變化方式.【詳解】算法為循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)7次，每次對(duì)長(zhǎng)度折半計(jì)算，也就是，因此②填，又①填判斷語(yǔ)句，需填，③填.故選D.【點(diǎn)睛】本題考察算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題.此類問(wèn)題，注意循環(huán)的次數(shù)，如本題7天后木棍的長(zhǎng)度為尺，故需執(zhí)行7次，由此判斷出循環(huán)所需次數(shù).10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值是A．5 B．4 C． D．【答案】D【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，可得到，，拋物線設(shè)拋物線上的點(diǎn)為當(dāng)x=1時(shí)，有最小值.故答案為D．11．三棱錐的體積為，底面，且的面積為4，三邊的乘積為16，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵三棱錐的體積為且的面積為4，∴，由底面，所以球心到底面的外接圓圓心的距離為1，另，，兩式相除，由正弦定理知底面的外接圓半徑為1，所以三棱錐的外接球的半徑為，表面積為，故選B.點(diǎn)睛：本題考查三棱錐的外接球體積以及正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵；首先根據(jù)三棱錐的體積可得球心到底面的距離為1，由正弦定理可得底面的外接圓半徑為1，故而通過(guò)勾股定理可求得球的半徑.12．若存在兩個(gè)正數(shù)，使得不等式成立，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知存在兩個(gè)正數(shù)，，令，則，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再研究函數(shù)的最小值進(jìn)而得答案.【詳解】解：因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)正數(shù)，使得，所以，不等式兩邊同得：存在兩個(gè)正數(shù)，，故設(shè)，則，則原問(wèn)題等價(jià)于，存在，使得，因?yàn)椋?，存在，使得成立，設(shè)，，恒成立，所以為增函數(shù)，因?yàn)?，故?dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值也是最小值為：，即，存在，使得成立，則，解得所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C二、填空題13．的展開(kāi)式中，的系數(shù)是__________．【答案】16【詳解】分析：展開(kāi)式中的系數(shù)取決于展開(kāi)式中的和的系數(shù)，后者可以利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求得.詳解：的展開(kāi)式中，，故的系數(shù)分別為，從而的展開(kāi)式中的系數(shù)為.點(diǎn)睛：本題考慮二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)的計(jì)算，這類問(wèn)題可利用多項(xiàng)式的乘法和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)來(lái)處理.14．甲、乙、丙三名同學(xué)參加某高校組織的自主招生考試的初試，考試成績(jī)采用等級(jí)制（分為三個(gè)層次），得的同學(xué)直接進(jìn)入第二輪考試．從評(píng)委處得知，三名同學(xué)中只有一人獲得．三名同學(xué)預(yù)測(cè)誰(shuí)能直接進(jìn)入第二輪比賽如下：甲說(shuō)：看丙的狀態(tài)，他只能得或；乙說(shuō)：我肯定得；丙說(shuō)：今天我的確沒(méi)有發(fā)揮好，我贊同甲的預(yù)測(cè)．事實(shí)證明：在這三名同學(xué)中，只有一人的預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，那么得的同學(xué)是_____．【答案】甲.【詳解】若得的同學(xué)是甲，則甲、丙預(yù)測(cè)都準(zhǔn)確，乙預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，符合題意；若得的同學(xué)是乙，則甲、乙、丙預(yù)測(cè)都準(zhǔn)確，不符合題意；若得的同學(xué)是丙，則甲、乙、丙預(yù)測(cè)都不準(zhǔn)確，不符合題意．綜上，得的同學(xué)是甲.15．已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】分析出函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，因?yàn)?，則，所以，，所以，，所以，，因?yàn)椋屎愠闪?，由可得，解?因此，原不等式的解集為.故答案為：.16．在中，，為的中點(diǎn)，，則面積的最大值為_(kāi)_____.【答案】【分析】首先利用余弦定理得到邊長(zhǎng)的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．【詳解】設(shè)，，由于，在和中應(yīng)用余弦定理可得：，整理可得：，結(jié)合勾股定理可得的面積：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．則面積的最大值為．故答案為：三、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）按照退位相減求出的通項(xiàng)，再結(jié)合求出的通項(xiàng)公式；（2）按照等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，兩式相減得：，又因?yàn)椋?，，滿足，所以為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所?(2)因?yàn)樗?18．某市在對(duì)高三學(xué)生的4月理科數(shù)學(xué)調(diào)研測(cè)試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從甲校100分以上的200份試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷來(lái)分析，統(tǒng)計(jì)如下表：（表中試卷編號(hào)）試卷編號(hào)試卷得分109118112114126128127124126120試卷編號(hào)試卷得分135138135137135139142144148150(1)列出表中試卷得分為126分的試卷編號(hào)（寫(xiě)出具體數(shù)據(jù)）；(2)該市又從乙校中也用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷，將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖（如圖），從甲校20份試卷中任取1份，從乙校20份試卷中任取1份，求甲校試卷得分低于120分，乙校試卷得分不低于120分的概率；(3)在第（2）問(wèn)的前提下，從甲乙兩校這40份試卷中，從成績(jī)?cè)?40分以上（含140分）的試卷中任意抽取3份，該3份成績(jī)?cè)谌星?5名的份數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望.（附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則P（μ-σ<X<μ+σ）=68.3%，P（μ-2σ<X<μ+2σ）=95.4%，P（μ-3σ<X<μ+3σ）=99.7%）【答案】(1)46，86(2)(3)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣得其間隔為10，再結(jié)合分別求，即可；（2）分別計(jì)算甲校和乙校試卷得分低于120的概率，再結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式求解即可；（3）由正態(tài)分布得前15名的成績(jī)?nèi)吭?46分以上（含146分），進(jìn)而根據(jù)超幾何分布求解即可.【詳解】(1)解：由題知，系統(tǒng)抽樣的間隔為，，所以再第一組中抽取的試卷編號(hào)是，即，因?yàn)?26分的試卷編號(hào)為分別為，，所以，，所以試卷得分為126分的試卷編號(hào)，.(2)解：設(shè)“甲校試卷得分低于120分”為事件，“乙校試卷得分不低于120分”為事件，則，，所以甲校試卷得分低于120分，乙校試卷得分不低于120分的概率(3)解：，根據(jù)正態(tài)分布可知：，，即前15名的成績(jī)?nèi)吭?46分以上（含146分）.根據(jù)莖葉圖可知這40份成績(jī)中在146分以上（含146分）的有3份，而成績(jī)?cè)?40分以上（含140分）的有8份.的取值為.所以的分布列為：0123因此.19．如圖一，等腰直角三角形的底邊，點(diǎn)在線段上，于，現(xiàn)將沿折起到的位置（如圖2）.(1)求證：；(2)若，直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可得，則由線面垂直的判定可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論，（2）由，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后由與平面所成的角為，利用空間向量可求出，再利用空間向量可求得結(jié)果【詳解】(1)依題意，，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?2)因?yàn)?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為得，則所以，得或（舍去）又平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的銳二面角為，所以20．已知，，曲線上的任意一點(diǎn)滿足：.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，，試問(wèn)是否為定值？如果是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值，如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）;（2）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）求出向量的坐標(biāo)，利用條件化簡(jiǎn)，即可求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）分類討論，利用，，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．試題解析：（1）設(shè)，則，，，∵，∴，化簡(jiǎn)得，為所求點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)，.①當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，從而，，由得，，，同理由得，∴.①由，得.∴，，代入①式得，∴.②當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，，.由，，得，，∴，綜上，為定值.點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).21．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得函數(shù)最值的符號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值即可得到的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若時(shí)，，故在上為增函數(shù)，此時(shí)最多一個(gè)零點(diǎn)，舍.若，則，，故在上為增函數(shù)；，，故在上為減函數(shù)；故，故.當(dāng)時(shí)，，而，故在上有一個(gè)零點(diǎn)；下證：當(dāng)時(shí)成立.設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故，故當(dāng)時(shí)成立即即，其中所以當(dāng)時(shí)，有，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).(2)因?yàn)?，所以?duì)任意的恒成立，等價(jià)于在上恒成立.令，則.再令，則，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以有唯一零點(diǎn)，且.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，即，則.所以，即.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以所以，則.所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)求導(dǎo)后，把導(dǎo)數(shù)構(gòu)造成新的函數(shù)再次求導(dǎo)，借助隱零點(diǎn)求出的最小值，進(jìn)而借助恒成立的內(nèi)容進(jìn)行解答.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)在曲線上，，求的面積.【答案】(1)(2)或【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用普通方程與極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，可得出，求出的值，可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)解：曲線的普通方程為，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.(2)解：設(shè)的極坐標(biāo)為，其中，因?yàn)?，，且，所以，即，所以，，因?yàn)?，，則，所以或，即或，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以.綜上所述，的面積為或.23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2