蘇教版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)夯實(shí)提煉第一單元長(zhǎng)方體和正方體·總集篇·六種綜合性問題【六大考點(diǎn)】(原卷版+解析)

蘇教版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)夯實(shí)提煉第一單元長(zhǎng)方體和正方體·總集篇·六種綜合性問題【六大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇專題名稱第一單元長(zhǎng)方體和正方體·總集篇·六種綜合性問題專題內(nèi)容本專題包括五種綜合性問題，即①長(zhǎng)方體和正方體的切拼問題、②折疊問題、③等積變形問題、④排水法求不規(guī)則物體的體積問題、⑤含長(zhǎng)方體正方體的不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題、⑥長(zhǎng)方體正方體中的注水運(yùn)動(dòng)問題。總體評(píng)價(jià)＊講解建議“總集篇”是對(duì)熱點(diǎn)、重點(diǎn)以及難點(diǎn)內(nèi)容的總結(jié)，適用于階段性復(fù)習(xí)，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點(diǎn)考題?？键c(diǎn)數(shù)量六個(gè)考點(diǎn)?！镜诙磕夸泴?dǎo)航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】六種問題其一：長(zhǎng)方體和正方體的切拼問題 3【考點(diǎn)二】六種問題其二：折疊問題 6【考點(diǎn)三】六種問題其三：等積變形問題 8【考點(diǎn)四】六種問題其四：排水法求不規(guī)則物體的體積問題 11【考點(diǎn)五】六種問題其五：不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題 13【考點(diǎn)六】六種問題其六：長(zhǎng)方體正方體中的注水運(yùn)動(dòng)問題＊ 15【第三篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】六種問題其一：長(zhǎng)方體和正方體的切拼問題。【方法點(diǎn)撥】立體圖形的切拼問題屬于小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題和難點(diǎn)問題，由長(zhǎng)方體和正方體的切拼所產(chǎn)生的表面積增減變化，在分析與思考過程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基礎(chǔ)的空間想象能力，因此，大部分同學(xué)掌握起來顯得十分困難，建議在理解方面，嘗試?yán)L制示意圖，在解題方面，注意尋找切拼后的變化規(guī)律。1.切片問題。（1）切一刀增加兩個(gè)切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進(jìn)行變化，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。（2）刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。2.拼接問題。（1）長(zhǎng)方體或正方體的拼接會(huì)使表面積減少，兩個(gè)正方體的拼接，有兩個(gè)重合面，會(huì)減少兩個(gè)正方形的面積，同理，三個(gè)正方體的拼接會(huì)減少四個(gè)正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個(gè)數(shù)，但是長(zhǎng)方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來判斷具體減少的面積。（2）段數(shù)-1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。3.高的變化引起的表面積變化。（1）正方體高的變化，即棱長(zhǎng)的增減變化，會(huì)引起正方體側(cè)面積的增減變化。（2）長(zhǎng)方體高的變化，會(huì)引起長(zhǎng)方體側(cè)面積的增減變化，長(zhǎng)方體的側(cè)面指的是前后左右四個(gè)面?！镜湫屠}1】切片問題。把一個(gè)大正方體切成三個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方體后，小長(zhǎng)方體的表面積之和比原大正方體的表面積增加了144cm2。（1）畫出示意圖并標(biāo)注條件中的數(shù)據(jù)。（2）小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是多少cm？（3）原大正方體的體積是多少cm3？【對(duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)長(zhǎng)方體按以下三種方法分割成了兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積分別增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原來長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米，體積是多少立方厘米？【典型例題2】拼接問題。用3個(gè)完全一樣的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是160厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)】?jī)蓚€(gè)完全相同的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)是12厘米，寬是7厘米，高是4厘米，現(xiàn)在把它們拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體后，則表面積比原來減少了多少平方厘米？。【典型例題3】高的變化問題。一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高減少3厘米就變成了一個(gè)正方體，表面積就減少了96平方厘米，現(xiàn)在這個(gè)正方體的體積與原來長(zhǎng)方體的體積相差多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高減少5厘米，就成了一個(gè)正方體，這時(shí)表面積會(huì)比原來少120平方厘米，原來長(zhǎng)方體的體積是多少？【典型例題4】最大的正方體。從一塊長(zhǎng)12cm、寬9cm、高6cm的長(zhǎng)方體陶泥上切下一個(gè)最大的正方體，剩下部分的表面積與原長(zhǎng)方體的表面積相比，會(huì)怎樣變化？列出你想到的所有情況?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)20厘米、寬16厘米、高10厘米，現(xiàn)在從長(zhǎng)方體中切下一個(gè)最大的正方體，再?gòu)氖Ｏ碌牟糠种星邢乱粋€(gè)最大的正方體，最后又從第二次剩下的部分中切下一個(gè)最大的正方體，剩下的體積是多少立方厘米？【考點(diǎn)二】六種問題其二：折疊問題?！痉椒c(diǎn)撥】根據(jù)折疊圖，求出長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高，再求體積?！镜湫屠}】有一塊長(zhǎng)方形鐵皮（如圖），長(zhǎng)60分米，寬50分米。在鐵皮的四個(gè)角分別剪去一個(gè)邊長(zhǎng)是5分米的正方形，然后焊成一個(gè)長(zhǎng)方體容器。（1）做這個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器用了多少平方分米的鐵皮？（2）這個(gè)長(zhǎng)方體容器的容積是多少升？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一塊長(zhǎng)方形鐵皮（如下圖），從四個(gè)角各切掉一個(gè)邊長(zhǎng)5厘米的正方形后，沿虛線折起來，做成一個(gè)無蓋的鐵盒。（1）這個(gè)鐵盒用了多少平方厘米的鐵皮？（2）這個(gè)鐵盒的容積是多少？（厚度忽略不計(jì)）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】用一張長(zhǎng)90厘米、寬80厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)10厘米的小正方形（如圖），焊接成一個(gè)無蓋的鐵皮箱，這個(gè)鐵皮箱的表面積是多少平方厘米？它的容積是多少升？如果每升裝機(jī)油0.8千克，可以裝機(jī)油多少千克？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】小強(qiáng)要用家里的一塊長(zhǎng)方形紙板做一個(gè)物品收納盒。這塊紙板長(zhǎng)20厘米，寬16厘米，四個(gè)角減去相同的小正方形（如圖所示），就能圍成無蓋的長(zhǎng)方體收納盒。（1）如果減去的小正方形的邊長(zhǎng)是5厘米，圍成的長(zhǎng)方體收納盒的容積是多少？（2）減去的小正方形的邊長(zhǎng)還可以是多少厘米（長(zhǎng)度取整厘米數(shù)）？這時(shí)圍成的長(zhǎng)方體收納盒的表面積是多少？（3）如果用a厘米表示要減去的小正方形的邊長(zhǎng)，請(qǐng)你用字母公式表示出這個(gè)無蓋長(zhǎng)方體收納盒的容積或表面積。【考點(diǎn)三】六種問題其三：等積變形問題?！痉椒c(diǎn)撥】長(zhǎng)方體、正方體的等積變形問題是較?？疾斓念}型之一，總體來說，難度不大，關(guān)鍵是掌握體積不變這一思路，再根據(jù)體積不變?nèi)ソ鉀Q問題?！镜湫屠}】在一個(gè)長(zhǎng)15分米，寬12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把兩條長(zhǎng)6分米，寬3分米，高7分米的石柱立著放入池中，現(xiàn)在水深是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】棱長(zhǎng)是5分米的正方體容器裝滿水，把容器里的水全部倒入一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，水箱從里面量長(zhǎng)10分米，寬5分米，高7分米。倒入水箱里面的水深是多少分米？要注滿水箱應(yīng)再倒入多少升水？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，甲是空的長(zhǎng)方體容器，乙長(zhǎng)方體容器中水深24厘米，要將長(zhǎng)方體容器乙的水倒一部分給長(zhǎng)方體容器甲中，使兩個(gè)長(zhǎng)方體容器中水的高度相同，這時(shí)水深多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】有甲、乙兩種長(zhǎng)方體容器。甲容器長(zhǎng)、寬、高分別為10cm、3cm、10cm，乙容器長(zhǎng)、寬、高分別是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中裝有水，將其傾斜，水面剛好如下圖所示。乙容器是空的。（1）甲容器中水的體積是多少？（2）如果將甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一樣高，那么需要從甲容器中倒出多少水？【考點(diǎn)四】六種問題其四：排水法求不規(guī)則物體的體積問題?！痉椒c(diǎn)撥】排水法求形狀不規(guī)則物體的體積是立體圖形中的必考題型之一，具有一定的抽象性，注意熟練掌握排水法的計(jì)算方法：①V物體=V現(xiàn)在－V原來；②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)；③V物體=S×h升高?！镜湫屠}】實(shí)驗(yàn)小學(xué)為普及生態(tài)文明教育，打算在教學(xué)樓入口處飼養(yǎng)一些魚類，需要準(zhǔn)備3個(gè)同樣大小的無蓋玻璃魚缸，尺寸如圖所示。（1）做這些魚缸需要多大的玻璃？（損耗忽略不計(jì)）（2）將其中一個(gè)魚缸裝滿水后，把一根長(zhǎng)為1米，橫截面積為20平方厘米的長(zhǎng)方體鐵棒豎直插入水中，插到底后豎直取出。這時(shí)水面的高度是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如下圖，一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為30厘米、16厘米、21厘米的長(zhǎng)方體容器中水位高度是10厘米，如果將另一個(gè)長(zhǎng)方體（長(zhǎng)、寬、高分別為16厘米、10厘米、36厘米的鐵塊豎直）放入左邊的容器中（貼底面齊平），那么這個(gè)容器中的水會(huì)溢出嗎？如果不溢出，那么容器中水位將上升至多少高度？如果溢出，那會(huì)溢出多少立方厘米的水量？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖一個(gè)長(zhǎng)方體的玻璃魚缸，長(zhǎng)9分米，寬7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一塊棱長(zhǎng)為5分米的正方體鐵塊，缸里的水溢出多少升？

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃魚缸（無蓋），量得它的長(zhǎng)是8分米，寬是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不計(jì)）（1）做這個(gè)長(zhǎng)方體玻璃魚缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）如果在這個(gè)魚缸里投入一個(gè)棱長(zhǎng)是3分米的正方體鐵塊，魚缸里的水會(huì)不會(huì)溢出？請(qǐng)你通過計(jì)算說明。（3）如果會(huì)溢出，魚缸里會(huì)溢出多少升水？如果不會(huì)溢出，現(xiàn)在水深是多少分米？【考點(diǎn)五】六種問題其五：不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題?！痉椒c(diǎn)撥】不規(guī)則或組合立體圖形的體積是圖形計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用中的常考題型，其中組合立體圖形的體積等于各部分規(guī)則立體圖形的體積之和。【典型例題】從一個(gè)長(zhǎng)方體中鋸掉一個(gè)正方體后，成了下圖所示的形狀。求現(xiàn)在這個(gè)物體的表面積和體積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一塊正方體木料，棱長(zhǎng)是6厘米，在6個(gè)面的中央各挖走一個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的正方體洞孔。這時(shí)它的表面積、體積各是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個(gè)大小相同、棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體后。請(qǐng)問：挖后的表面積是多少平方厘米?【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的正方體，在正方體上面正中向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米正方體小洞，最后得到的立方體圖形的表面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)六】六種問題其六：長(zhǎng)方體正方體中的注水運(yùn)動(dòng)問題。＊【方法點(diǎn)撥】注水運(yùn)動(dòng)問題常使用實(shí)驗(yàn)的方式考察長(zhǎng)方體和正方體的體積在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用，審題過程中，關(guān)鍵在于讀懂圖形給到的信息，需要很巧妙地把給到的注水“實(shí)驗(yàn)”過程圖形（高度與時(shí)間的關(guān)系）與實(shí)際注水過程節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來，比較考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”邏輯思考能力，其在獨(dú)立招生考試或是在小升初入學(xué)分層考試中較為常見?！镜湫屠}】如圖：一個(gè)長(zhǎng)方體水槽寬40厘米，高10厘米，水槽正中間有一塊高6厘米的隔板，將水槽下面分成了相等的2部分?，F(xiàn)在同時(shí)往左右兩邊注水，已知左邊注水速度為每分鐘2升。注水3分鐘后，右邊水面高度已與隔板齊平。又經(jīng)過1.5分鐘，左邊水面高度也與隔板齊平。（1）水槽的容積是多少？（2）注滿水槽共需幾分鐘？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】有一個(gè)無水的長(zhǎng)方體玻璃水缸，尺寸如左下圖所示，一個(gè)水龍頭從上午9：00開始向玻璃缸內(nèi)注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03關(guān)閉水龍頭停止注水。接著馬上在缸內(nèi)放入一個(gè)高為8厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，使之全部浸沒水中，玻璃缸的水面高度從注水到放入鐵塊的變化情況如下圖所示。（1）圖中點(diǎn)()的位置表示停止注水。（從A、B、C中選擇）（2）9：03時(shí)玻璃缸水面高度為多少厘米？（3）求出長(zhǎng)方體鐵塊的底面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】我市游泳健身中心的室內(nèi)泳池長(zhǎng)50米，寬25米。最淺處水深1.2米，最深處水深1.6米。（1）“泳池的容積是多少立方米？”對(duì)這一數(shù)學(xué)問題以下兩位同學(xué)展開了過論。請(qǐng)根據(jù)他們的思考過程解決問題。①小朱同學(xué)：“它不是一個(gè)長(zhǎng)方體，但可以通過割或補(bǔ)的方法（如下圖），就可以變成長(zhǎng)方體了，所以它的容積大小范圍就在()立方米和()立方米之間。”②小鋒同學(xué)：“兩個(gè)完全一樣的泳池可以拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體（如下圖）。這樣就能計(jì)算出它的容積啦。”請(qǐng)根據(jù)小鋒的方法計(jì)算該泳池的容積。（2）如果在空的泳池內(nèi)以均勻的注水速度（140立方米/小時(shí)）往池內(nèi)灌水，選一選，下面哪幅圖能表示出泳池最深處水位的變化情況？()（3）根據(jù)以上信息綜合思考。第（2）題圖中的a表示的數(shù)是()小時(shí)。蘇教版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)夯實(shí)提煉第一單元長(zhǎng)方體和正方體·總集篇·六種綜合性問題【六大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇專題名稱第一單元長(zhǎng)方體和正方體·總集篇·六種綜合性問題專題內(nèi)容本專題包括五種綜合性問題，即①長(zhǎng)方體和正方體的切拼問題、②折疊問題、③等積變形問題、④排水法求不規(guī)則物體的體積問題、⑤含長(zhǎng)方體正方體的不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題、⑥長(zhǎng)方體正方體中的注水運(yùn)動(dòng)問題?？傮w評(píng)價(jià)＊講解建議“總集篇”是對(duì)熱點(diǎn)、重點(diǎn)以及難點(diǎn)內(nèi)容的總結(jié)，適用于階段性復(fù)習(xí)，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點(diǎn)考題?？键c(diǎn)數(shù)量六個(gè)考點(diǎn)。【第二篇】目錄導(dǎo)航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】六種問題其一：長(zhǎng)方體和正方體的切拼問題 3【考點(diǎn)二】六種問題其二：折疊問題 10【考點(diǎn)三】六種問題其三：等積變形問題 15【考點(diǎn)四】六種問題其四：排水法求不規(guī)則物體的體積問題 19【考點(diǎn)五】六種問題其五：不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題 23【考點(diǎn)六】六種問題其六：長(zhǎng)方體正方體中的注水運(yùn)動(dòng)問題＊ 27【第三篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】六種問題其一：長(zhǎng)方體和正方體的切拼問題?！痉椒c(diǎn)撥】立體圖形的切拼問題屬于小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題和難點(diǎn)問題，由長(zhǎng)方體和正方體的切拼所產(chǎn)生的表面積增減變化，在分析與思考過程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基礎(chǔ)的空間想象能力，因此，大部分同學(xué)掌握起來顯得十分困難，建議在理解方面，嘗試?yán)L制示意圖，在解題方面，注意尋找切拼后的變化規(guī)律。1.切片問題。（1）切一刀增加兩個(gè)切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進(jìn)行變化，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。（2）刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。2.拼接問題。（1）長(zhǎng)方體或正方體的拼接會(huì)使表面積減少，兩個(gè)正方體的拼接，有兩個(gè)重合面，會(huì)減少兩個(gè)正方形的面積，同理，三個(gè)正方體的拼接會(huì)減少四個(gè)正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個(gè)數(shù)，但是長(zhǎng)方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來判斷具體減少的面積。（2）段數(shù)-1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。3.高的變化引起的表面積變化。（1）正方體高的變化，即棱長(zhǎng)的增減變化，會(huì)引起正方體側(cè)面積的增減變化。（2）長(zhǎng)方體高的變化，會(huì)引起長(zhǎng)方體側(cè)面積的增減變化，長(zhǎng)方體的側(cè)面指的是前后左右四個(gè)面?！镜湫屠}1】切片問題。把一個(gè)大正方體切成三個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方體后，小長(zhǎng)方體的表面積之和比原大正方體的表面積增加了144cm2。（1）畫出示意圖并標(biāo)注條件中的數(shù)據(jù)。（2）小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是多少cm？（3）原大正方體的體積是多少cm3？【答案】（1）見詳解（2）長(zhǎng)2cm，寬6cm，高6cm（3）216cm3【分析】（1）畫出把一個(gè)大正方體切成三個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方體的示意圖，并標(biāo)注數(shù)據(jù)；（答案不唯一）（2）根據(jù)題意，把一個(gè)大正方體切成三個(gè)小長(zhǎng)方體，要切2次；切一次增加2個(gè)截面；切2次增加4個(gè)截面，表面積增加4個(gè)截面的面積；先用增加的表面積除以4，求出一個(gè)截面的面積；這個(gè)截面是正方形，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，求出正方體的棱長(zhǎng)；用正方體的棱長(zhǎng)除以3，就是小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)；小長(zhǎng)方體的寬和高都等于正方體的棱長(zhǎng)；（3）根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）如圖：（答案不唯一）（2）144÷4＝36（cm2）36＝6×6所以大正方體的棱長(zhǎng)是6cm。小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是：6÷3＝2（cm）小長(zhǎng)方體的寬和高都是6cm。答：小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是2cm、寬是6cm、高是6cm。（3）6×6×6＝36×6＝216（cm3）答：原大正方體的體積是216cm3?！军c(diǎn)睛】掌握正方體切割的特點(diǎn)，明確增加的表面積是哪些面的面積，熟記正方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)長(zhǎng)方體按以下三種方法分割成了兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積分別增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原來長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米，體積是多少立方厘米？【答案】94平方厘米；60立方厘米【分析】表面積分別增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面積和就是原來長(zhǎng)方體的面積；根據(jù)長(zhǎng)×高×2＝40，長(zhǎng)×寬×2＝30，寬×高×2＝24，由此求出長(zhǎng)方體的體積。【詳解】40＋30＋24＝70＋24＝94（平方厘米）答：原來長(zhǎng)方體的表面積是94平方厘米。長(zhǎng)×高×2＝40，即長(zhǎng)×高＝20＝5×4，長(zhǎng)×寬×2＝30，即長(zhǎng)×寬＝15＝5×3，寬×高×2＝24，即寬×高＝12＝4×3，即長(zhǎng)、寬、高分別是5厘米、4厘米、3厘米。5×4×3＝20×3＝60（立方厘米）答：體積是60立方厘米?！军c(diǎn)睛】考查了立體圖形的切拼，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)求出長(zhǎng)、寬、高。【典型例題2】拼接問題。用3個(gè)完全一樣的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是160厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【答案】896平方厘米【分析】通過觀察圖形可知，拼成的長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和比原來3個(gè)正方體的棱長(zhǎng)總和減少了正方體的16條棱的長(zhǎng)度，據(jù)此可以求出正方體的棱長(zhǎng)；這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比3個(gè)正方體的表面積之和減少了正方體的4個(gè)面的面積，根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?60÷（12×3﹣16）＝160÷（36﹣16）＝160÷20＝8（厘米）8×8×6×3﹣8×8×4＝64×6×3﹣64×4＝384×3﹣256＝1152﹣256＝896（平方厘米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是896平方厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體、正方體的棱長(zhǎng)總和公式、表面積公式的靈活運(yùn)用，求出正方體的棱長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】?jī)蓚€(gè)完全相同的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)是12厘米，寬是7厘米，高是4厘米，現(xiàn)在把它們拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體后，則表面積比原來減少了多少平方厘米？?！敬鸢浮?6平方厘米【分析】將兩個(gè)完全的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，要使大長(zhǎng)方體面積最大，則拼接的一面為小長(zhǎng)方體面積最小的一面，根據(jù)題意可得面積最小的一面是寬和高所對(duì)應(yīng)的面。此時(shí)，大長(zhǎng)方體表面積比原來減少了2個(gè)這樣的面，據(jù)此可得出答案?！驹斀狻科唇雍笠勾箝L(zhǎng)方體表面積最大，則拼接面為面積最小的一面。故表面積比原來減少：7×4×2＝28×2＝56（平方厘米）。答：表面積比原來減少了56平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查的是長(zhǎng)方體表面積及拼接，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意中得出拼接的面為面積最小的面，進(jìn)而得出答案?！镜湫屠}3】高的變化問題。一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高減少3厘米就變成了一個(gè)正方體，表面積就減少了96平方厘米，現(xiàn)在這個(gè)正方體的體積與原來長(zhǎng)方體的體積相差多少立方厘米？【答案】192立方厘米【分析】根據(jù)題意，長(zhǎng)方體的高減少3厘米變成了一個(gè)正方體，說明長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都等于正方體的棱長(zhǎng)；正方體比原來長(zhǎng)方體減少的表面積是4個(gè)長(zhǎng)為正方體的棱長(zhǎng)，寬為3厘米的長(zhǎng)方形的面積；先用減少的表面積除以4，求出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，再除以3，即可求出正方體的棱長(zhǎng)，也是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬；那么正方體與原來長(zhǎng)方體相差的體積是一個(gè)長(zhǎng)、寬等于正方體的棱長(zhǎng)，高為3厘米的小長(zhǎng)方體的體積，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻?6÷4＝24（平方厘米）24÷3＝8（厘米）8×8×3＝64×3＝192（立方厘米）答：現(xiàn)在這個(gè)正方體的體積與原來長(zhǎng)方體的體積相差192立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的切拼以及長(zhǎng)方體體積公式的應(yīng)用，明確表面積減少的是哪些面的面積，以此為突破口，求出正方體的棱長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高減少5厘米，就成了一個(gè)正方體，這時(shí)表面積會(huì)比原來少120平方厘米，原來長(zhǎng)方體的體積是多少？【答案】396立方厘米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，6個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形），相對(duì)的面的面積相等。由題意可知：高減少5厘米，這時(shí)表面積比原來減少了120平方厘米。表面積減少的是高為5厘米的長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面的面積。先求出減少部分的1個(gè)側(cè)面的面積，120÷4＝30（平方厘米）；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式S＝ab，求出原來長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)就是6厘米。原來的高是6＋5＝11（厘米），再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻吭瓉黹L(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)是：120÷4÷5＝30÷5＝6（厘米）高是：6＋5＝11（厘米）原來長(zhǎng)方體的體積是：6×6×11＝36×11＝396（立方厘米）答：原來長(zhǎng)方體的體積是396立方厘米。【點(diǎn)睛】此題解答關(guān)鍵是求出原來長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出高，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式解答即可?！镜湫屠}4】最大的正方體。從一塊長(zhǎng)12cm、寬9cm、高6cm的長(zhǎng)方體陶泥上切下一個(gè)最大的正方體，剩下部分的表面積與原長(zhǎng)方體的表面積相比，會(huì)怎樣變化？列出你想到的所有情況?！敬鸢浮竣僖蚤L(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)切：表面積減小72平方厘米；②不挨頂點(diǎn)，沿棱切：表面積不變。③從長(zhǎng)方體里邊切，不挨頂點(diǎn)和棱：表面積增加72平方厘米【分析】，如圖，從一塊長(zhǎng)12cm、寬9cm、高6cm的長(zhǎng)方體陶泥上切下一個(gè)最大的正方體，正方體的棱長(zhǎng)是6厘米，①以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)切，表面積減少了兩個(gè)正方體的面；②不挨頂點(diǎn)，沿棱切：表面積不變；③從長(zhǎng)方體里邊切，不挨頂點(diǎn)和棱，表面積增加兩個(gè)正方體的面，據(jù)此分析。【詳解】①以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)切：表面積減小，6×6×2＝72（平方厘米）。②不挨頂點(diǎn)，沿棱切：表面積不變。③從長(zhǎng)方體里邊切，不挨頂點(diǎn)和棱：表面積增加，6×6×2＝72（平方厘米）【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形的切拼，可以畫畫示意圖，做做輔助線?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)20厘米、寬16厘米、高10厘米，現(xiàn)在從長(zhǎng)方體中切下一個(gè)最大的正方體，再?gòu)氖Ｏ碌牟糠种星邢乱粋€(gè)最大的正方體，最后又從第二次剩下的部分中切下一個(gè)最大的正方體，剩下的體積是多少立方厘米？【答案】984立方厘米【分析】根據(jù)題意可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是高的2倍，由此可知，長(zhǎng)方體可以切去兩個(gè)棱長(zhǎng)是10厘米的正方體，即第一次切下一個(gè)最大的正方體，正方體的棱長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的高，即正方體的棱長(zhǎng)是10厘米；第二次剩下部分的還可以切下的棱長(zhǎng)是10厘米的正方體，最后再把剩下部分的切去一個(gè)最大的正方體，正方體的棱長(zhǎng)是6厘米；求剩下的體積，就用原來長(zhǎng)方體的體積減去棱長(zhǎng)是10厘米的正方體的體積，減去棱長(zhǎng)10厘米的正方體體積，減去棱長(zhǎng)是6厘米的正方體的體積；根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高；正方體的體積公式：體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻康谝粋€(gè)正方體的棱長(zhǎng)是10厘米；第二個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是10厘米第三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是：16－10＝6（厘米）20×16×10－10×10×10×2－6×6×6＝320×10－100×10×2－36×6＝3200－1000×2－218＝3200－2000－218＝1200－218＝984（立方厘米）答：剩下的體積是984立方厘米?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是第二次切去最大的正方體的棱長(zhǎng)和第一次切去正方體的棱長(zhǎng)相等，第三次切去正方體的棱長(zhǎng)等于原長(zhǎng)方體的寬與切去最大正方體的棱長(zhǎng)差?！究键c(diǎn)二】六種問題其二：折疊問題。【方法點(diǎn)撥】根據(jù)折疊圖，求出長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高，再求體積。【典型例題】有一塊長(zhǎng)方形鐵皮（如圖），長(zhǎng)60分米，寬50分米。在鐵皮的四個(gè)角分別剪去一個(gè)邊長(zhǎng)是5分米的正方形，然后焊成一個(gè)長(zhǎng)方體容器。（1）做這個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器用了多少平方分米的鐵皮？（2）這個(gè)長(zhǎng)方體容器的容積是多少升？【答案】（1）2900平方分米（2）10000升【分析】（1）觀察圖形可知，做這個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器所需鐵皮的面積＝長(zhǎng)方形的面積－4個(gè)正方形的面積，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解；（2）從圖中可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是（60－5×2）分米，寬是（50－5×2）分米，高是5分米，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積（容積）＝長(zhǎng)×寬×高，以及進(jìn)率“1立方分米＝1升”求解。【詳解】（1）60×50－5×5×4＝3000－100＝2900（平方分米）答：做這個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器用了2900平方分米的鐵皮。（2）（60－5×2）×（50－5×2）×5＝（60－10）×（50－10）×5＝50×40×5＝10000（立方分米）10000立方分米＝10000升答：這個(gè)長(zhǎng)方體容器的容積是10000升。【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的表面積、體積公式的靈活運(yùn)用，在求長(zhǎng)方體的容積時(shí)，找出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一塊長(zhǎng)方形鐵皮（如下圖），從四個(gè)角各切掉一個(gè)邊長(zhǎng)5厘米的正方形后，沿虛線折起來，做成一個(gè)無蓋的鐵盒。（1）這個(gè)鐵盒用了多少平方厘米的鐵皮？（2）這個(gè)鐵盒的容積是多少？（厚度忽略不計(jì)）【答案】（1）500平方厘米；（2）1000立方厘米【分析】（1）從圖中可知，用長(zhǎng)30厘米、寬20厘米的長(zhǎng)方形的面積減去4個(gè)邊長(zhǎng)5厘米的正方形的面積，就是這個(gè)鐵盒用的鐵皮的面積。根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。（2）這個(gè)長(zhǎng)方體鐵盒的長(zhǎng)是（30－5×2）厘米，寬是（20－5×2）厘米，高是5厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積（容積）＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求出這個(gè)鐵盒的容積?！驹斀狻浚?）30×20－5×5×4＝600－100＝500（平方厘米）答：這個(gè)鐵盒用了500平方厘米的鐵皮。（2）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)：30－5×2＝30－10＝20（厘米）長(zhǎng)方體的寬：20－5×2＝20－10＝10（厘米）長(zhǎng)方體的容積：20×10×5＝200×5＝1000（立方厘米）答：這個(gè)鐵盒的容積是1000立方厘米?！军c(diǎn)睛】（1）理解長(zhǎng)方體的表面積就是長(zhǎng)方形的面積減去四個(gè)小正方形的面積；（2）關(guān)鍵是找出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，然后運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積（容積）公式，列式計(jì)算。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】用一張長(zhǎng)90厘米、寬80厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)10厘米的小正方形（如圖），焊接成一個(gè)無蓋的鐵皮箱，這個(gè)鐵皮箱的表面積是多少平方厘米？它的容積是多少升？如果每升裝機(jī)油0.8千克，可以裝機(jī)油多少千克？【答案】6800平方厘米；42升；33.6千克【分析】鐵皮箱的表面積＝長(zhǎng)方形鐵皮的面積－4個(gè)小正方形的面積，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×4，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求出這個(gè)鐵皮箱的表面積；從圖中可以看出，焊接成的鐵皮箱是一個(gè)長(zhǎng)為（90－10×2）厘米，寬為（80－10×2）厘米，高為10厘米的長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求出鐵皮箱的體積；再根據(jù)進(jìn)率：1升＝1000立方厘米，將體積換算成“升”，最后乘每升裝機(jī)油的質(zhì)量，求出這個(gè)鐵皮箱可以裝機(jī)油的質(zhì)量。【詳解】（平方厘米）（立方厘米）42000立方厘米＝42升（千克）答：這個(gè)鐵皮箱的表面積是6800平方厘米，它的容積是42升，可以裝機(jī)油33.6千克?！军c(diǎn)睛】靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體表面積、體積公式是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】小強(qiáng)要用家里的一塊長(zhǎng)方形紙板做一個(gè)物品收納盒。這塊紙板長(zhǎng)20厘米，寬16厘米，四個(gè)角減去相同的小正方形（如圖所示），就能圍成無蓋的長(zhǎng)方體收納盒。（1）如果減去的小正方形的邊長(zhǎng)是5厘米，圍成的長(zhǎng)方體收納盒的容積是多少？（2）減去的小正方形的邊長(zhǎng)還可以是多少厘米（長(zhǎng)度取整厘米數(shù)）？這時(shí)圍成的長(zhǎng)方體收納盒的表面積是多少？（3）如果用a厘米表示要減去的小正方形的邊長(zhǎng)，請(qǐng)你用字母公式表示出這個(gè)無蓋長(zhǎng)方體收納盒的容積或表面積。【答案】（1）300立方厘米（2）2厘米；304平方厘米（3）長(zhǎng)方體收納盒表面積：20×16－4a2，或長(zhǎng)方體收納盒容積：（20－2a）×（16－2a）×a【分析】（1）如果減去的小正方形的邊長(zhǎng)是5厘米，那么這個(gè)收納盒的長(zhǎng)為（20－2×5）厘米，寬為（16－2×5）厘米，高為5厘米；再根據(jù)收納盒的容積＝長(zhǎng)×寬×高，計(jì)算出結(jié)果即可；（2）根據(jù)題意，減去的小正方形的邊長(zhǎng)必須要小于16厘米的一半，并且長(zhǎng)度取整厘米，答案不唯一，取值符合實(shí)際；收納盒的表面積＝長(zhǎng)方形的面積－4個(gè)小正方形的面積，代入數(shù)據(jù)正確計(jì)算即可；（3）如果用a厘米表示要減去的小正方形的邊長(zhǎng)，那么這個(gè)收納盒的長(zhǎng)為（20－2a）厘米，寬為（16－2a）厘米，高為a厘米；再根據(jù)收納盒的容積＝長(zhǎng)×寬×高，收納盒的表面積＝長(zhǎng)方形的面積－4個(gè)小正方形的面積，列出算式化簡(jiǎn)即可?！驹斀狻浚?）20－5×2＝20－10＝10（厘米）16－5×2＝16－10＝6（厘米）10×6×5＝60×5＝300（立方厘米）答：圍成的長(zhǎng)方體收納盒的容積是300立方厘米。（2）16÷2＝8（厘米）減去的小正方形的邊長(zhǎng)還可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。例如，減去的小正方形的邊長(zhǎng)是2厘米。20－2×2＝20－4＝16（厘米）16－2×2＝16－4＝12（厘米）20×16－2×2×4＝320－16＝304（平方厘米）答：減去的小正方形的邊長(zhǎng)還可以是2厘米（長(zhǎng)度取整厘米數(shù)），這時(shí)圍成的長(zhǎng)方體收納盒的表面積是304平方厘米。（3）長(zhǎng)方體收納盒容積：（20－2a）×（16－2a）×a或長(zhǎng)方體收納盒表面積：20×16－4a2（寫出一個(gè)即可）【點(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體的體積、表面積以及展開圖的知識(shí)，關(guān)鍵能夠正確找出長(zhǎng)、寬、高再解答。（寫出一個(gè)即可）【考點(diǎn)三】六種問題其三：等積變形問題?！痉椒c(diǎn)撥】長(zhǎng)方體、正方體的等積變形問題是較?？疾斓念}型之一，總體來說，難度不大，關(guān)鍵是掌握體積不變這一思路，再根據(jù)體積不變?nèi)ソ鉀Q問題?！镜湫屠}】在一個(gè)長(zhǎng)15分米，寬12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把兩條長(zhǎng)6分米，寬3分米，高7分米的石柱立著放入池中，現(xiàn)在水深是多少？【答案】3.125分米【分析】根據(jù)題意可知，水池中水的體積不變，先根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出水池中水的體積；然后把兩條石柱立著放入池中，那么水池中水的底面積＝水池的底面積－兩條石柱的底面積，再根據(jù)長(zhǎng)方體的高＝體積÷底面積，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出現(xiàn)在水的深度?！驹斀狻?5×12×（5÷2）＝15×12×2.5＝450（立方分米）450÷（15×12－6×3×2）＝450÷（180－36）＝450÷144＝3.125（分米）答：現(xiàn)在水深3.125分米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住水的體積不變，明確放入兩條石柱后，水池中水的底面積發(fā)生了變化，水的深度也隨之發(fā)生了變化?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】棱長(zhǎng)是5分米的正方體容器裝滿水，把容器里的水全部倒入一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，水箱從里面量長(zhǎng)10分米，寬5分米，高7分米。倒入水箱里面的水深是多少分米？要注滿水箱應(yīng)再倒入多少升水？【答案】2.5分米；225升【分析】把正方體容器里的水倒入一個(gè)長(zhǎng)方體水箱里，那么水的體積不變；先根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出水的體積；再根據(jù)長(zhǎng)方體的高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），求出水箱里面的水深；求要注滿水箱應(yīng)再倒入多少升水，就是求長(zhǎng)方體水箱無水部分的體積；用長(zhǎng)方體水箱的高是7分米減去水箱里水的深度，得到無水部分的高度，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可，最后根據(jù)進(jìn)率1立方分米＝1升換算單位?！驹斀狻?×5×5＝25×5＝125（立方分米）125÷（10×5）

＝125÷50＝2.5（分米）10×5×（7－2.5）＝10×5×4.5＝50×4.5＝225（立方分米）

225立方分米＝225升

答：倒入水箱里面的水深是2.5分米，要注滿水箱應(yīng)再倒入225升水?！军c(diǎn)睛】抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”，靈活運(yùn)用正方體、長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，甲是空的長(zhǎng)方體容器，乙長(zhǎng)方體容器中水深24厘米，要將長(zhǎng)方體容器乙的水倒一部分給長(zhǎng)方體容器甲中，使兩個(gè)長(zhǎng)方體容器中水的高度相同，這時(shí)水深多少厘米？【答案】8厘米【分析】已知乙長(zhǎng)方體容器中水深24厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出乙容器中水的體積；要將長(zhǎng)方體容器乙的水倒一部分給甲，使兩個(gè)長(zhǎng)方體容器中水的高度相同，可以想成將兩個(gè)容器拼在一起，則底面積是（40×30＋30×20）平方厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體高＝體積÷底面積，即可求出這時(shí)兩個(gè)容器中水的深度?！驹斀狻?0×20×24＝600×24＝14400（立方厘米）14400÷（40×30＋30×20）＝14400÷（1200＋600）＝14400÷1800＝8（厘米）答：水深8厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，也可以列方程求解，用甲容器中水的體積＋乙容器中水的體積＝原來乙容器中水的體積，據(jù)此列出方程。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】有甲、乙兩種長(zhǎng)方體容器。甲容器長(zhǎng)、寬、高分別為10cm、3cm、10cm，乙容器長(zhǎng)、寬、高分別是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中裝有水，將其傾斜，水面剛好如下圖所示。乙容器是空的。（1）甲容器中水的體積是多少？（2）如果將甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一樣高，那么需要從甲容器中倒出多少水？【答案】（1）150cm3；（2）60cm3【分析】（1）根據(jù)圖意可知，甲容器中裝水的體積是甲容器體積的一半，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式V＝abh，進(jìn)行解答即可；（2）用甲容器中水的體積除以甲、乙容器的底面積之和，求出容器中水面的高度，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式V＝abh，求出乙容器中水的體積，即是從甲容器倒出的水的體積，據(jù)此進(jìn)行解答?！驹斀狻浚?）10×10×3÷2＝100×3÷2＝150（cm3）答：甲容器中水的體積是150cm3。（2）150÷（10×3＋5×4）＝150÷（30＋20）＝150÷50＝3（cm）5×4×3＝60（cm3）答：需要從甲容器中倒出60cm3的水?！军c(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體體積的實(shí)際應(yīng)用，靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式求解?！究键c(diǎn)四】六種問題其四：排水法求不規(guī)則物體的體積問題?！痉椒c(diǎn)撥】排水法求形狀不規(guī)則物體的體積是立體圖形中的必考題型之一，具有一定的抽象性，注意熟練掌握排水法的計(jì)算方法：①V物體=V現(xiàn)在－V原來；②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)；③V物體=S×h升高。【典型例題】實(shí)驗(yàn)小學(xué)為普及生態(tài)文明教育，打算在教學(xué)樓入口處飼養(yǎng)一些魚類，需要準(zhǔn)備3個(gè)同樣大小的無蓋玻璃魚缸，尺寸如圖所示。（1）做這些魚缸需要多大的玻璃？（損耗忽略不計(jì)）（2）將其中一個(gè)魚缸裝滿水后，把一根長(zhǎng)為1米，橫截面積為20平方厘米的長(zhǎng)方體鐵棒豎直插入水中，插到底后豎直取出。這時(shí)水面的高度是多少厘米？【答案】（1）315平方分米；（2）34.75厘米【分析】（1）根據(jù)無蓋長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把數(shù)據(jù)代入公式求出做一個(gè)魚缸需要和玻璃的面積，然后再乘3即可。（2）根據(jù)題意可知，把這根鐵棒從魚缸中取出后，水面下降的體積等于鐵棒被水淹沒的體積，說明下降的高等于鐵棒被水淹沒的體積除以魚缸的底面積，然后用魚缸的高減去水面下降的高即可?！驹斀狻浚?）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2＝28＋49＋28＝105（平方分米）105×3＝315（平方分米）答：做這些魚缸需要315平方分米的玻璃。（2）4×7＝28（平方分米）28平方分米＝2800平方厘米3.5分米＝35厘米35×20＝700（立方厘米）700÷2800＝0.25（厘米）35－0.25＝34.75（厘米）答：這時(shí)水面的高度是34.75厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如下圖，一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為30厘米、16厘米、21厘米的長(zhǎng)方體容器中水位高度是10厘米，如果將另一個(gè)長(zhǎng)方體（長(zhǎng)、寬、高分別為16厘米、10厘米、36厘米的鐵塊豎直）放入左邊的容器中（貼底面齊平），那么這個(gè)容器中的水會(huì)溢出嗎？如果不溢出，那么容器中水位將上升至多少高度？如果溢出，那會(huì)溢出多少立方厘米的水量？【答案】不會(huì)溢出；15厘米【分析】根據(jù)題意可知，長(zhǎng)方體容器中水是一個(gè)長(zhǎng)30厘米、寬16厘米、高10厘米的長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出水的體積；放入鐵塊后，水面會(huì)上升，底面積由（30×16）平方厘米變成了（30×16－16×10）平方厘米，水的體積不變，根據(jù)長(zhǎng)方體的高＝體積÷底面積，求出此時(shí)容器內(nèi)水的高度；用此時(shí)容器內(nèi)水的高度與長(zhǎng)方體容器的高度進(jìn)行比較，如果小于或等于容器的高度，則水不會(huì)溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水會(huì)溢出，進(jìn)而求出溢出水的體積?！驹斀狻咳萜鲀?nèi)水的體積：30×16×10＝480×10＝4800（立方厘米）放入鐵塊后水深：4800÷（30×16－16×10）＝4800÷（480－160）＝4800÷320＝15（厘米）15＜21答：這個(gè)容器中的水不會(huì)溢出，容器中水位將上升至15厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住水的體積不變是解題的關(guān)鍵，掌握放入的物體沒有完全浸沒時(shí)，水上升高度的求法?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖一個(gè)長(zhǎng)方體的玻璃魚缸，長(zhǎng)9分米，寬7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一塊棱長(zhǎng)為5分米的正方體鐵塊，缸里的水溢出多少升？

【答案】87.4升【分析】根據(jù)題意可知，把鐵塊放入玻璃缸中，溢出水的體積等于浸入水中鐵塊的體積減去玻璃缸內(nèi)無水部分的體積，但正方體鐵塊的高為5分米，不會(huì)全部浸入水中，所以浸入水中鐵塊的體積實(shí)際是一個(gè)長(zhǎng)和寬都為5分米，高為4分米的長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?×5×4－9×7×（4－3.8）＝100－63×0.2＝100－12.6＝87.4（立方分米）87.4立方分米＝87.4升答：缸里的水溢出87.4升?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明確正方體不會(huì)全部浸入到水中，其次因?yàn)樵瓉黹L(zhǎng)方體玻璃缸有一部分空余的空間，所以溢出水的體積不完全等于浸入的正方體鐵塊的體積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃魚缸（無蓋），量得它的長(zhǎng)是8分米，寬是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不計(jì)）（1）做這個(gè)長(zhǎng)方體玻璃魚缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）如果在這個(gè)魚缸里投入一個(gè)棱長(zhǎng)是3分米的正方體鐵塊，魚缸里的水會(huì)不會(huì)溢出？請(qǐng)你通過計(jì)算說明。（3）如果會(huì)溢出，魚缸里會(huì)溢出多少升水？如果不會(huì)溢出，現(xiàn)在水深是多少分米？【答案】（1）196平方分米（2）不會(huì)溢出（3）5.875分米【分析】（1）根據(jù)題意，長(zhǎng)方體玻璃魚缸（無蓋）缺少上面（長(zhǎng)和寬組成的長(zhǎng)方形），所以玻璃的面積＝長(zhǎng)×寬＋（長(zhǎng)×高＋寬×高）×2；（2）先求出水的體積與正方體鐵塊的體積之和，再計(jì)算魚缸體積，如果水和鐵塊的體積比魚缸體積大就會(huì)溢出，如果比魚缸體積小則不會(huì)溢出，根據(jù)公式：長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)；（3）根據(jù)（2）中計(jì)算可知水不會(huì)溢出，水深＝水與鐵塊的體積÷魚缸底面積；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）8×5＋（8×6＋5×6）×2＝40＋78×2＝40＋156＝196（平方分米）答：做這個(gè)長(zhǎng)方體玻璃魚缸至少需要玻璃196平方分米。（2）8×5×5.2＋3×3×3＝40×5.2＋27＝208＋27＝235（立方分米）8×5×6＝40×6＝240（立方分米）240＞235答：魚缸里的水不會(huì)溢出。（3）235÷（5×8）＝235÷40＝5.875（分米）答：現(xiàn)在水深是5.875分米?！军c(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體的表面積、體積計(jì)算，關(guān)鍵靈活運(yùn)用公式解答?！究键c(diǎn)五】六種問題其五：不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題?！痉椒c(diǎn)撥】不規(guī)則或組合立體圖形的體積是圖形計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用中的?？碱}型，其中組合立體圖形的體積等于各部分規(guī)則立體圖形的體積之和?！镜湫屠}】從一個(gè)長(zhǎng)方體中鋸掉一個(gè)正方體后，成了下圖所示的形狀。求現(xiàn)在這個(gè)物體的表面積和體積。（單位：厘米）【答案】352平方厘米；320立方厘米【分析】觀察圖形可知，在長(zhǎng)方體木塊上鋸掉一個(gè)正方體，減少了正方體的3個(gè)面，同時(shí)又露出了正方體的3個(gè)面，所以剩下部分的表面積和原來長(zhǎng)方體的表面積一樣大，它的表面積沒有發(fā)生變化，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解；在長(zhǎng)方體木塊上鋸掉一個(gè)正方體，那么體積就減少這個(gè)正方體的體積，所以現(xiàn)在這個(gè)物體的體積＝長(zhǎng)方體的體積－鋸掉的正方體的體積，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻勘砻娣e：（12×4＋12×8＋4×8）×2＝（48＋96＋32）×2＝176×2＝352（平方厘米）體積：12×4×8－4×4×4＝384－64＝320（立方厘米）答：現(xiàn)在這個(gè)物體的表面積是352平方厘米，體積是320立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體、長(zhǎng)方體表面積、體積公式的運(yùn)用，在計(jì)算有缺口的立體圖形的表面積時(shí)，要注意缺口的位置，原來這個(gè)位置有幾個(gè)面，挖掉后露出了幾個(gè)面，與原來的面相比較，是否一樣，還是多或少了，進(jìn)而得出結(jié)論?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一塊正方體木料，棱長(zhǎng)是6厘米，在6個(gè)面的中央各挖走一個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的正方體洞孔。這時(shí)它的表面積、體積各是多少？【答案】312平方厘米；168立方厘米【分析】觀察圖形可知，在正方體木料的6個(gè)面中央各挖走一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的正方體洞孔，則每個(gè)面都減少了1個(gè)（2×2）的面，同時(shí)又露出了5個(gè)（2×2）的面，所以每個(gè)面比原來增加了4個(gè)（2×2）的面，那么表面積比原來增加了6個(gè)（2×2×4）的面積；先根據(jù)正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，求出棱長(zhǎng)為6厘米的正方體木料的表面積，再加上6個(gè)（2×2×4）的面積，即是此時(shí)立體圖形的表面積。此時(shí)立體圖形的體積＝正方體木料的體積－6個(gè)小正方體洞孔的體積，根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻勘砻娣e：6×6×6＋2×2×4×6＝216＋96＝312（平方厘米）體積：6×6×6－2×2×2×6＝216－48＝168（立方厘米）答：這時(shí)它的表面積是312平方厘米，體積是168立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體的表面積、體積公式的運(yùn)用，在求有缺口的立體圖形的表面積時(shí)，要注意缺口的位置，原來這個(gè)位置有幾個(gè)面，挖掉后露出了幾個(gè)面，與原來的面相比較，是否一樣，還是多了或少了，進(jìn)而根據(jù)公式列式計(jì)算?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個(gè)大小相同、棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體后。請(qǐng)問：挖后的表面積是多少平方厘米?【答案】9624平方厘米【分析】在角上挖掉一個(gè)小正方體，表面積沒有變化；在棱上挖掉一個(gè)小正方體，表面積會(huì)增加左右2個(gè)面；在面上挖掉一個(gè)小正方體，表面積會(huì)增加上下左右4個(gè)面。分別求出原來正方體的表面積和增加的面積，便可求出挖后的表面積。【詳解】40×40×6＋2×2×6＝9600＋24＝9624（平方厘米）答：挖后的表面積是9624平方厘米【點(diǎn)睛】分別確定在角上、棱上、面上各挖掉一個(gè)小正方體后表面積的變化情況是解答此題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的正方體，在正方體上面正中向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米正方體小洞，最后得到的立方體圖形的表面積是多少平方厘米？【答案】116平方厘米【分析】把棱長(zhǎng)是2厘米的正方體的底面向上平移，把棱長(zhǎng)是1厘米的正方體底面向上平移，則容易看出：求最后得到的立方體圖形的表面積，即棱長(zhǎng)為4厘米的正方體的表面積與棱長(zhǎng)為2厘米的正方體四個(gè)側(cè)面和棱長(zhǎng)為1厘米的正方體四個(gè)側(cè)面的面積之和；根據(jù)“正方體的表面積＝棱長(zhǎng)2×6”求出棱長(zhǎng)為4厘米的正方體的表面積，根據(jù)“正方體的側(cè)面積＝棱長(zhǎng)2×4”分別求出棱長(zhǎng)為2厘米的正方體四個(gè)側(cè)面和棱長(zhǎng)為1厘米的正方體四個(gè)側(cè)面的面積，然后相加即可?！驹斀狻?2×6＋22×4＋12×4＝96＋16＋4＝116（平方厘米）答：最后得到的立方體圖形的表面積是116平方厘米。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是明確：兩個(gè)小正方體，每個(gè)正方體中向上的一個(gè)面，經(jīng)過平移能夠填補(bǔ)完整大正方體上面的一個(gè)面。【考點(diǎn)六】六種問題其六：長(zhǎng)方體正方體中的注水運(yùn)動(dòng)問題。＊【方法點(diǎn)撥】注水運(yùn)動(dòng)問題常使用實(shí)驗(yàn)的方式考察長(zhǎng)方體和正方體的體積在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用，審題過程中，關(guān)鍵在于讀懂圖形給到的信息，需要很巧妙地把給到的注水“實(shí)驗(yàn)”過程圖形（高度與時(shí)間的關(guān)系）與實(shí)際注水過程節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來，比較考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”邏輯思考能力，其在獨(dú)立招生考試或是在小升初入學(xué)分層考試中較為常見?！镜湫屠}】如圖：一個(gè)長(zhǎng)方體水槽寬40厘米，高10厘米，水槽正中間有一塊高6厘米的隔板，將水槽下面分成了相等的2部分。現(xiàn)在同時(shí)往左右兩邊注水，已知左邊注水速度為每分鐘2升。注水3分鐘后，右邊水面高度已與隔板齊平。又經(jīng)過1.5分鐘，左邊水面高度也與隔板齊平。（1）水槽的容積是多少？（2）注滿水槽共需幾分鐘？【答案】（1）60升（2）7.5分鐘【分析】（1）設(shè)右邊每分鐘注水x升，根據(jù)有隔板的左右兩部分體積相等，當(dāng)3分鐘之后，右邊的水會(huì)流到左邊，那么3分鐘之后經(jīng)過的1.5分鐘左邊的水的注入量是右邊和左邊一起注入的，據(jù)此列方程解出右邊每分鐘注水多少。再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式變形a＝V÷b÷h，求出水槽左邊（或右邊）的長(zhǎng)，進(jìn)而求出整個(gè)水槽的長(zhǎng)，然后把數(shù)據(jù)代入體積公式解答。（2）用整個(gè)水槽的容積除以左右兩個(gè)水管每分鐘共注水的體積即可解答?！驹斀狻浚?）解：設(shè)右邊每分鐘注水x升。3×2＋1.5×（2＋x）＝3x6＋1.5×2＋1.5x＝3x6＋3＋1.5x＝3x9＝3x－1.5x1.5x＝9x＝9÷1.5x＝63×6＝18（升）18升＝180