4.4 對(duì)數(shù)函數(shù)（解析版）

.4對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用【【解題思路】判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法【例1-1】（23-24高一·全國(guó)·課堂例題）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在對(duì)數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式（且）中，前面的系數(shù)必須是1，自變量在真數(shù)的位置上，否則不是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以只有選項(xiàng)C滿(mǎn)足定義.故選：C.【例1-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)（且），若圖象經(jīng)過(guò)和，則．【答案】/【解析】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?【變式】1．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)，易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對(duì)數(shù)的底數(shù)的位置，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；③中，是對(duì)數(shù)函數(shù)；④中，是對(duì)數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對(duì)數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對(duì)數(shù)函數(shù).故選：C.2．（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．（，且） B．C． D．【答案】AC【解析】形如（，且）的函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)于A(yíng)，由，且，可知，且，故A符合題意；對(duì)于B，不符合題意；對(duì)于C，符合題意；對(duì)于D，不符合題意；故選：AC.3．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）點(diǎn)，都在同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)上，則t=.【答案】9【解析】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為，因?yàn)樵诤瘮?shù)上，所以，解得；因?yàn)橐苍诤瘮?shù)上，所以，解得.故答案為：9知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域【【解題思路】求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.【例2-1】（23-24高二上·四川成都·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】由題意或，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【例2-2】（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的范圍為.【答案】【解析】由于函數(shù)的定義域是，故條件即為，這等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)成立.若對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，取知，即；若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，故對(duì)任意實(shí)數(shù)成立.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【變式】1．（23-24高一上·湖北荊門(mén)·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由.所以函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：B2．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮?shù)的定義域需滿(mǎn)足不等式，得或，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：3．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）要使函數(shù)有意義，需滿(mǎn)足，解得或．故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）要使函數(shù)有意義，需，且，即，且，所以，解得，故所求函數(shù)的定義域?yàn)橹R(shí)點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【【解題思路】對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路(1)依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型．(2)依實(shí)際情況確定解析式中的參數(shù)．(3)依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．(4)得出結(jié)論．【例3】（23-24貴州遵義·期末）年一位丹麥生物化學(xué)家提出溶液值，亦稱(chēng)氫離子濃度指數(shù)、酸堿值，是溶液中氫離子活度的一種標(biāo)度，其中源自德語(yǔ)，意思是濃度，代表氫離子.的定義式為：，指的是溶液中氫離子活度.若溶液甲中氫離子活度為，溶液乙中氫離子活度為.則溶液甲的值與溶液乙的值的差約為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，溶液甲的值與溶液乙的值的差為.故選：C.【變式】1．（2024山東青島）中國(guó)的技術(shù)世界領(lǐng)先，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率（單位：）取決于信道寬度（單位：）?信道內(nèi)信號(hào)的平均功率（單位：）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（單位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若信道寬度變?yōu)樵瓉?lái)倍，而將信噪比從提升至，則大約增加了（

）（附：）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，信道寬度變?yōu)樵瓉?lái)倍，.因?yàn)?故選：D.2．（2024湖南衡陽(yáng)·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲(chóng)迅速繁衍量指數(shù)增長(zhǎng)，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦，假設(shè)蝗蟲(chóng)的日增長(zhǎng)率為6%，最初有只，則大約經(jīng)過(guò)（）天能達(dá)到最初的1600倍(參考數(shù)據(jù)：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995.A．126 B．150 C．197 D．199【答案】A【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)天能達(dá)到最初的1600倍故故故選：A3．（2024北京海淀·期末）聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿(mǎn)足.噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為；一般說(shuō)話(huà)時(shí)，聲音的等級(jí)約為，那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說(shuō)話(huà)時(shí)聲音強(qiáng)度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【答案】B【解析】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說(shuō)話(huà)時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，，，，，所以，因此，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說(shuō)話(huà)時(shí)聲音強(qiáng)度的倍.故選：B知識(shí)點(diǎn)四對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)【例4-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】【解析】令，得，此時(shí)，所以函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.【例4-2】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）指數(shù)函數(shù)（且）過(guò)點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn).【答案】【解析】由（且）可知，時(shí)，，則點(diǎn)為，由可得，兩邊取對(duì)數(shù)得，，交換可得，，即與是一對(duì)反函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故經(jīng)過(guò)點(diǎn).故答案為：【例4-3】（2024·陜西渭南）已知直線(xiàn)（，）過(guò)函數(shù)（，且）的定點(diǎn)T，則的最小值為.【答案】【解析】令時(shí)，可得，可知函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)在直線(xiàn)上，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【變式】1．（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）函數(shù)（且）過(guò)定點(diǎn)．【答案】【解析】令且可得，將代入可得，故定點(diǎn)為，故答案為：2（24-25高一上·上?！ふn堂例題）設(shè)且，函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象恒過(guò)定點(diǎn),所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.3．（2024·陜西西安）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若且，，則的最小值為．【答案】8【解析】因?yàn)?，（且），所以函?shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，即的最小值為.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【【解題思路】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變換方法(1)作y＝f(|x|)的圖象時(shí)，保留y＝f(x)(x≥0)圖象不變，x<0時(shí)y＝f(|x|)的圖象與y＝f(x)(x>0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．(2)作y＝|f(x)|的圖象時(shí)，保留y＝f(x)的x軸及上方圖象不變，把x軸下方圖象以x軸為對(duì)稱(chēng)軸翻折上去即可．(3)有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)平移也符合“左加右減，上加下減”的規(guī)律．(4)y＝f(－x)與y＝f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，y＝－f(x)與y＝f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．【例5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如圖所示，函數(shù)圖像①②③④⑤⑥⑦⑧中不屬于函數(shù)：，的是（

）A．①⑤ B．②⑥C．③⑦ D．④⑧【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，①②③④為指數(shù)函數(shù)圖像，且③④為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，取可知，③④分別對(duì)應(yīng)，又①④圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則①對(duì)應(yīng)，即②不屬于；由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，⑤⑥⑦⑧為對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，其中⑦⑧為單調(diào)遞減的對(duì)數(shù)函數(shù)，由“底大圖低”可知⑧對(duì)應(yīng)，⑦對(duì)應(yīng)，且⑤⑧圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則⑤對(duì)應(yīng)，即⑥不屬于；故選：B【例5-2】（2024·廣東深圳）已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)二、三、四象限；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)三、四象限.故選：D【例5-3】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】答案見(jiàn)解析；【解析】（1）作出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖像，可得的圖像，如圖（1）．（2）作出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖像，可得的圖像，如圖（2）．（3）作出，將軸下方的圖像翻折到軸上方，可得的圖像，如圖（3）．（4）作出的圖像，再作出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖像，即得到另外一半圖像，可得的圖像，如圖（4）．【變式】1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)與分別在各自的定義域內(nèi)單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，故可排除BCD，且函數(shù)與圖象分別過(guò)定點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)，A符合題意.故選：A.2．（23-24高一下·青海西寧·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋逝懦鼶；當(dāng)時(shí)，，故排除BC；結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知A正確.故選：A.3．（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）作出下列函數(shù)的大致圖像：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到，（2）的圖象可由的圖象先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)，再向右平移個(gè)單位得到，（3）的圖象可由的圖象先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)，再向右平移個(gè)單位得到，（4）的圖象由組成，其中的圖象可由的圖象根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)得到，知識(shí)點(diǎn)六比較對(duì)數(shù)值的大小【【解題思路】比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．【例6-1】（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)值的大小.(1)和；(2)和；(3)和，其中且；(4)和.【答案】(1)(2)(3)答案見(jiàn)解析(4)【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以.（3）令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（4）因?yàn)?，，所?【例6-2】（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即.故選：D【例6-3】（2024·天津南開(kāi)）已知，，，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，?故選：C.【變式】1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，；(4)，（，且）．【答案】(1)(2)(3)(4)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】（1）因?yàn)?，所以函?shù)在定義域上是增函數(shù)．由，得．（2）因?yàn)?，所以函?shù)在定義域上是減函數(shù)．由，得．（3）因?yàn)椋院瘮?shù)在定義域上是增函數(shù)．由，得．同理可得．因此．（4）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，此時(shí)由，得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，此時(shí)由，得．2．（23-24高二下·河北邢臺(tái)·期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，即所以．故選：D3．（23-24·山東臨沂·期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，則，顯然，則，則，即，結(jié)合知.故選：B.知識(shí)點(diǎn)七解對(duì)數(shù)不等式【【解題思路】對(duì)數(shù)不等式的三種考查類(lèi)型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論．(2)形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．【例7-1】（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）不等式的解集為．【答案】【解析】由可得，解得，故答案為：【例7-2】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【解析】由于函數(shù)在上遞減，所以解得，所以原不等式的解集為，故答案為：.【變式】1．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】（0,1）【解析】函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，得．故答案為：2（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【解析】由，可得，又在上單調(diào)遞增，所以，解不等式組可得，所以不等式的解集為.3．（23-24重慶·期末）已知函數(shù)則不等式的解集為【答案】【解析】或,或,或,或所以不等式解集為.故答案為:考點(diǎn)八反函數(shù)【例8-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知函數(shù)的反函數(shù)，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?所以，,所以，故答案為：.【變式】1．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)的反函數(shù)為，則的解析式為．【答案】【解析】由，得，將互換得，，且函數(shù)的值域?yàn)镽，因此，函數(shù)，故答案為：．2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）如果直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么a、b的值分別是、．【答案】－9【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)與互為反函數(shù)，又的反函數(shù)為，所以，．故答案為：；.3．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）若點(diǎn)既在函數(shù)的圖像上，又在的反函數(shù)的圖像上，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)榧仍诤瘮?shù)的圖象上，又在的反函數(shù)的圖象上，所以點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，即，解得，所以．故答案為：．重難點(diǎn)一對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性【【解題思路】形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)f(x)的定義域)．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(3)當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間．【例9-1】（23-24浙江杭州·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令得，故的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿(mǎn)足同增異減可得，只需求出在上的單調(diào)遞減區(qū)間，在上單調(diào)遞減，故數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C【例9-2】（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以且，解得．即實(shí)數(shù)a的取值范圍為選：B【例9-3】（23-24高二下·黑龍江·期末）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，有，解得.綜上，a的取值范圍是.故選：D.【變式】1．（23-24四川·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，則，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則是增函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A.2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【解析】由函數(shù)可得函數(shù)的圖像如圖所示．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．故答案為：3．（23-24江西贛州·期末）“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：要滿(mǎn)足函數(shù)在單調(diào)遞增，需要，因?yàn)?，所以“”是“函?shù)在單調(diào)遞增”的必要不充分條件．故選：B．4．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，易知函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.重難點(diǎn)二對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域【例10-1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮?shù)為增函數(shù)，故其值域?yàn)?故答案為：【例10-2】（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，則的值域是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以的定義域滿(mǎn)足，解得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以令，又，則，易知在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：.【例10-3】．（23-24四川雅安·階段練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，取遍所有正數(shù)，則，而，解得，所以.故選：B【變式】1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，最大值?，故選：B.2．（23-24江西南昌·期末）已知函數(shù)的定義域和值域都為，則（

）A． B．C． D．不存在【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則恒成立，且，可得；又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域都為，則取到所有正數(shù)，且，可得；綜上所述：.故選：B.3．（2024·貴州黔東南）若函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得要取遍所有正數(shù)，則需要求，因?yàn)?，解得；?故選：C4．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】0【解析】設(shè)，則，的定義域?yàn)?，所以函?shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的同增異減可得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，最小值是0．故答案為：0．5．（24-25高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）函數(shù)的值域是．【答案】【解析】令，則，因?yàn)?，則，且的對(duì)稱(chēng)軸為，可知，所以的值域是．故答案為：．重難點(diǎn)三對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例11】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)．【解析】（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，①由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，即，②解①②得（舍去）．（2）由（1）知，因?yàn)椋院瘮?shù)的定義域?yàn)镽，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知其在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【變式】1．（23-24高二下·山東臨沂·期末）已知函數(shù)，且．(1)求的定義域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【解析】（1），，解得，，由解得，故的定義域?yàn)?（2）由（1）知，，在上單調(diào)遞增，且其恒大于0，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，又，不等式可化為，，即，不等式的解集為.2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·期末）已知函數(shù)且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．【答案】(1)(2)或．【解析】（1），，即，解得或（舍）．（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，由題意得，，解得．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，由題意得，，解得．綜上，或．3．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知函數(shù)，其中（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．(1)求函數(shù)的解析式；(2)令，求的最小值及取最小值時(shí)x的值．【答案】(1)(2)時(shí)，取得最小值1．【解析】（1）由已知，得，解得，故；（2）由于，，故．于是，當(dāng)時(shí)，取得最小值1．單選題1．（23-24浙江溫州·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A2．（23-24高一下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，圖象①②③④所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個(gè)是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】依題意，函數(shù)的圖象分別過(guò)定點(diǎn)，它們分別對(duì)應(yīng)圖③②①，因此④不屬于給定的三個(gè)函數(shù)之一.故選：D3．（2024·天津北辰）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，即；又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，即；可得，且在上單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：.故選：D.4．（23-24湖南長(zhǎng)沙·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得或，設(shè)，函數(shù)在為增函數(shù)，此時(shí)為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，即的單調(diào)增區(qū)間為.故選：C.5．（2024·上海閔行）已知，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則集合可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，即；當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，解不等式，可得，綜上可得集合可表示為.故選：D6．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)，的反函數(shù)的定義域是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)榉春瘮?shù)的定義域是原函數(shù)的值域，所以反函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：C．7．（23-24山東聊城·期末）已知函數(shù)，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故選：A8．（2024·江蘇南）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)遞增，所以，解得，故選：B多選題9．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．定義域?yàn)?B．值域?yàn)镃．圖象過(guò)定點(diǎn) D．在定義域上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】由題意，，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域?yàn)椋蔅正確；令，則，，所以函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法中，不正確的是（

）A．有最大值，在上為增函數(shù)B．有最大值，在上為減函數(shù)C．有最小值，在上為增函數(shù)D．有最小值，在上為減函數(shù)【答案】BCD【解析】令，則，所以，所以有最大值，所以CD錯(cuò)誤，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，而在定義域內(nèi)遞減，所以在上遞增，在上遞減，所以A正確，B錯(cuò)誤，故選：BCD11．（23-24高一下·江西·期末）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)是定義域上的奇函數(shù) D．函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于函數(shù)，令，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，同理可得在上單調(diào)遞增，所以為上的增函數(shù)，又，其中，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，所以，即，又的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；又，函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．填空題12．（23-24廣西玉林·期末）已知函數(shù)，則的定義域是；單調(diào)增區(qū)間為.【答案】.【解析】由，解得，則定義域是，令，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，則在上為增函數(shù)，又為定義域內(nèi)的增函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：；.13．（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·期末）已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，因此，因?yàn)?，所以，因此的值域?yàn)?，故答案為?4．（23-24上海