第三章 第2講 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第2講導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課標要求命題點五年考情借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.不含參函數(shù)的單調(diào)性2023全國卷甲T21；2022新高考卷ⅡT22；2021新高考卷ⅠT22；2021全國卷甲T21；2020全國卷ⅠT21；2020全國卷ⅡT21；2019全國卷ⅡT20含參函數(shù)的單調(diào)性2023新高考卷ⅠT19；2021新高考卷ⅡT22；2021全國卷乙T21；2021全國卷甲T20；2019全國卷ⅢT20函數(shù)單調(diào)性的應用2023新高考卷ⅡT6；2023新高考卷ⅡT22；2023全國卷乙T16；2022新高考卷ⅠT7；2022全國卷甲T12；2021全國卷乙T12命題分析預測本講是高考的必考內(nèi)容，有時單獨考查，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性，有時作為工具求解其他問題，如通過構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求解極值、最值、不等式、零點等問題，題型以解答題為主，有時也以小題的形式呈現(xiàn)，難度中等.預計2025年高考命題依然穩(wěn)定，備考中，一定要掌握討論函數(shù)單調(diào)性的方法，它是解決很多問題的基礎(chǔ).

1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)y＝f(x)

在區(qū)間(a，

b)內(nèi)可導f

'(x)＞0f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞①

?②

?f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減恒有③

?f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)增

f

'(x)＜0

f

'(x)＝0

思維拓展用充分必要條件詮釋導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)

f

'(

x

)＞0(＜0)是

f

(

x

)在區(qū)間(

a

，

b

)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.(2)

f

'(

x

)≥0(≤0)是

f

(

x

)在區(qū)間(

a

，

b

)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件.(3)若

f

'(

x

)在區(qū)間(

a

，

b

)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零，則

f

'(

x

)≥0(≤0)是

f

(

x

)在

區(qū)間(

a

，

b

)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件.2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的④

?；第2步，求出導數(shù)

f

'(

x

)的⑤

?；第3步，用

f

'(

x

)的零點將

f

(

x

)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出

f

'(

x

)在各區(qū)間

上的正負，由此得出函數(shù)

y

＝

f

(

x

)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.定義域

零點

1.[2024陜西漢中模擬]函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－5lnx

－3

x

－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(

D

)

D12342.已知導函數(shù)

y

＝

f

'(

x

)的圖象如圖所示，則函數(shù)

y

＝

f

(

x

)的圖象可能是(

B

)ABCD[解析]

解法一由

y

＝

f

'(

x

)的圖象自左到右先上升后下降，可知函數(shù)

y

＝

f

(

x

)圖象

的切線的斜率自左到右先增大后減小，可以判斷B正確.B1234解法二由于

f

'(

x

)＞0(－1≤

x

≤1)恒成立，則根據(jù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可

知，

f

(

x

)在[－1，1]上單調(diào)遞增，即圖象從左至右上升，四個圖象都滿足.由于

x

＞0時，隨著

x

的變大

f

'(

x

)越來越小，則函數(shù)值增加得越來越慢，圖象越來越

“平緩”；當

x

＜0時，隨著

x

的變大

f

'(

x

)越來越大，故函數(shù)值增加得越來越快，圖

象越來越“陡峭”，可以判斷B正確.12343.已知函數(shù)

f

(

x

)＝sin

x

＋cos

x

－2

x

，

a

＝

f

(－π)，

b

＝

f

(20)，

c

＝

f

(ln2)，則

a

，

b

，

c

的大小關(guān)系是(

A

)A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞b＞a

A12344.[多選]下列說法正確的是(

BC

)A.若函數(shù)f(x)在定義域上都有f

'(x)＜0，則函數(shù)f(x)在定義域上一定單調(diào)遞減B.在(a，b)上f

'(x)＞0(f

'(x)＜0)是函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件C.在(a，b)上f

'(x)≤0，且f

'(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減D.若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f

'(x)＞0

BC1234

命題點1

不含參函數(shù)的單調(diào)性例1

(1)[2024重慶南開中學模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

sin

x

＋cos

x

，

x

∈[0，2π]，則

f(

x

)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

B

)C.[π，2π]B

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

(0，1)

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的思路：解不等式

f

'(

x

)＞0或

f

'(

x

)＜0求出單調(diào)區(qū)間.若導

函數(shù)對應的不等式不可解，則令導函數(shù)為新函數(shù)，借助新函數(shù)的導數(shù)求解.注意

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要在函數(shù)的定義域內(nèi)進行；(2)一個函數(shù)的同一種單

調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4訓練1

已知函數(shù)

f

(

x

)＝(2＋

x

)ln(1＋

x

)－2

x

，討論函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性.

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧求解含參函數(shù)的單調(diào)性的技巧一般要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論，主要是：(1)討論

f

'(

x

)＝0是否

有根；(2)討論

f

'(

x

)＝0的根是否在定義域內(nèi)；(3)討論根的大小關(guān)系.注意

若導函數(shù)是二次函數(shù)的形式，一般還要討論二次項系數(shù)的正負及是否為0，

判別式Δ的正負等.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4訓練2

[2021全國卷乙節(jié)選]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3－

x

2＋

ax

＋1，討論

f

(

x

)的單調(diào)性.[解析]由題意知

f

(

x

)的定義域為R，

f

'(

x

)＝3

x

2－2

x

＋

a

，令

f

'(

x

)＝0，則Δ＝(－2)2－4×3

a

＝4(1－3

a

).

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4命題點3

函數(shù)單調(diào)性的應用角度1

已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例3(1)[2023新高考卷Ⅱ]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

a

e

x

－lnx

在區(qū)間(1，2)單調(diào)遞增，則

a

的最

小值為(

C

)A.e2B.eC.e－1D.e－2C例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

(4，＋∞)

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題技巧(1)若可導函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間

D

上單調(diào)遞增(或遞減)，則

f

'(

x

)≥0(或

f

'(

x

)≤0)對

x

∈

D

恒成立問題.注意

“＝”不能少，必要時還需對“＝”進行檢驗.(2)若可導函數(shù)

f

(

x

)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，則

f

'(

x

)＞0(或

f

'(

x

)＜0)在該區(qū)間上

存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式有解問題.(3)若

f

(

x

)在區(qū)間

D

上不單調(diào)，則函數(shù)

f

'(

x

)在區(qū)間

D

上存在變號零點.也可先求出

f

(

x

)在區(qū)間

D

上單調(diào)時參數(shù)的取值范圍，然后運用補集思想得解.(4)若已知

f

(

x

)在區(qū)間

I

(含參數(shù))上的單調(diào)性，則先求出

f

(

x

)的單調(diào)區(qū)間，然后令

I

是

其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b

A例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4(2)[2023福建省龍巖市質(zhì)檢]已知函數(shù)

f

(

x

)＝sin

x

－

x

cos

x

，若

a

＝

f

(log2e)，

b

＝

f(ln3)，

c

＝

f

(sine)，則

a

，

b

，

c

的大小關(guān)系為(

B

)A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a

B例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式的思路：利用導數(shù)判斷已知或構(gòu)造的函數(shù)的

單調(diào)性，由單調(diào)性比較大小或解不等式.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

A.c＞b＞aB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞bA例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4(2)[2024安徽模擬]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)＝sin(

x

－1)＋e

x

－1－e1－

x

－

x

＋4，則滿足

f

(

x

)＋

f

(3

－2

x

)＜6的

x

的取值范圍是(

B

)A.(3，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，3)D.(－∞，1)B例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

思維幫·提升思維快速解題

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b[解析]

解法一(泰勒公式)

a

＝0.1e0.1≈0.1(1＋0.1＋0.005)＝0.1105，

b

≈0.111…，

c

＝－ln[1＋(－0.1)]≈－(－0.1－0.005－0.0003)＝0.1053，所以

c

＜

a

＜

b

.C例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧1.泰勒公式若函數(shù)

f

(

x

)在含有

x

0的開區(qū)間(

a

，

b

)內(nèi)有

n

＋1階導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，

可以展開為一個關(guān)于

x

－

x

0的多項式和一個余項的和：

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練42.常見的泰勒展開式在泰勒公式中，令

x

0＝0，即可得到如下泰勒展開式：

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b

B例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4

1.[命題點1/多選/2024山東省青島市檢測]若函數(shù)

g

(

x

)＝e

xf

(

x

)在

f

(

x

)的定義域上單

調(diào)遞增，則稱函數(shù)

f

(

x

)具有

M

性質(zhì).下列函數(shù)中具有

M

性質(zhì)的為(

BC

)A.f(x)＝5－xB.f(x)＝2－xD.f(x)＝x3BC1234

1234

1234

1234

1234

1234

A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.b＜a＜cD.c＜a＜bB1234

1234

12344.[命題點3角度3/2023廣州二模]已知偶函數(shù)

f

(

x

)與其導函數(shù)

f

'(

x

)的定義域均為R，

且

f

'(

x

)＋e－

x

＋

x

也是偶函數(shù)，若

f

(2

a

－1)＜

f

(

a

＋1)，則實數(shù)

a

的取值范圍是

(

B

)A.(－∞，2)B.(0，2)C.(2，＋∞)D.(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析]因為

f

(

x

)為偶函數(shù)，所以

f

(

x

)＝

f

(－

x

)，等式兩邊求導可得

f

'(

x

)＝－

f

'(－

x

)

①，(易錯：對等式

f

(

x

)＝

f

(－

x

)兩邊同時求導的時候，要注意等式右邊是一個復合函數(shù)，不要把負號漏掉了)因為函數(shù)

f

'(

x

)＋e－

x

＋

x

為偶函數(shù)，所以

f

'(

x

)＋e－

x

＋

x

＝

f

'(－

x

)＋e

x

－

x

②，B1234

1234

12345678910111213141516171.函數(shù)

f

(

x

)＝－lnx

＋

x

的單調(diào)遞增區(qū)間是(

C

)A.(－∞，0)∪(1，＋∞)B.(－∞，0)和(1，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－1，＋∞)

C

A.(－∞，5]B.[5，7]C.[7，＋∞)D.(－∞，5]∪[7，＋∞)[解析]

解法一

f'(

x

)＝

x

2－

ax

＋

a

－1，由f'(

x

)＝0得

x

＝1或

x

＝

a

－1.當

a

－1≤1，即

a

≤2時，對于任意的

x

∈[1，＋∞)，f'(

x

)≥0，即函數(shù)

f

(

x

)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；當

a

－1＞1，即

a

＞2時，函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，1]和[

a

－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在[1，

a

－1]上單調(diào)遞減，依題意[1，4]?[1，

a

－1]且[6，＋∞)?[

a

－1，＋∞)，從而4≤

a

－1≤6，故5≤

a

≤7.綜上，實數(shù)

a

的取值范圍為[5，7].B1234567891011121314151617解法二

f'(

x

)＝

x

2－

ax

＋

a

－1，依題意，得f'(

x

)≤0在[1，4]上恒成立，且f'(

x

)≥0

在[6，＋∞)上恒成立，由f'(

x

)＝0得

x

＝1或

x

＝

a

－1，故4≤

a

－1≤6，即5≤

a

≤7.

故所求實數(shù)

a

的取值范圍為[5，7].12345678910111213141516173.若函數(shù)

f

(

x

)＝3

x

＋(

a

－2)lnx

在定義域上不單調(diào)，則實數(shù)

a

的取值范圍是(

D

)B.[2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，2)

D12345678910111213141516174.[2024湖南模擬]已知實數(shù)

a

，

b

，

c

∈(0，1)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，且

a

e2＝2e

a

，

b

e3＝3e

b

，2

c

＝e

c

ln2，則(

A

)A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b

A12345678910111213141516175.[2023山東泰安二模]已知奇函數(shù)

f

(

x

)在R上單調(diào)遞減，

g

(

x

)＝

xf

(

x

)，若

a

＝

g

(－log25.1)，

b

＝

g

(3)，

c

＝

g

(20.8)，則

a

，

b

，

c

的大小關(guān)系為(

D

)A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜c＜aD.b＜a＜c[解析]因為

f

(

x

)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，所以

f

(－

x

)＝－

f

(

x

)，且當

x

＞0

時，

f

(

x

)＜0.因為

g

(

x

)＝

xf

(

x

)，所以

g

(－

x

)＝－

xf

(－

x

)＝

xf

(

x

)＝

g

(

x

)，故

g

(

x

)

為偶函數(shù).g'(

x

)＝

f

(

x

)＋

xf

'(

x

)，當

x

＞0時，因為

f

(

x

)＜0，

f

'(

x

)≤0，所以g'(

x

)＜

0，所以

g

(

x

)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.

a

＝

g

(－log25.1)＝

g

(log25.1)，因為3＝log28＞

log25.1＞log24＝2＞20.8＞0，所以

g

(3)＜

g

(log25.1)＜

g

(20.8)，即

b

＜

a

＜

c

.故選D.D1234567891011121314151617

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜a＜cD.a＜c＜bB1234567891011121314151617

12345678910111213141516177.[多選]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3＋

ax

2＋

bx

＋

c

在R上單調(diào)遞增，

f

'(

x

)為其導函數(shù)，則下

列結(jié)論正確的是(

AC

)A.f

'(1)≥0B.f(1)≥0C.a2－3b≤0D.a2－3b≥0[解析]因為函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3＋

ax

2＋

bx

＋

c

，所以f'(

x

)＝3

x

2＋2

ax

＋

b

.因為函數(shù)

f

(

x

)在R上單調(diào)遞增，所以f'(

x

)≥0對于任意的

x

∈R恒成立，所以f'(1)≥0恒成立，但

f

(1)的大小未知.對于方程3

x

2＋2

ax

＋

b

＝0，Δ＝4

a

2－12

b

≤0，即

a

2－3

b

≤0.所以

正確的是AC.AC12345678910111213141516178.[2024武漢模擬]若函數(shù)

f

(

x

)＝(2

x

＋1)lnx

－

ax

是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則實數(shù)

a

的最大值為

?.

4－2ln2

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

若選條件②，則

f

'(0)＝(1－2)×(1－

a

)＝0，所以

a

＝1.若選條件③，則依題意得0和ln2是關(guān)于

x

的方程(e

x

－2)(e

x

－

a

)＝0的兩個根，所以

a

＝e0＝1.[解析]

(1)

f

'(

x

)＝e2

x

－(

a

＋2)e

x

＋2

a

＝(e

x

－2)(e

x

－

a

).若選條件①，則

f

'(ln3)＝(3－2)×(3－

a

)＝2，所以

a

＝1.1234567891011121314151617[解析]

(2)

f

'(

x

)＝(e

x

－2)(e

x

－

a

).分以下幾種情況討論：①當

a

≤0時，令

f

'(

x

)＞0，則

x

＞ln2，令

f

'(

x

)＜0，則

x

＜ln2，所以

f

(

x

)在(－∞，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增.②當0＜

a

＜2時，令

f

'(

x

)＞0，則

x

＞ln2或

x

＜lna

，令

f

'(

x

)＜0，則lna

＜

x

＜ln2，所以

f

(

x

)在(－∞，lna

)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(lna

，ln2)上單調(diào)遞

減.③當

a

＝2時，

f

'(

x

)＝(e

x

－2)2≥0，所以

f

(

x

)在R上單調(diào)遞增.(2)若

a

∈R，討論函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性.1234567891011121314151617④當

a

＞2時，令

f

'(

x

)＞0，則

x

＞lna

或

x

＜ln2，令

f

'(

x

)＜0，則ln2＜

x

＜lna

，所以

f

(

x

)在(－∞，ln2)，(lna

，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，lna

)上單調(diào)遞

減.綜上所述：當

a

≤0時，

f

(

x

)在(－∞，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單

調(diào)遞增；當0＜

a

＜2時，

f

(

x

)在(－∞，lna

)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在

(lna

，ln2)上單調(diào)遞減；當

a

＝2時，

f

(

x

)在R上單調(diào)遞增；當

a

＞2時，

f(

x

)在(－∞，ln2)，(lna

，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，lna

)上單調(diào)遞減.1234567891011121314151617

A.(－2，1)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

f

(1＋

a

)＋

f

(1－

a

2)＞2轉(zhuǎn)化為

f

(1＋

a

)－1＋

f

(1－

a

2)－1＞0，即

F

(1＋

a

)＋

F

(1－

a

2)＞0，

所以

F

(1＋

a

)＞－

F

(1－

a

2)＝

F

(

a

2－1)，所以1＋

a

＞

a

2－1，即

a

2－

a

－2＜0，解得－1＜

a

＜2，即實數(shù)

a

的取值范圍是(－1，2).故選C.1234567891011121314151617

A.(－4，0)B.[－4，0)C.[－3，0)D.(－3，0)D1234567891011121314151617

1234567891011121314151617因為當

a

＜

b

＜

c

時，滿足

f

(

a

)＝

f

(

b

)＝

f

(

c

)，所以由圖可知

a

＋

b

＝－4，0＜

c

＜1，所以

af

(

a

)＋

bf

(

b

)＋

cf

(

c

)＝(

a

＋

b

＋

c

)

f

(

c

)＝(

c

－4)

f

(

c

)＝(

c

－4)

c

3＝

c

4－4

c

3.令

g

(

c

)＝

c

4－4

c

3，則當0＜

c

＜1時，g'(

c

)＝4

c

3－12

c

2＝4

c

2(

c

－3)＜0，所以

g

(

c

)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以當0＜

c

＜1時，

g

(1)＜

g

(

c

)＜

g

(0)，即當0＜

c

＜1時，－3＜

g

(

c

)＜0，所以

af

(

a

)＋

bf

(

b

)＋

cf

(

c

)的取值范圍是(－3，0)，故選D.123456789101112131415161713.[多選/2024湖北武漢模擬]已知實數(shù)

a

，

b

滿足

a

e

a

＝

b

lnb

＝3，則(

AD

)A.a＝lnbB.ab＝eC.b－a＜e－1D.e＋1＜a＋b＜4AD1234567891011121314151617[解析]因為

a

e

a

＝3，所以

a

＞0.令

f

(

x

)＝

x

e

x

，

x

＞0，則

f

'(

x

)＝e

x

(

x

＋1)＞0在

(0，＋∞)上恒成立，所以

f